Corrigé Exercice 8 : Ensemble $\mathbb{Q}$ des nombres rationnels 4e

 

1) Mettons les expressions suivantes sous la forme de $2^{n}\times 3^{m}\times 5^{p}$, où $n\;,\ m\ $ et $\ p$ sont des entiers.

 

Soit : $C=12\times 36\times 6^{-5}\times 100\times 5^{-3}$

 

Alors, en décomposant les nombres $12\;,\ 36\;,\ 6\ $ et $\ 100$ en un produit de facteurs premiers, on obtient :

 

$12=2^{2}\times 3$

 

$36=2^{2}\times 3^{2}$

 

$6=2\times 3$

 

$100=2^{2}\times 5^{2}$

 

Ainsi, dans l'écriture de $C$, en remplaçant les nombres $12\;,\ 36\;,\ 6\ $ et $\ 100$ par leur expression, on trouve :

 

$\begin{array}{rcl} C&=&12\times 36\times 6^{-5}\times 100\times 5^{-3}\\\\&=&2^{2}\times 3\times 2^{2}\times 3^{2}\times(2\times 3)^{-5}\times 2^{2}\times 5^{2}\times 5^{-3}\\\\&=&2^{2}\times 3^{1}\times 2^{2}\times 3^{2}\times 2^{-5}\times 3^{-5}\times 2^{2}\times 5^{2}\times 5^{-3}\\\\&=&2^{2}\times 2^{2}\times 2^{-5}\times 2^{2}\times 3^{1}\times 3^{2}\times 3^{-5}\times 5^{2}\times 5^{-3}\\\\&=& 2^{2+2-5+2}\times 3^{1+2-5}\times 5^{2-3}\\\\ &=& 2^{1}\times 3^{-2}\times 5^{-1} \end{array}$

 

D'où, $\boxed{C=2^{1}\times 3^{-2}\times 5^{-1}}$

 

Soit : $D=2\times 64\times 6^{-5}\times 100\times 5^{-3}$

 

En décomposant les nombres $64\;,\ 6\ $ et $\ 100$ en un produit de facteurs premiers, on obtient :

 

$64=2^{6}$

 

$6=2\times 3$

 

$100=2^{2}\times 5^{2}$

 

Ainsi, dans l'écriture de $D$, en remplaçant les nombres $64\;,\ 6\ $ et $\ 100$ par leur expression, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} D&=&2\times 64\times 6^{-5}\times 100\times 5^{-3}\\\\&=&2^{1}\times 2^{6}\times(2\times 3)^{-5}\times 2^{2}\times 5^{2}\times 5^{-3}\\\\&=&2^{1}\times 2^{6}\times 2^{-5}\times 3^{-5}\times 2^{2}\times 5^{2}\times 5^{-3}\\\\&=&2^{1}\times 2^{6}\times 2^{-5}\times 2^{2}\times 3^{-5}\times 5^{2}\times 5^{-3}\\\\&=&2^{1+6-5+2}\times 3^{-5}\times 5^{2-3}\\\\&=&2^{4}\times 3^{-5}\times 5^{-1}\end{array}$

 

D'où, $\boxed{D=2^{4}\times 3^{-5}\times 5^{-1}}$

 

2) Donnons une écriture simple de $E\ $ et $\ F.$

 

Soit : $E=\dfrac{a^{2}\times(bc^{3})^{4}}{a^{-2}\times b^{2}\times c^{2}}$ avec ; $a\;,\ b\;,\ c\;,\ n\ $ et $\ m$ différents de zéro.

 

Alors, en appliquant les propriétés sur les puissances, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} E &=& \dfrac{a^{2}(b c^{3})^{4}}{a^{-2}\times b^{2}\times c^{2}}\\\\&=& \dfrac{a^{2}\times b^{4}\times (c^{3})^{4}}{a^{-2}\times b^{2}\times c^{2}}\\\\&=& \dfrac{a^{2}\times b^{4}\times c^{4\times 3}}{a^{-2}\times b^{2}\times c^{2}}\\\\&=& \dfrac{a^{2}\times b^{4}\times c^{12}}{a^{-2}\times b^{2}\times c^{2}}\\\\&=&a^{2}\times b^{4}\times c^{12}\times a^{2}\times b^{-2}\times c^{-2}\\\\&=&a^{2}\times a^{2}\times b^{4}\times b^{-2}\times c^{12}\times c^{-2}\\\\&=&a^{2+2}\times b^{4-2}\times c^{12-2}\\\\&=&a^{4}\times b^{2}\times c^{10}\end{array}$

 

D'où, $\boxed{E=a^{4}\times b^{2}\times c^{10}}$

 

Soit : $F=\dfrac{n^{-3}\times(n\times m)^{3}\times n^{6}}{m^{+5}\times n^{-8}\times m^{-7}}$ avec ; $a\;,\ b\;,\ c\;,\ n\ $ et $\ m$ différents de zéro.

 

Alors, en appliquant les propriétés sur les puissances, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} F&=&\dfrac{n^{-3}\times(n\times m)^{3}\times n^{6}}{m^{+5}\times n^{-8}\times m^{-7}}\\\\&=&\dfrac{n^{-3}\times n^{3}\times m^{3}\times n^{6}}{m^{5}\times n^{-8}\times m^{-7}}\\\\&=&n^{-3}\times n^{3}\times m^{3}\times n^{6}\times m^{-5}\times n^{8}\times m^{7}\\\\&=&n^{-3}\times n^{3}\times n^{6}\times n^{8}\times m^{3}\times  m^{-5}\times m^{7}\\\\&=&n^{-3+3+6+8}\times m^{3-5+7}\\\\&=&n^{14}\times m^{5}\end{array}$

 

D'où, $\boxed{F=m^{5}\times n^{14}}$