Corrigé Exercice 6 : Équations et inéquations du 1er degré à une inconnue 3e

 

Résolvons dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes :

 

a) $(x +4)^{2}-(2x+8)(5-3x)<0$

 

On a : $(x +4)^{2}-(2x+8)(5-3x)=(x +4)^{2}-2(x+4)(5-3x)$ donc, en factorisant par $(x+4)$ on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} (x +4)^{2}-(2x+8)(5-3x)&=&(x +4)[(x+4)-2(5-3x)]\\\\&=&(x +4)(x+4-10+6x)\\\\&=&(x +4)(7x-6)\end{array}$

 

Ainsi, résoudre $(x +4)^{2}-(2x+8)(5-3x)<0$ revient à résoudre l'inéquation $$(x +4)(7x-6)<0$$

On a : $(x +4)(7x-6)=0$ si, et seulement si, $x+4=0\quad$ ou $\quad 7x-6=0$

 

Ce qui donne : $x=-4\quad$ ou $\quad x=\dfrac{6}{7}$

 

Par conséquent : 

 

$(x +4)$ est positif pour tout $x>-4$ et négatif pour $x<-4.$

 

$(7x-6)$ est positif pour tout $x>\dfrac{6}{7}$ et négatif pour $x<\dfrac{6}{7}.$

 

Considérons le tableau de signes suivant :

 

$$\begin{array}{|c|lclclcr|}\hline x&-\infty& &-4& &6/7& &+\infty \\ \hline x+4& &-&0&+&|&+&\\ \hline 7x-6& &-&|&-&0&+&\\ \hline (x +4)(7x-6)& &+&0&\boxed{-}&0&+&\\ \hline\end{array}$$

Nous constatons que $(x +4)(7x-6)$ est de signe négatif pour les $x$ appartenant à l'intervalle $\left[-4\;;\ \dfrac{6}{7}\right].$ 

 

D'où, l'inéquation $(x +4)(7x-6)<0$ a pour solution : $$S=\left]-4\;;\ \dfrac{6}{7}\right[$$

Commentaire sur le tableau :

 

$-\ $ Pour $x\in\;]-\infty\;;\ -4[$, on a $(x +4)$ et $(7x-6)$ de signe négatif. Donc, leur produit sera de signe $\boxed{+}=(-)\times(-)$

 

$-\ $ Pour $x\in\left[-4\;;\ \dfrac{6}{7}\right]$, on a $(x +4)$ de signe positif et $(7x-6)$ de signe négatif. D'où, leur produit aura pour signe $\boxed{-}=(+)\times(-)$

 

$-\ $ Pour $x\in\left]\dfrac{6}{7}\;;\ +\infty\right[$, on a $(x +4)$ et $(7x-6)$ de signe positif. Ainsi, leur produit sera de signe $\boxed{+}=(+)\times(+)$

 

b) $(1-2x)(x-2)-4x^{2}+4x-1>0$

 

On sait que : $(1-2x)(x-2)-4x^{2}+4x-1=(1-2x)(x-2)-(4x^{2}-4x+1)$

 

or, $4x^{2}-4x+1=(2x-1)^{2}$ donc,

 

$\begin{array}{rcl} (x-2)-4x^{2}+4x-1&=&(1-2x)(x-2)-(4x^{2}-4x+1)\\\\&=&-(2x-1)(x-2)-(2x-1)^{2}\\\\&=&(2x-1)[-(x-2)-(2x-1)]\\\\&=&(2x-1)(-3x+3)\end{array}$

 

Ainsi, $(1-2x)(x-2)-4x^{2}+4x-1>0$ est équivalente à l'inéquation $$(2x-1)(-3x+3)>0$$

Résolvons alors cette dernière inéquation.

 

On a : $(2x-1)(-3x+3)=0$ si, et seulement si, $2x-1=0\quad$ ou $\quad -3x+3=0$

 

Ce qui entraine : $x=\dfrac{1}{2}\quad$ ou $\quad x=\dfrac{-3}{-3}=1$

 

Par conséquent : 

 

$(2x-1)$ est positif pour tout $x>\dfrac{1}{2}$ et négatif pour $x<\dfrac{1}{2}.$

 

Et pour $(-3x+3)$, on voit bien que le coefficient affectant $x$ est négatif. Cela entraine donc un changement de sens des inégalité.

 

Ainsi, $(-3x+3)$ est positif pour tout $x<1$ et négatif pour $x>1.$

 

Soit le tableau de signes suivant :

$$\begin{array}{|c|lclclcr|}\hline x&-\infty& &1/2& &1& &+\infty \\ \hline 2x-1& &-&0&+&|&+&\\ \hline -3x+3& &+&|&+&0&-&\\ \hline (2x-1)(-3x+3)& &-&0&\boxed{+}&0&-&\\ \hline\end{array}$$

Ainsi, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $\left]\dfrac{1}{2}\;;\ 1\right[\;,\ (2x-1)(-3x+3)$ est de signe positif. 

 

D'où, l'inéquation $(2x-1)(-3x+3)>0$ a pour solution : $$S=\left]\dfrac{1}{2}\;;\ 1\right[$$

c) $\dfrac{(2-x)(x+1)}{x^{2}+9}\leq 0$

 

L'inéquation $\dfrac{(2-x)(x+1)}{x^{2}+9}\leq 0$ existe si, et seulement si, $x^{2}+9\neq 0.$

 

C'est-à-dire ; $x^{2}\neq -9.$ Ce qui est toujours vrai car, un carré n'est jamais négatif.

 

Ce qui veut dire encore que l'inéquation $\dfrac{(2-x)(x+1)}{x^{2}+9}\leq 0$ existe pour tout $x\in\mathbb{R}.$

 

On a : $\dfrac{(2-x)(x+1)}{x^{2}+9}=0$ si, et seulement si, $(2-x)(x+1)=0.$

 

Donc, on aura : $2-x=0\quad$ ou $\quad x+1=0$

 

Ce qui donne : $x=2\quad$ ou $\quad x=-1$

 

Par suite :

 

$(2-x)$ est positif pour tout $x<2$ et négatif pour $x>2.$

 

$(x+1)$ est positif pour tout $x>-1$ et négatif pour $x<-1.$

 

$x^{2}+9$ est positif pour tout $x\in\mathbb{R}$

 

Considérons le tableau de signes suivant :

$$\begin{array}{|c|lclclcr|}\hline x&-\infty& &-1& &2& &+\infty \\ \hline 2-x& &+&|&+&0&-&\\ \hline x+1& &-&0&+&|&+&\\ \hline x^{2}+9& &+&|&+&|&+&\\ \hline \dfrac{(2-x)(x+1)}{x^{2}+9}& &\boxed{-}&0&+&0&\boxed{-}&\\ \hline\end{array}$$

Ainsi, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $]-\infty\;;\ -1]\cup[2\;;\ +\infty[$, l'expression $\dfrac{(2-x)(x+1)}{x^{2}+9}$ est inférieure ou égale à zéro. 

 

D'où, l'inéquation $\dfrac{(2-x)(x+1)}{x^{2}+9}\leq 0$ a pour solution : $$S=]-\infty\;;\ -1]\cup[2\;;\ +\infty[$$

d) $\dfrac{(1-3x)}{(x^{2}-4)}<0$

 

L'inéquation $\dfrac{(1-3x)}{(x^{2}-4)}<0$ existe si, et seulement si, $x^{2}-4\neq 0.$

 

C'est-à-dire ; $x^{2}\neq 4.$

 

Or,

 

$\begin{array}{rcl} x^{2}\neq 4&\Leftrightarrow&\sqrt{x^{2}}\neq\sqrt{4}\\\\&\Leftrightarrow&|x|\neq 2\\\\&\Leftrightarrow&x\neq 2\ \text{ et }\ x\neq -2\end{array}$

 

Donc, l'inéquation $\dfrac{(1-3x)}{(x^{2}-4)}<0$ existe pour tout $x$ différent de $2\ $ et $\ -2.$

 

Déterminons alors le signe du numérateur et du dénominateur de $\dfrac{(1-3x)}{(x^{2}-4)}.$

 

On a :

 

$1-3x=0$ si, et seulement si, $-3x=-1.$

 

Ce qui donne : $x=\dfrac{-1}{-3}=\dfrac{1}{3}$

 

Dans l'expression $(1-3x)$ on remarque que le coefficient associé à $x$ est négatif.

 

Donc, $(1-3x)$ est positif pour tout $x<\dfrac{1}{3}$ et négatif pour $x>\dfrac{1}{3}.$

 

Pour le dénominateur, on a :

 

$x^{2}-4=0$ si, et seulement si, $(x-2)(x+2)=0.$

 

Donc, on aura : $x-2=0\quad$ ou $\quad x+2=0$

 

C'est-à-dire : $x=2\quad$ ou $\quad x=-2$

 

Ainsi :

 

$(x-2)$ est positif pour tout $x>2$ et négatif pour $x<2.$

 

$(x+2)$ est positif pour tout $x>-2$ et négatif pour $x<-2.$

 

En regroupant le tout dans un tableau de signes, on obtient :

$$\begin{array}{|c|lclclclcr|}\hline x&-\infty&&-2&&1/3&&2&&+\infty\\\hline 1-3x&&+&|&+&0&-&|&-&\\\hline x-2& &-&|&-&|&-&0&+&\\\hline x+2& &-&0&+&|&+&|&+&\\\hline\dfrac{(1-3x)}{(x-2)(x+2)}&&+&||&\boxed{-}&0&+&||&\boxed{-}&\\ \hline\end{array}$$

En observant le tableau, on peut alors dire que : pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $\left]-2\;;\ \dfrac{1}{3}\right[\cup\left]2\;;\ +\infty\right[$, l'expression $\dfrac{(1-3x)}{(x^{2}-4)}$ est strictement inférieure à zéro. 

 

D'où, l'inéquation $\dfrac{(1-3x)}{(x^{2}-4)}<0$ a pour solution : $$S=\left]-2\;;\ \dfrac{1}{3}\right[\cup\left]2\;;\ +\infty\right[$$

 

e) $2x^{2}-3\geq 0$

 

En effet, on a :

 

$\begin{array}{rcl} 2x^{2}-3\geq 0&\Leftrightarrow&2x^{2}\geq 3\\\\&\Leftrightarrow&x^{2}\geq\dfrac{3}{2}\\\\&\Leftrightarrow&\sqrt{x^{2}}\geq\sqrt{\dfrac{3}{2}}\\\\&\Leftrightarrow&|x|\geq\sqrt{\dfrac{3}{2}}\\\\&\Leftrightarrow&|x|\geq\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\\\\&\Leftrightarrow&|x|\geq\dfrac{\sqrt{3}\times\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^{2}}\\\\&\Leftrightarrow&|x|\geq\dfrac{\sqrt{6}}{2}\end{array}$

 

Donc, $2x^{2}-3\geq 0$ si, et seulement si, $|x|\geq\dfrac{\sqrt{6}}{2}.$

 

Or, on sait que si, $k$ est nombre positif alors,

$$|x|\geq k\text{ si, et seulement si, }x\geq k\text{ ou }x\leq -k$$

En appliquant cette propriété, on a :

 

$|x|\geq\dfrac{\sqrt{6}}{2}$ si, et seulement si, $x\geq\dfrac{\sqrt{6}}{2}$ ou $x\leq-\dfrac{\sqrt{6}}{2}$

 

Ainsi, $|x|\geq\dfrac{\sqrt{6}}{2}$ si, et seulement si, $x$ appartenant à l'intervalle $\left]-\infty\;;\ -\dfrac{\sqrt{6}}{2}\right]\cup\left[\dfrac{\sqrt{6}}{2}\;;\ +\infty\right[.$

 

Par conséquent, l'inéquation $2x^{2}-3\geq 0$ a pour solution : $$S=\left]-\infty\;;\ -\dfrac{\sqrt{6}}{2}\right]\cup\left[\dfrac{\sqrt{6}}{2}\;;\ +\infty\right[$$

f) $\dfrac{(x^{2}-1)}{(x+3)}\geq 0$

 

En effet, l'inéquation $\dfrac{(x^{2}-1)}{(x+3)}\geq 0$ existe si, et seulement si, $x+3\neq 0.$

 

C'est-à-dire ; $x\neq -3.$

 

Déterminons alors le signe du numérateur et du dénominateur de $\dfrac{(x^{2}-1)}{(x+3)}.$

 

On a :

 

$\begin{array}{rcl}(x^{2}-1)=0&\Leftrightarrow&(x-1)(x+1)=0\\\\&\Leftrightarrow&x-1=0\ \text{ ou }\ x+1=0\\\\&\Leftrightarrow&x=1\ \text{ ou }\ x=-1\end{array}$

 

Donc,

 

$(x+3)$ est positif pour tout $x>-3$ et négatif pour $x<-3.$

 

$(x-1)$ est positif pour tout $x>1$ et négatif pour $x<1.$

 

$(x+1)$ est positif pour tout $x>-1$ et négatif pour $x<-1.$

 

En regroupant toutes ces informations dans un tableau de signes, on obtient :

$$\begin{array}{|c|lclclclcr|}\hline x&-\infty&&-3&&-1&&1&&+\infty\\\hline x-1&&-&|&-&|&-&0&+&\\\hline x+1& &-&|&-&0&+&+&+&\\\hline x+3& &-&0&+&|&+&|&+&\\\hline\dfrac{(x-1)(x+1)}{(x+3)}&&-&||&\boxed{+}&0&-&0&\boxed{+}&\\\hline\end{array}$$

Ainsi, en observant le tableau, on constate que : pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $\left]-3\;;\ -1\right]\cup\left[1\;;\ +\infty\right[$ l'expression $\dfrac{(x^{2}-1)}{(x+3)}$ est supérieure ou égale à zéro.

 

D'où, l'inéquation $\dfrac{(x^{2}-1)}{(x+3)}\geq 0$ a pour solution : $$S=\left]-3\;;\ -1\right]\cup\left[1\;;\ +\infty\right[$$

 

g)  $4x^{2}+25>0$

 

En effet, on remarque que l'expression $4x^{2}+25$ est formée de deux termes positifs $4x^{2}\ $ et $\ 25.$

 

Or, la somme de deux termes positifs est toujours positive.

 

Donc, pour tout $x$ appartenant à l'ensemble $\mathbb{R}$, l'expression $4x^{2}+25$ est toujours positive.

 

Par conséquent, l'inéquation $4x^{2}+25>0$ a pour solution : $$S=\mathbb{R}=\left]-\infty\;;\ +\infty\right[$$

 

h)  $x^{2}+5<0$

 

En observant l'expression $x^{2}+5$, on constate qu'elle est formée de deux termes positifs $x^{2}\ $ et $\ 5.$

 

Or, la somme de deux termes positifs n'est jamais négative.

 

Ce qui signifie qu'il n'existe pas de nombre $x$ vérifiant l'inéquation $x^{2}+5<0.$

 

D'où, $$S=\emptyset$$