Corrigé Exercice 26 : Théorème de Thalès - 3e

 

La figure ci-dessous donne le schéma d'une table à repasser.

Le segment $[AD]$ représente la planche. 

 

Les segments $[AB]\ $ et $\ [EC]$ représentent les pieds.

 

Les droites $(AB)\ $ et $\ (EC)$ se coupent en $O.$

 

On donne :

 

$AD=125\;cm$ ;

 

$AC=100\;cm$ ;

 

$OA=60\;cm$ ;

 

$OB=72\;cm$ ;

 

$OE=60\;cm$ ;

 

$OC=50\;cm.$

 

1) Montrons que la droite $(AC)$ est parallèle à $(EB).$

 

On a : $A\;,\ O\;,\ B$ sont trois points alignés d'une part, et $C\;,\ O\;,\ E$ sont trois points alignés d'autre part, dans le même ordre.

 

En calculant les rapports $\dfrac{OC}{OE}\ $ et $\ \dfrac{OA}{OB}$, on a :

 

$\dfrac{OC}{OE}=\dfrac{50}{60}=\dfrac{5}{6}$

 

$\dfrac{OA}{OB}=\dfrac{60}{72}=\dfrac{5}{6}$

 

On remarque alors que : $\dfrac{OC}{OE}=\dfrac{OA}{OB}$

 

Par conséquent, d'après la réciproque du théorème de Thalès, la droite $(AC)$ est parallèle à la droite $(EB).$

 

2) Calculons l'écartement $EB\ $ en $cm.$

 

En effet, comme les droites $(AC)\ $ et $\ (EB)$ sont parallèles alors, les triangles $EOB\ $ et $\ AOC$ sont en position de Thalès.

 

Ainsi, en appliquant le théorème de Thalès, on a :

$$\dfrac{EB}{AC}=\dfrac{OB}{OA}$$

Alors, en remplaçant $AC\;,\ OA\ $ et $\ OB$ par leur valeur, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl}\dfrac{EB}{100}=\dfrac{72}{60}&\Leftrightarrow&60\times EB=72\times 100\\\\&\Leftrightarrow&EB=\dfrac{7\,200}{60}\\\\&\Leftrightarrow&EB=120\end{array}$

 

D'où, $\boxed{EB=120\;cm}$

 

3) Le triangle $EOB$ n'est pas rectangle.

 

Justifions notre réponse.

 

On a :

 

$EB^{2}=120^{2}=14\,400$

 

$OB^{2}=72^{2}=5\,184$

 

$OE^{2}=60^{2}=3\,600$

 

Alors, $OB^{2}+OE^{2}=5\,184+3\,600=8\,784$

 

On constate que $EB^{2}$ n'est pas égal à $OB^{2}+OE^{2}.$

 

Donc, le théorème de Pythagore n'est pas vérifié.

 

Par conséquent, le triangle $EOB$ n'est pas rectangle.