Corrigé Exercice 21 : Théorème de Thalès - 3e

 

$\left(\Delta_{1}\right)\ $ et $\ \left(\Delta_{2}\right)$ sont deux droites sécantes en $O.$

 

$A\in\left(\Delta_{1}\right)\ $ et $\ B\in\left(\Delta_{1}\right)$

 

$C\in\left(\Delta_{2}\right)\ $ et $\ D\in\left(\Delta_{2}\right)$

 

$(AC)\parallel (BD)\ $ et $\ OA=4\;cm$

 

$OB=10\;cm\ $ et $\ OC=5\;cm.$

 

a) Faisons la figure.

b) Calculons $OD.$

 

En effet, les droites $(AC)\ $ et $\ (BD)$ étant parallèles alors, les triangles $AOC\ $ et $\ ODB$ sont en position de Thalès.

 

Ainsi, en utilisant le théorème de Thalès, on a :

 

$$\dfrac{OD}{OC}=\dfrac{OB}{OA}$$

 

Alors, en remplaçant $OC\;,\ OB\ $ et $\ OA$ par leur valeur, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl}\dfrac{OD}{5}=\dfrac{10}{4}&\Rightarrow&4\times OD=5\times 10\\\\&\Rightarrow&OD=\dfrac{50}{4}\\\\&\Rightarrow&OD=12.5\end{array}$

 

D'où, $\boxed{OD=12.5\;cm}$

 

c) $F\in\left(\Delta_{1}\right)\ $ et $\ E\in\left(\Delta_{2}\right)$ tels que : $OF=3\;cm$, $OE=4\;cm.$

 

On a : $E\;,\ O\;,\ C$ sont trois points alignés d'une part, et $A\;,\ O\;,\ F$ sont trois points alignés d'autre part, dans le même ordre.

 

En calculant les rapports $\dfrac{OE}{OC}\ $ et $\ \dfrac{OF}{OA}$, on trouve :

 

$\dfrac{OE}{OC}=\dfrac{4}{5}=0.8$

 

$\dfrac{OF}{OA}=\dfrac{3}{4}=0.75$

 

On constate alors que : $\dfrac{OE}{OC}$ n'est pas égal à $\dfrac{OF}{OA}.$

 

Par conséquent, les droites $(EF)\ $ et $\ (BD)$ ne sont pas parallèles.