Corrigé Exercice 3 : Distances - 4e

Classe:

Quatrième

Exercice 3 Inégalité triangulaire

Soit

$ABC$ un triangle et

$M$ un point intérieur à ce triangle. La droite

$(AM)$ coupe

$[BC]$ en

$I.$

1) a) Démontrons que

$IC+IB=BC\$ et

$\ IA<IC+CA.$

Comme la droite

$(AM)$ coupe

$[BC]$ au point

$I$ alors,

$I\in[BC]$

Ce qui entraine :

$\boxed{IC+IB=BC}$

Par ailleurs, en appliquant l'inégalité triangulaire sur le triangle

$IAC$ , on obtient :

$\boxed{IA<IC+CA}$

b) En déduisons que :

$IA+IB<CA+CB.$

On a :

$IA<IC+CA$

Donc, en ajoutant

$IB$ à chaque membre de l'inégalité, on obtient :

$IA+IB<IB+IC+CA$

Or,

$\ IC+IB=BC$ donc, en remplaçant

$IC+IB$ par

$BC$ , on trouve :

$IA+IB<BC+CA$

Ainsi,

$\boxed{IA+IB<CA+CB}$

2) Démontrons que :

$MA+MB<IA+IB.$

En appliquant l'inégalité triangulaire sur le triangle

$BMI$ , on obtient :

$MB<IM+IB$

Puis, en ajoutant

$MA$ à chaque membre de l'inégalité, on obtient :

$MA+MB<MA+IM+IB$

Comme

$M\in[IA]$ alors,

$IM+MA=IA$

Donc, en remplaçant

$IM+MA$ par

$IA$ , on obtient :

$MA+MB<IA+IB$

D'où,

$\boxed{MA+MB<IA+IB}$

3) Déduisons de ce qui précède que :

$MA+MB<CA+CB.$

D'après la question 2) on a :

$MA+MB<IA+IB$

Or, d'après la question 1) on avait :

$IA+IB<CA+CB$

Par suite,

$MA+MB<IA+IB\$ et

$\ IA+IB<CA+CB$

Par conséquent,

$\boxed{MA+MB<CA+CB}$

Auteur:

Diny Faye

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