Devoir math n°10 - 2nd
Exercice 1
1. On donne les expressions suivantes :
A=[1+2 : (1−5a2)] : [√5+a√5−a+√5−a√5+a] et
B=b+√b2−1b−√b2−1+b−√b2−1b+√b2−1
a. Donner les conditions sur a pour assurer l'existence de A, puis simplifier A
b. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que B existe, puis simplifier B
2. Simplifier les écritures suivantes :
R=√(√3+√2)2−(1−√6)2+(√3−√8)2 ;
Q=(32×23)4(34×23)5×(27×8−2)4[(3−1)3×27]−2
Exercice 2
1. Soient trois a, b et c de l'intervalle ]0 ; 1].
a. Démontrer que : (ab−1)(bc−1)(ca−1)≤0$
b. En déduire que a+b+c+1abc≥1a+1b+1c+abc
2. Soient x, y, z et t tels que :
0≤x≤y≤z≤t.
Démontrer que : xy+yz+zt+tx≥yx+zy+tz+xt de deux façon différentes :
a. En utilisant les résultats de la question 1
b. En démontrant que : (z−x)(t−y)(yt−xz)≥0
Exercice 3
Soit les réels x et y dont les valeurs approchées sont 1.5 et 2.7 avec les incertitudes ε et 2×10−1
On note β=ε+2×10−1
1. Déterminer des encadrements des réels x+y, y−1, x+yy−x et (y+xy−x−3.5) en fonction de β
Quel est le signe du réel d tel que d=4.5β1.2−β−4.5β1.2+β?
Exercice 4
Soit ABCD un parallélogramme et les points I et J milieux respectifs des segments [AB] et [CD]
1. Démontrer que les droites (ID) et (JB) sont parallèles.
2. Construire les ponts H et N tels que : →AH=12→AC et →AN=23→AC
3. Exprimer →IH et →ID en fonction des vecteurs →AB et →AC
En déduire que H appartient à la droite (ID).
4. Exprimer →BJ et →BN en fonction des vecteurs →AB et →AC.
En déduire que N appartient à la droite (JB)
5. Démontrer que HINJ est un parallélogramme.
Soit G le point du plan tel que →GD−2→GI=→0
6. Démontrer que B est le milieu du segment [CE].
7. Déterminer et construire l'ensemble des points M du plan tels que :
|→MD−2→MI|=4
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