Devoir math n°18 - 2nd

 
 
Exercice 1
 
1. Rappeler :
 
a. La définition de radian.
 
b. La définition du cercle trigonométrique. 
 
c. La relation fondamentale de la trigonométrie.
 
2. Répondre par vrai ou faux :
 
a. Si $M$ est un point de l'arc $\overset{\displaystyle\frown}{AB}$, $N$ un point de l'arc $\overset{\displaystyle\frown}{AB}$, alors $\widehat{AMB}$ et $\widehat{ANB}$ sont supplémentaires.
 
b. Un quadrilatère convexe est inscriptible si et seulement si deux de ses angles opposés sont complémentaires.
 
c. Si deux vecteurs non nuls $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux, alors $\left(\overrightarrow{u}\;,\ \overrightarrow{v}\right)=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi.$
 
d. Si les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés dans cet ordre alors $\left(\overrightarrow{BA}\;,\ \overrightarrow{BC}\right)=\pi+2k\pi.$
 
3. L'une des mesures de l'angle $\left(\vec{u}\;,\ \vec{v}\right)$ est $\alpha.$
 
Déterminer dans chaque cas sa mesure principe $\alpha_{0}$ :
 
$\alpha=\dfrac{25\pi}{4}$ ; 
 
$\alpha=\dfrac{19\pi}{3}$ ;
 
$\alpha=\dfrac{47\pi}{6}$ ;
 
$\alpha=\dfrac{27\pi}{2}$
 
4. Recopier et compléter :
 
a. $\sin(a+b)=\ldots\ldots\ldots$
 
b. $\sin(a-b)=\ldots\ldots\ldots$
 
c. $\cos(a-b)=\ldots\ldots\ldots$
 
d. $cos(a+b)=\ldots\ldots\ldots$
 
5. Démontrer les relations suivantes :
 
a. $\sin2a=2\sin a\cos a$
 
b. $\cos 2a=\cos^{2}a-\sin^{2}a=2\cos^2a-1=1-2\sin^{2}a$
 
Exercice 2
 
1. A partir du cercle trigonométrique déterminer le signe de $\sin x$ et de $\cos x$ dans chacun des cas suivantes :
 
a. $x\in\left]-\dfrac{\pi}{2}\ ;\ 0\right[$
 
b. $x\in\left]\dfrac{\pi}{2}\ ;\ \pi\right[$
 
c. $x\in]-\pi\ ;\ 0[$
 
d. $x\in\left]-\dfrac{3\pi}{2}\ ;\ \dfrac{\pi}{2}\right[$
 
2. Sachant la valeurs de $\sin x$ ou de $\cos x$ calculer la valeur de l'autre pus la tangente de l'angle $x.$
 
a. $\cos x=\dfrac{1}{4}\ ;\ x\in\left]0\ ;\ \dfrac{\pi}{2}\right[$
 
b. $\sin x=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\ ;\ x\in\left[\dfrac{\pi}{2}\ ;\ 0\right]$
 
3. Simplifier les expressions suivantes : 
 
a. $A=\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)-3\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)-4\sin(\pi-x)$
 
b. $B=sin(\pi-x)+\sin\left(\dfrac{5\pi}{2}+x\right)-\sin(-x)-\cos(x+\pi)$
 
c. $C=\cos(\pi-x)+\sin(\dfrac{\pi}{2}-x)-\cos(-x)+\sin(\pi+x)$
 
d. $D=\sin(x+\dfrac{\pi}{2})-\cos(-\dfrac{\pi}{2}-x)-\sin(\pi-x)$
 
e. $E=\sin(x-\pi)+\sin(-\dfrac{\pi}{2}+x)+\sin(x+\dfrac{113\pi}{2}+\cos(x+\pi)$
 
f. $F=\cos(-\pi-x)+\sin(\dfrac{7\pi}{2}-x)-\cos(-x)+\sin(-\pi+x)$
 
4. Sachant que $\dfrac{7\pi}{12}=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{4}$ et
 
$\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}$
 
utiliser les formules d'addition pour montrer les égalités suivantes :
 
a. $\sin\left(\dfrac{7\pi}{12}\right)=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
 
b. $\cos\left(\dfrac{7\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}\right)$
 
c. $\sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right)=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$
 
d. $\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$
 

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