Devoir math n°13 - 2nd

 

Exercice 1

 

Écrire le plus simplement possible les nombres suivantes :

 

$A=\left(1-\dfrac{1}{2}\div 1+\dfrac{1}{2}\times\dfrac{7}{6}-\dfrac{1}{3}\div\dfrac{4}{5}-1\times\dfrac{-18}{10}\right)$ : $\left(\dfrac{2}{7}\times 1-\dfrac{1}{7}\div 1+\dfrac{1}{7}\right)$ ;

 

$B=\dfrac{\left(-3^{2}\right)^{2}\times(-5)^{3}\times\left(-8\times10^{-1}\right)^{3}\times\left(4\times10^{-1}\right)^{4}}{\left(6\times10^{-1}\right)^{2}\times(-12)^{5}\times\left(144\times10^{-1}\right)\times(-54)^{3}}$ ;

 

$C=\sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2}-(1-\sqrt{6})^{2}+(\sqrt{3}-\sqrt{8})^{2}}$ ;

 

$D=\dfrac{\sqrt{11+6\sqrt{2}}+\sqrt{3}-\sqrt{5+2\sqrt{6}}}{\sqrt{6+2\sqrt{5}}+\sqrt{2}-\sqrt{7+\sqrt{10}}}$

 

Exercice 2

 

Résoudre dans $\mathbb{R}$ :

 

1. $6(x+1)(x-9)(3x+1)-9(x-9)(3x+1)(2x-1)=0$

 

2. $\dfrac{2x-1}{2x+1}=\dfrac{2x+1}{2x-1}-\dfrac{8}{4x^{2}-1}$

 

3. $|5x+2|+3|4x-7|-2|5-3x|=-5$

 

4. $|5x+2|+3|4x-7|-2|5-3x|\leq3$

 

5. $\dfrac{8x-1}{21}-\dfrac{4x+3}{14}\leq\dfrac{x}{2}-\dfrac{3x+1}{7}+\dfrac{2x-1}{6}$

 

6. $\dfrac{(2x+5)(3+2x)(4-5x)}{x(x-3)}$

 

Exercice 3

 

Soit $ABC$ un triangle tel que $AB=3\,cm$, $AC=4.5\,cm$ et $BC=6\,cm.$

 

$K$ est le milieu de $[BC]$, $G$ le centre de gravité du triangle, $D$ et $E$ les points tel que $\overrightarrow{CD}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BE}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}.$

 

On note $I$ le milieu de $[DE]$

 

1. Construire le triangle $ABC$ avec les points $K$, $G$, $D$ et $E$

 

2.a. Exprimer les vecteurs $\overrightarrow{AI}$ et $\overrightarrow{AK}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$

 

b. Montrer que les points $A$, $K$ et $I$ sont alignés.

 

3. Montrer que le point $G$ est le milieu de $[AI]$

 

4. Montrer que les droites $(BC)$ et $(ED)$ sont parallèles.

 

Exercice 4

 

Soit $ABC$ un triangle tel que $AB=6\,cm$, $BC=6\,cm$ et $AC=6\,cm$

 

$P$ est le barycentre des points pondérées $(A\ ;\ \dfrac{1}{3})$ et $(B\ ;\ 1)$ ;$Q$ est le point tel que $\overrightarrow{QA}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{CA}$ ;

 

$G$ est le barycentre des points pondérés $(A\ ;\ 1)$, $(B\ ;\ 3)$ et $(C\ ;\ 2)$

 

1. Construire le triangle $ABC$ avec les points $P$ et $Q$

 

2.a. Montrer que $Q$ est le barycentre de $A$ et $C$ affectée des coefficients à déterminer

 

b. Construire le point $G$

 

c. Montrer que les droites $(AQ)$ et $(PC)$ sont sécantes en précisant leur point d'intersection

 

4.a. Déterminer et construire l'ensemble $E$ des points $M$ du plan tels que :

 

5. $\left|\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}\right|=4\left|3\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}\right|$

 

b. Déterminer et construire l'ensemble $H$ des points $M$ du plan tels que :

 

$\left|\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}\right|=12$