Dérivabilité - 1er L
Classe:
Première
I. Dérivabilité d'une fonction en un nombre réel
1. Définition
On dit qu'une fonction $f$ est dérivable en un réel $a$ $\left(a\in\mathcal{D}_{f}\right)$ si $\lim\limits_{x\;\longrightarrow\;a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ est un nombre réel $l.$
Le nombre réel $l$ est appelé nombre dérivé de $f$ en $a$ et est noté $f'(a).$
2. Exemple
$f(x)=2x+1$ ; Montrons que $f$ est dérivable en $l$ et précisons le nombre dérivé de $f$ en $l.$
$\lim\limits_{x\;\longrightarrow\;1}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=2$ donc $f$ est dérivable en $l$ et le nombre dérivé de $f$ en $l$ est $f'(l)=2.$
3. Exercice d'application
Soit $f(x)=-x+2.$
Montrer que $f$ est dérivable en $2$ et préciser le nombre dérivé de $f$ en $2.$
4. Tangente à la courbe d'une fonction en un point
a. Définition
Soit $f$ est une fonction dérivable en $a.$
La droite d'équation $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ est dite tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a.$
b. Exemple
Soit $f$ telle que $f(x)=x^{2}.$
On montre que $f$ est dérivable en $l$ et le nombre dérivé de $f$ en $l$ est $f'(l)=2.$
Ainsi la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $l$ est la droite d'équation $y=f'(l)(x-l)+f(l)=2x-1.$
II. Fonction dérivée d'une fonction donnée
Soit $f$ une fonction dérivable en tout nombre réel $a$ d'un intervalle $I.$
A partir de la fonction, on peut définir une nouvelle fonction notée $f$ appelée fonction dérivée de $f.$
L'expression de la fonction $f'$ est donc $f'(x).$
1. Fonction dérivée des fonctions usuelles
Les propriétés suivantes permettent de calculer les expressions des fonctions dérivées des fonctions usuelles.
a. Propriété
Si $f(x)=c$ où $c$ est un réel constant alors la fonction dérivée de $f$ est définie par $f'(x)=0.$
Exemples
$\bullet\ $Pour $f(x)=8$, on a $f'(x)=0$
$\bullet\ $Pour $f(x)=-5$, on a $f'(x)=0$
b. Propriété
Si $f(x)=x$ alors $f'(x)=1.$
c. Propriété
Si $f(x)=ax+b$ où $a$ et $b$ sont des réels constants alors $f'(x)=a$
Exemples
$\surd\ $Soit $f(x)=2x$, ici $a=2$ et $b=0$ donc $f'(x)=2.$
$\surd\ $Soit $f(x)=-x+3$, $a=-1$ et $b=3$ donc $f'(x)=-1.$
d. Propriété
Si $f(x)=x^{n}$ où $n$ est un entier naturel non nul alors $f'(x)=nx^{n-1}.$
Exemples
$\surd\ $Soit $f(x)=x^{2}$ ; $f(x)=x^{n}$ avec $n=2$ donc $f'(x)=2x.$
$\surd\ $Soit $f(x)=x^{3}$ ; $f(x)=x^{n}$ avec $n=3$ donc $f'(x)=3x^{2}$
e. Propriété
Si $f(x)=\dfrac{1}{x}$ alors $f'(x)=-\dfrac{1}{x^{2}}$
Tableau récapitulatif
Le tableau suivant permet de résumer les résultats ci-dessus
$$\begin{array}{|l|l|} \hline f(x)&f'(x)\\ \hline f(x)=c\ ;\ c\in\mathbb{R}&f'(x)=0\\ \hline f(x)=c\ ;\ c\in\mathbb{R}&f'(x)=0\\ \hline f(x)=x&f'(x)=1\\ \hline f(x)=ax+b&f'(x)=a\\ \hline f(x)=x^{n}\ ;\ n\in\mathbb{N}\setminus{0}&f'(x)=nx^{n-1}\\ \hline f(x)=\dfrac{1}{x}&f'(x)=-\dfrac{1}{x^{2}}\\ \hline \end{array}$$
2. Opérations sur les dérivées
a. Dérivée d'une somme
$\surd\ $Soient $u$ et $v$ deux fonctions.
La dérivée de la somme $u(x)+v(x)$ est : $$[u(x)+v(x)]^{\prime}=u'(x)+v'(x)$$
Exemple
Pour $f(x)=x^{4}+x^{2}$ on a $f'(x)=4x^{3}+2x$
$\surd\ $Soient $u$ et $v$ deux fonctions.
La dérivée de la différence $u(x)-v(x)$ est : $$[u(x)-v(x)]^{\prime}=u'(x)-v'(x)$$
Exemple
Pour $f(x)=2x-x^{3}$ on a $f'(x)=2-3x^{2}$
b. Dérivée d'un produit
$\surd\ $Soit $u$ une fonction et $\alpha$ un nombre réel constant non nul.
La dérivée du produit $\alpha\,u(x)$ est : $$[\alpha\cdot u(x)]^{\prime}=\alpha\cdot u^{\prime}(x)$$
Exemple
$f(x)=4x^{3}$, on a : $f'(x)=4\left(3x^{2}\right)=12x^{2}$
$\surd\ $Soient $u$ et $v$ deux fonctions.
La dérivée du produit $u(x)\times v(x)$ est :$$[u(x)\times v(x)]^{\prime}=u'(x)\times v(x)+v'(x)\times u(x)$$
Exemple
Pour $f(x)=(3x+1)\left(x^{3}+x\right).$
On a $f'(x)=3\left(x^{3}+x\right)+\left(3x^{2}+1\right)(3x+1).$
$\surd\ $Soit $u$ une fonction et $n$ un entier naturel supérieur à $l.$
La dérivée de $[u(x)]^{n}$ est :
$$\left[u(x)^{n}\right]^{\prime}=n\times u'(x)\times [u(x)]^{n-1}$$
Exemple
Pour $f(x)=(-2x+5)^{3}$, on a $f'(x)=3(-2)(-2x+5)^{2}=-6(-2x+5)^{2}$
c. Dérivée d'un quotient
$\surd\ $Soit $u$ une fonction.
La dérivée du quotient $\dfrac{1}{u(x)}$ est : $$\left[\dfrac{1}{u(x)}\right]^{\prime}=-\dfrac{u'(x)}{[u(x)]^{2}}$$
Exemple
Pour $f(x)=(-2x+5)^{3}$, on a $f'(x)=3(-2)(-2x+5)^{2}=-6(-2x+5)^{2}$
c. Dérivée d'un quotient
$\surd\ $Soit $u$ une fonction.
La dérivée du quotient $\dfrac{1}{u(x)}$ est : $$\left[\dfrac{1}{u(x)}\right]^{\prime}=-\dfrac{u'(x)}{[u(x)]^{2}}$$
Exemple
Pour $f(x)=\dfrac{1}{2x+1}$ on a $f'(x)=-\dfrac{2}{(2x+1)^{2}}$
$\surd\ $Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ tel que $v$ ne s'annule pas sur $I.$
La dérivée du quotient $\dfrac{u(x)}{v(x)}$ est : $$\left[\dfrac{u(x)}{v(x)}\right]^{\prime}=\dfrac{u'(x)\times v(x)-v'(x)\times u(x)}{[v(x)]^{2}}$$
Exemple
Pour $f(x)=\dfrac{2x-1}{3x+1}$, on a $f'(x)=\dfrac{2(3x+1)-3(2x-1)}{(3x+1)^{2}}=\dfrac{5}{(3x+1)^{2}}$
Le tableau ci-dessous permet de résumer les différents résultats ci-dessus
$$\begin{array}{|l|l|} \hline \text{Fonctions définies par}&\text{Dérivées}\\ \hline u(x)+v(x)&u'(x)+v'(x)\\ \hline u(x)-v(x)&u'(x)-v'(x)\\ \hline a\times u(x)&a\times u'(x)\\ \hline u(x)\times v(x)&u'(x)\times v(x)+v'(x)\times u(x)\\ \hline \dfrac{1}{u(x)}&-\dfrac{u'(x)}{[u(x)]^{2}}\\ \hline \dfrac{u(x)}{v(x)}&\dfrac{u'(x)\times v(x)-v'(x)\times u(x)}{[u(x)]^{2}}\\ \hline u(x)^{n}&nu'(x)[u(x)]^{n-1}\\ \hline \end{array}$$
III. Sens de variation d'une fonction
1. Théorème
Soit $f$ est une fonction dérivable en tout nombre réel $a$ d'un intervalle $I.$
$\bullet\ $Si pour tout $x\in\;I$, $f'(x)\geq 0$ alors on dit que $f$ est croissante sur $I.$
$\bullet\ $Si pour tout $x\in\;I$, $f'(x)\leq 0$ alors on dit que $f$ est décroissante sur $I.$
$\bullet\ $Si pour tout $x\in\;I$, $f'(x)=0$ alors on dit que $f$ est constante sur $I.$
2. Définition
Étudier le sens de variation d'une fonction $f$ sur un intervalle $I$, c'est étudier si $f$ est croissante ou décroissante sur $I.$
Ainsi pour étudier le sens de variation (ou les variations) d'une fonction sur un intervalle $I$ alors on calcule $f'(x)$ puis on étudie son signe sur $I.$
3. Exemple
1. $f(x)=x^{2}-6x+5.$
Étudions le sens de variation de $f$ sur les intervalles de $\mathcal{D}_{f}.$
Dressons le tableau qui permet de visualiser les variations de $f$, ce tableau sera appelé tableau de variations de $f.$
2. $f(x)=x^{3}-3x.$
Étudions les variations de $f$ sur $\mathcal{D}_{f}$ puis dressons son tableau de variations.
4. Extrémums d'une fonction
Si $f'(x)$ s'annule en $a$ et change de signe alors $f$ admet un extrémum en $a$ et dans ce cas, l'extrémum est le point de coordonnée $\left(a\;,\ f(a)\right).$
De plus si le signe de $f'(x)$ passe de $+$ en $-$ alors l'extrémum est dit maximum et si c'est de $-$ en $+$ alors il est dit minimum.
Par exemple $f$ définie ci-dessus admet un extrémum en $3$ et cet extrémum est un minimum de $f.$
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