Devoir math n°16 - 2nd

 
 
Exercice 1 
 
On donne le polynôme $P(x)=-x^{4}-x^{3}+7x^{2}+x-6$
 
1. Vérifier que $P(x)=(x-1)Q(x)$ puis préciser le degré de $Q$
 
2. Montrer que $-1$ est zéro du polynôme $Q$ 
 
3. Factoriser complément $P(x)$
 
On définit H $H(x)=\dfrac{p(x)}{(x^{2}-9)(x-2)}$
 
4. Déterminer $D_{H}$, le domaine de définition de $H$
 
5. Simplifier $H$
 
6. Trouver deux polynômes $q(x)$ et $r(x)$ tel que : $H(x)=q(x)+\dfrac{r(x)}{x+3}$
 
7. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $H(x)\leq0$
 
Exercice 2
 
On considéré $E_{m}(u)=m\cdot u^{2}-(m+1)\cdot u+1$
 
1. Démontrer que l'équation $E_{m}(u)=0$ admet dans $\mathbb{R}$ au moins une solution pour tout réel $m.$
 
2. Donner la forme canonique de $E_{m}.$
 
3. Déterminer le ou les réel(s) $m$ pour que l'équation $E_{m}$ ait, dans $\mathbb{R}$ :
 
a. Une seule solution
 
b. Une solution double
 
c. Deux solutions distinctes.
 
On suppose que $\left(E_{m}\right)$ admet deux racines $x$ et $y$
 
4. Calculer en fonction de $m$ :
 
a. $x+y$
 
b. $x^{2}+y^{2}$
 
c. $\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{x}$
 
5. Montrer que le réel $Z=x^{3}y^{3}-x^{3}y^{2}-x^{2}y^{3}+x^{2}y^{2}$ est nul.
 
Exercice 3
 
Sur la figure ci-dessus le plan est muni d'un repère $\left(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}\right)$
 
fig100
 
1. Préciser les coordonnées des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}.$
 
2. Déterminer l'équation de la droite $(DE).$
 
3. Donner l'équation paramétrique de la droite $(DE)$
 
4. Montrer que $\left(\vec{u}\;,\ \vec{v}\right)$ est une base du plan.
 
5. Donner l'expression des vecteurs  $\vec{i}$ et $\vec{j}$ dans la base $\left(\vec{u}\;,\ \vec{v}\right).$
 
6. $I$ est un point du plan tel que : $\overrightarrow{OI}=9\vec{i}+9\vec{j}.$
 
Donner les coordonnées du point $I$ dans le repère $\left(\Omega\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v}\right)$
 
7. Exprimer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{DE}$ dans le repère $\left(\Omega\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v}\right)$
 
En déduire que la droite $(DE)$ et la droite de directeur $\vec{u}$ sont parallèle. 
 

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