Corrigé Exercice 22 : Multiples et diviseurs - 5e

 

1) Décomposons les nombres suivants en produits de facteurs premiers :

 

$$6;9;12;14;17;19;42;50;60;63;70;76;84;91$$

 

On a : $$$\begin{array}{rl}6& 2\\ 3& 3\\ 1& \end{array}$$\quad$donc, $6=2\times 3$

 

Soit : $$$\begin{array}{rl}9& 3\\ 3& 3\\ 1& \end{array}$$\quad$alors, $9=3^{2}$

 

On a : $$$\begin{array}{rl}12& 2\\ 6& 2\\ 3& 3\\ 1& \end{array}$$\quad$par suite, $12=2^{2}\times 3$

 

Soit : $$$\begin{array}{rl}14& 2\\ 7& 7\\ 1& \end{array}$$\quad$ainsi, $14=2\times 7$

 

On a : $$$\begin{array}{rl}17& 17\\ 1& \end{array}$$\quad$donc, $17=17\times 1$

 

Soit : $$$\begin{array}{rl}19& 19\\ 1& \end{array}$$\quad\text{alors, }19=19\times 1$

 

Soit : $$$\begin{array}{rl}42& 2\\ 21& 3\\ 7& 7\\ 1& \end{array}$$\quad$on obtient alors : $42=2\times 3\times 7$

 

On a : $$$\begin{array}{rl}50& 2\\ 25& 5\\ 5& 5\\ 1& \end{array}$$\quad$par suite,, $50=2\times 5^{2}$

 

Soit : $$$\begin{array}{rl}60& 2\\ 30& 2\\ 15& 3\\ 5& 5\\ 1& \end{array}$$\quad$ce qui donne : $60=2^{2}\times 3\times 5$

 

On a : $$$\begin{array}{rl}63& 3\\ 21& 3\\ 7& 7\\ 1& \end{array}$$\quad$d'où, $63=3^{2}\times 7$

 

Soit : $$$\begin{array}{rl}70& 2\\ 35& 5\\ 7& 7\\ 1& \end{array}$$\quad$ainsi, $70=2\times 5\times 7$

 

Soit : $$$\begin{array}{rl}76& 2\\ 38& 2\\ 19& 19\\ 1& \end{array}$$\quad$ce qui donne : $76=2^{2}\times 19$

 

On a : $$$\begin{array}{rl}84& 2\\ 42& 2\\ 21& 3\\ 7& 7\\ 1& \end{array}$$\quad$par suite, $84=2^{2}\times 3\times 7$

 

Soit : $$$\begin{array}{rl}91& 7\\ 13& 13\\ 1& \end{array}$$\quad$ainsi, $91=7\times 13$

 

2) Écrivons chacun des produits suivants sous forme d'un produit de facteurs premiers.

 

Soit : $A=14\times 18$

 

On commence d'abord par décomposer $14\ $ et $\ 18$ en produits de facteurs premiers.

 

Ce qui donne : $$$\begin{array}{rl}14& 2\\ 7& 7\\ 1& \end{array}$$\qquad$$\begin{array}{rl}18& 2\\ 9& 3\\ 3& 3\\ 1& \end{array}$$$

 

Par suite, $14=2\times 7\ $ et $\ 18=2\times 3^{2}$

 

Ensuite, dans l'écriture de $A$, on remplace $14\ $ et $\ 18$ par leurs produits de facteurs premiers :

 

$A=14\times 18=2\times 7\times 2\times 3^{2}$

 

Enfin, on utilise l'associativité de la multiplication pour regrouper les termes semblables.

 

$$$\begin{array}{rcl}2\times 7\times 2\times 3^2& =& 2\times 2\times 3^2\times 7\\ \\ & =& 2^2\times 3^2\times 7\end{array}$$$

 

D'où : $\boxed{A=2^{2}\times 3^{2}\times 7}$

 

Soit : $B=21\times 22\times 23$

 

On sait que $23$ est un nombre premier donc, pour écrire $B$ sous forme d'un produit de facteurs premiers il suffit de décomposer $21\ $ et $\ 22$ en produits de facteurs premiers.

 

Ainsi, $$$\begin{array}{rl}21& 3\\ 7& 7\\ 1& \end{array}$$\qquad$$\begin{array}{rl}22& 2\\ 11& 11\\ 1& \end{array}$$$

 

Donc, $21=3\times 7\ $ et $\ 22=2\times 11$

 

En remplaçant dans l'écriture de $B$, on obtient :

 

$B=21\times 22\times 23=3\times 7\times 2\times 11\times 23$

 

D'où, $\boxed{B=3\times 7\times 2\times 11\times 23}$

 

Soit : $C=10\times 11\times 12\times 13$

 

On sait que $11\ $ et $\ 13$ sont des nombres premiers donc, on va d'abord décomposer $10\ $ et $\ 12$ en produits de facteurs premiers.

 

Soit alors : $$$\begin{array}{rl}10& 2\\ 5& 5\\ 1& \end{array}$$\qquad$$\begin{array}{rl}12& 2\\ 6& 2\\ 3& 3\\ 1& \end{array}$$$

 

Par suite, $10=2\times 5\ $ et $\ 12=2^{2}\times 3$

 

Ensuite, dans l'écriture de $C$, on remplace $10\ $ et $\ 12$ par leurs produits de facteurs premiers :

 

$C=10\times 11\times 12\times 13=2\times 5\times 11\times 2^{2}\times 3\times 13$

 

Enfin, on utilise l'associativité de la multiplication pour regrouper les termes semblables.

 

$$$\begin{array}{rcl}2\times 5\times 11\times 2^2\times 3\times 13& =& 2\times 2^2\times 3\times 5\times 11\times 13\\ \\ & =& 2^3\times 3\times 5\times 11\times 13\end{array}$$$

 

D'où : $\boxed{C=2^{3}\times 3\times 5\times 11\times 13}$

 

Soit : $D=81\times 121\times 169$

 

On commence par décomposer les nombres $81\;,\ 121\ $ et $\ 169$ en produits de facteurs premiers.

 

Alors, $$$\begin{array}{rl}81& 3\\ 27& 3\\ 9& 3\\ 3& 3\\ 1& \end{array}$$\qquad$$\begin{array}{rl}121& 11\\ 11& 11\\ 1& \end{array}$$\qquad$$\begin{array}{rl}169& 13\\ 13& 13\\ 1& \end{array}$$$

 

Donc, $81=3^{4}\;;\ \ 121=11^{2}\ $ et $\ 169=13^{2}$

 

Par suite, $D=81\times 121\times 169=3^{4}\times 11^{2}\times 13^{2}$

 

D'où : $\boxed{D=3^{4}\times 11^{2}\times 13^{2}}$