Devoir math n°18 - 2nd

 

 

Exercice 1

 

1. Rappeler :

 

a. La définition de radian.

 

b. La définition du cercle trigonométrique. 

 

c. La relation fondamentale de la trigonométrie.

 

2. Répondre par vrai ou faux :

 

a. Si $M$ est un point de l'arc $\overset{\displaystyle\frown}{AB}$, $N$ un point de l'arc $\overset{\displaystyle\frown}{AB}$, alors $\widehat{AMB}$ et $\widehat{ANB}$ sont supplémentaires.

 

b. Un quadrilatère convexe est inscriptible si et seulement si deux de ses angles opposés sont complémentaires.

 

c. Si deux vecteurs non nuls $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux, alors $\left(\overrightarrow{u}\;,\ \overrightarrow{v}\right)=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi.$

 

d. Si les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés dans cet ordre alors $\left(\overrightarrow{BA}\;,\ \overrightarrow{BC}\right)=\pi+2k\pi.$

 

3. L'une des mesures de l'angle $\left(\vec{u}\;,\ \vec{v}\right)$ est $\alpha.$

 

Déterminer dans chaque cas sa mesure principe $\alpha_{0}$ :

 

$\alpha=\dfrac{25\pi}{4}$ ; 

 

$\alpha=\dfrac{19\pi}{3}$ ;

 

$\alpha=\dfrac{47\pi}{6}$ ;

 

$\alpha=\dfrac{27\pi}{2}$

 

4. Recopier et compléter :

 

a. $\sin(a+b)=\ldots\ldots\ldots$

 

b. $\sin(a-b)=\ldots\ldots\ldots$

 

c. $\cos(a-b)=\ldots\ldots\ldots$

 

d. $cos(a+b)=\ldots\ldots\ldots$

 

5. Démontrer les relations suivantes :

 

a. $\sin2a=2\sin a\cos a$

 

b. $\cos 2a=\cos^{2}a-\sin^{2}a=2\cos^2a-1=1-2\sin^{2}a$

 

Exercice 2

 

1. A partir du cercle trigonométrique déterminer le signe de $\sin x$ et de $\cos x$ dans chacun des cas suivantes :

 

a. $x\in\left]-\dfrac{\pi}{2}\ ;\ 0\right[$

 

b. $x\in\left]\dfrac{\pi}{2}\ ;\ \pi\right[$

 

c. $x\in]-\pi\ ;\ 0[$

 

d. $x\in\left]-\dfrac{3\pi}{2}\ ;\ \dfrac{\pi}{2}\right[$

 

2. Sachant la valeurs de $\sin x$ ou de $\cos x$ calculer la valeur de l'autre pus la tangente de l'angle $x.$

 

a. $\cos x=\dfrac{1}{4}\ ;\ x\in\left]0\ ;\ \dfrac{\pi}{2}\right[$

 

b. $\sin x=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\ ;\ x\in\left[\dfrac{\pi}{2}\ ;\ 0\right]$

 

3. Simplifier les expressions suivantes : 

 

a. $A=\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)-3\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)-4\sin(\pi-x)$

 

b. $B=sin(\pi-x)+\sin\left(\dfrac{5\pi}{2}+x\right)-\sin(-x)-\cos(x+\pi)$

 

c. $C=\cos(\pi-x)+\sin(\dfrac{\pi}{2}-x)-\cos(-x)+\sin(\pi+x)$

 

d. $D=\sin(x+\dfrac{\pi}{2})-\cos(-\dfrac{\pi}{2}-x)-\sin(\pi-x)$

 

e. $E=\sin(x-\pi)+\sin(-\dfrac{\pi}{2}+x)+\sin(x+\dfrac{113\pi}{2}+\cos(x+\pi)$

 

f. $F=\cos(-\pi-x)+\sin(\dfrac{7\pi}{2}-x)-\cos(-x)+\sin(-\pi+x)$

 

4. Sachant que $\dfrac{7\pi}{12}=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{4}$ et

 

$\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}$

 

utiliser les formules d'addition pour montrer les égalités suivantes :

 

a. $\sin\left(\dfrac{7\pi}{12}\right)=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

 

b. $\cos\left(\dfrac{7\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}\right)$

 

c. $\sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right)=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

 

d. $\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$