Corrigé Exercice 10 : Équations et inéquations du 1er degré à une inconnue 3e

 

On considère l'expression suivante :

$$f(x)=x^{2}-25+(-2x+10)(x+3)$$

1) Développons, réduisons et ordonnons $f(x).$

 

On a :

 

$\begin{array}{rcl} f(x)&=&x^{2}-25+(-2x+10)(x+3)\\\\&=&x^{2}-25-2x^{2}-6x+10x+30\\\\&=&x^{2}-2x^{2}-6x+10x-25+30\\\\&=&-x^{2}+4x+5\end{array}$

 

Donc, $\boxed{f(x)=-x^{2}+4x+5}$

 

2) Factorisons $f(x)$ puis résolvons dans $\mathbb{R}\;,\ f(x)<0.$

 

$-\ $ Factorisation de $f(x)$

 

Soit : $f(x)=x^{2}-25+(-2x+10)(x+3)$

 

Alors, en utilisant la forme factorisée des identités remarquable, on peut écrire :

 

$x^{2}-25=x^{2}-(5)^{2}=(x-5)(x+5)$

 

De plus, $(-2x+10)=-2(x-5)$

 

Ainsi, dans l'expression de $f(x)$, en remplaçant $x^{2}-25\ $ et $\ (-2x+10)$ respectivement par $(x-5)(x+5)\ $ et $\ -2(x-5)$, on obtient :

$$f(x)=(x-5)(x+5)-2(x-5)(x+3)$$

On reconnait alors un facteur commun ; $(x-5).$

 

Donc, en prenant $(x-5)$ en facteur, on trouve :

 

$\begin{array}{rcl} f(x)&=&(x-5)(x+5)-2(x-5)(x+3)\\\\&=&[(x-5)][(x+5)-2(x+3)]\\\\&=&(x-5)(x+5-2x-6)\\\\&=&(x-5)(-x-1)\end{array}$

 

Ainsi, $\boxed{f(x)=(x-5)(-x-1)}$

 

$-\ $ Résolution dans $\mathbb{R}$ de l'inéquation $f(x)<0.$

 

Utilisons la forme factorisée de $f(x).$

 

Alors, résoudre l'inéquation $f(x)<0$ revient à résoudre l'inéquation $(x-5)(-x-1)<0$

 

On a : $(x-5)(-x-1)=0$ si, et seulement si, $x-5=0\ $ ou $\ -x-1=0$

 

C'est-à-dire ; $x=5\ $ ou $\ x=-1$

 

Donc,

 

$(x-5)$ est positif pour tout $x>5$ et négatif pour $x<5.$

 

Dons l'expression $(-x-1)$, comme le coefficient associé à $x$ est négatif alors, $(-x-1)$ est positif pour tout $x<-1$ et négatif pour $x>-1.$

 

Par suite, en regroupant ces informations dans un tableau de signes, on obtient :

$$\begin{array}{|c|lclclcr|}\hline x&-\infty&&-1&&5&&+\infty\\\hline x-5&&-&|&-&0&+&\\\hline -x-1& &+&0&-&|&-&\\\hline (x-5)(-x-1)&&\boxed{-}&0&+&0&\boxed{-}&\\\hline\end{array}$$

Ainsi, en observant le tableau, nous constatons que l'expression $(2x-4)(2x-2)$ est strictement inférieure à zéro pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $\left]-\infty\;;\ -1\right[\cup\left]5\;;\ +\infty\right[$ 

 

D'où, l'inéquation $f(x)<0$ a pour solution : $$S=\left]-\infty\;;\ -1\right[\cup\left]5\;;\ +\infty\right[$$

3) Soit $h(x)=\dfrac{f(x)}{(x-5)(x+2)}$

 

a) Donnons la condition d'existence de $h(x)$ puis simplifions $h(x).$

 

$-\ $ Condition d'existence de $h(x)$

 

On a : $h(x)$ existe si, et seulement si, $(x-5)(x+2)\neq 0.$

 

Ce qui signifie que chaque facteur est différent de zéro.

 

Donc, $x-5\neq 0\ $ et $\ x+2\neq 0$

 

Ce qui donne : $x\neq 5\ $ et $\ x\neq -2$

 

Ainsi, $h(x)$ existe si, et seulement si, $x\neq 5\ $ et $\ x\neq -2$

 

$-\ $ Simplification de $h(x)$

 

Dans l'expression de $h(x)$, en remplaçant $f(x)$ par sa forme factorisée, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} h(x)&=&\dfrac{f(x)}{(x-5)(x+2)}\\\\&=&\dfrac{(x-5)(-x-1)}{(x-5)(x+2)}\\\\&=&\dfrac{(-x-1)}{(x+2)}\end{array}$

 

D'où, $\boxed{h(x)=\dfrac{-x-1}{x+2}}$

 

b) Calculons la valeur numérique de $h(\sqrt{3})$ sans radical au dénominateur.

 

Pour cela, on remplace $x$ par $\sqrt{3}$, dans l'expression simplifiée de $h(x)$ puis, on calcule.

 

On obtient alors,

 

$\begin{array}{rcl} h(\sqrt{3})&=&\dfrac{-\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+2}\\\\&=&\dfrac{(-\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}-2)}{(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2)}\\\\&=&\dfrac{-3+2\sqrt{3}-\sqrt{3}+2}{(\sqrt{3})^{2}-(2)^{2}}\\\\&=&\dfrac{-1+\sqrt{3}}{3-4}\\\\&=&\dfrac{-1+\sqrt{3}}{-1}\\\\&=&1-\sqrt{3}\end{array}$

 

D'où, $\boxed{h(\sqrt{3})=1-\sqrt{3}}$

 

c) Donnons un encadrement de $h(\sqrt{3})$ à $10^{-1}$ sachant que : $1.71<\sqrt{3}<1.72$

 

Soit : $1.71<\sqrt{3}<1.72$

 

Alors, multiplions chaque membre de l'inégalité par $-1$ en changeant le sens des inégalités.

 

On obtient : $$-1.72<-\sqrt{3}<-1.71$$

En ajoutant $1$ à chaque membre de cette inégalité, on trouve : $1-1.72<1-\sqrt{3}<1-1.71$

 

Ce qui donne alors, $$-0.72<1-\sqrt{3}<-0.71$$

 

D'où, un encadrement de $h(\sqrt{3})$ à $10^{-1}$ est donné par :

$$\boxed{-0.8<h(\sqrt{3})<-0.7}$$

4) Résolvons dans $\mathbb{R}$ l'équation : $|h(x)|=2$

 

D'après le résultat de la question $3)a)$, on a : $h(x)=\dfrac{-x-1}{x+2}.$

 

Donc, $|h(x)|=2$ si, et seulement si, $\left|\dfrac{-x-1}{x+2}\right|=2$

 

Alors,

 

$\begin{array}{rcl} \left|\dfrac{-x-1}{x+2}\right|=2&\Leftrightarrow&\dfrac{-x-1}{x+2}=2\ \text{ ou }\ \dfrac{-x-1}{x+2}=-2\\\\&\Leftrightarrow&-x-1=2\times(x+2)\ \text{ ou }\ -x-1=-2\times(x+2)\\\\&\Leftrightarrow&-x-1=2x+4\ \text{ ou }\ -x-1=-2x-4\\\\&\Leftrightarrow&-x-2x=4-1\ \text{ ou }\ -x+2x=-4+1\\\\&\Leftrightarrow&-3x=3\ \text{ ou }\ x=-3\\\\&\Leftrightarrow&x=\dfrac{3}{-3}\ \text{ ou }\ x=-3\\\\&\Leftrightarrow&x=-1\ \text{ ou }\ x=-3\end{array}$

 

Donc, $\left|\dfrac{-x-1}{x+2}\right|=2$ si, et seulement si, $x=-1\ $ ou $\ x=-3.$

 

D'où, l'équation $|h(x)|=2$ a pour solution : $$S=\left\lbrace -1\;;\ -3\right\rbrace$$

 

5) Résolvons dans $\mathbb{R}$ l'inéquation : $h(x)\geq 0$

 

Soit : $h(x)=\dfrac{-x-1}{x+2}.$

 

$h(x)\geq 0$ si, et seulement si, $\dfrac{-x-1}{x+2}\geq 0.$

 

Déterminons alors le signe du numérateur et du dénominateur de $\dfrac{-x-1}{x+2}.$

 

On a : $-x-1=0$ si, et seulement si, $x=-1$

 

Comme le coefficient associé à $x$ est négatif alors, $(-x-1)$ est positif pour tout $x<-1$ et négatif pour $x>-1.$

 

Aussi, $x+2=0$ si, et seulement si, $x=-2$

 

Donc, $(x+2)$ est positif pour tout $x>-2$ et négatif pour $x<-2$

 

Par suite, en regroupant ces informations dans un tableau de signes, on obtient :

$$\begin{array}{|c|lclclcr|}\hline x&-\infty&&-2&&-1&&+\infty\\\hline -x-1&&+&|&+&0&-&\\\hline x+2& &-&0&+&|&+&\\\hline \dfrac{-x-1}{x+2}&&-&||&\boxed{+}&0&-&\\\hline\end{array}$$

Ainsi, en observant le tableau, nous constatons que l'expression $\dfrac{-x-1}{x+2}$ est supérieure ou égale à zéro lorsque $x$ appartient à l'intervalle $\left]-2\;;\ -1\right].$ 

 

Par conséquent, l'inéquation $h(x)\geq 0$ a pour solution : $$S=\left]-2\;;\ -1\right]$$