Corrigé Devoir n° 7 Maths - 3e

Exercice 1

1. Complétion des phrases

a. La racine carrée du produit de $x$ par $y$ s’écrit $\sqrt{xy}$ et est égale au produit de la racine carrée de $x$ par la racine carrée de $y$.

b. La racine carrée du carré de $x$ s’écrit  $\sqrt{x^2}$ et est égale à $x$ (car $x > 0$).

c. $-\sqrt{x} + \sqrt{y}$ est une expression conjuguée de $-\sqrt{x} - \sqrt{y}$.

d. Le carré du réel $x\sqrt{y}$ s’écrit $(x\sqrt{y})^2$ et est égal à $x^2y$.

 2.

 3. On donne $a = \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2}$

a) Déterminons l’inverse de $a$, soit $b = \dfrac{1}{a} = \dfrac{2}{1 - \sqrt{5}}$
On rationalise :

$$
b = \dfrac{2(1 + \sqrt{5})}{(1 - \sqrt{5})(1 + \sqrt{5})} = \dfrac{2(1 + \sqrt{5})}{1 - 5} = \dfrac{2(1 + \sqrt{5})}{-4} = -\dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}
$$

Donc,

$$
\boxed{b = -\dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}}
$$

Calcul de $a^2$ :

$$
a^2 = \left(\dfrac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^2 = \dfrac{(1 - \sqrt{5})^2}{4} = \dfrac{1 - 2\sqrt{5} + 5}{4} = \dfrac{6 - 2\sqrt{5}}{4} = \dfrac{3 - \sqrt{5}}{2}
$$

$$
\boxed{a^2 = \dfrac{3 - \sqrt{5}}{2}}
$$

Exercice 2

 1. Rendre rationnel le dénominateur de :

$$
a = \dfrac{-1}{3 + 2\sqrt{2}} \quad \text{multiplions num. et dén. par } 3 - 2\sqrt{2}
$$

$$
a = \dfrac{-1(3 - 2\sqrt{2})}{(3 + 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2})} = \dfrac{-3 + 2\sqrt{2}}{9 - 8} = -3 + 2\sqrt{2}
$$

Donc,

$$
\boxed{a = -3 + 2\sqrt{2}}
$$

Calcul de $a^2$ :

$$
a^2 = (-3 + 2\sqrt{2})^2 = 9 - 12\sqrt{2} + 8 = 17 - 12\sqrt{2}
$$

$$
\boxed{a^2 = 17 - 12\sqrt{2}}
$$

 2. On donne :

$$
b = \dfrac{-5}{2}\sqrt{8} + 4\sqrt{50} - 3\sqrt{32} + \dfrac{1}{3}\sqrt{72} - \sqrt{49}
$$

Simplifions chaque racine :

 $\sqrt{8} = 2\sqrt{2} \Rightarrow \dfrac{-5}{2}\cdot 2\sqrt{2} = -5\sqrt{2}$
 $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2} \Rightarrow 4 \cdot 5\sqrt{2} = 20\sqrt{2}$
 $\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2} \Rightarrow -3 \cdot 4\sqrt{2} = -12\sqrt{2}$
 $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2} \Rightarrow \dfrac{1}{3} \cdot 6\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$
 $\sqrt{49} = 7$

Total :

$$
b = -5\sqrt{2} + 20\sqrt{2} -12\sqrt{2} + 2\sqrt{2} - 7 = (5\sqrt{2}) - 7
$$

$$
\boxed{b = -7 + 5\sqrt{2}}
$$

 3. On donne :

$$
c = (1 - \sqrt{2})\sqrt{17 - 12\sqrt{2}}
$$

Or, on a vu que $a^2 = 17 - 12\sqrt{2}$ et $a = -3 + 2\sqrt{2}$, donc :

$$
\sqrt{17 - 12\sqrt{2}} = -3 + 2\sqrt{2}
$$

Donc :

$$
c = (1 - \sqrt{2})(-3 + 2\sqrt{2}) = -3 + 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - 2\cdot2 = -3 + 5\sqrt{2} - 4 = -7 + 5\sqrt{2}
$$

$$
\boxed{c = 7 - 5\sqrt{2}}
$$

 4. Montrons que $b$ et $c$ sont opposés :

 $b = -7 + 5\sqrt{2}$
 $c = 7 - 5\sqrt{2}$

Donc $b = -c$
 Ce sont bien des opposés.

 5. Encadrer $c = 7 - 5\sqrt{2}$ avec $1.414 < \sqrt{2} < 1.415$

Calculons les bornes :

 $5 \cdot 1.414 = 7.07 \Rightarrow c > 7 - 7.07 = -0.07$
 $5 \cdot 1.415 = 7.075 \Rightarrow c < 7 - 7.075 = -0.075$

Donc :

$$
\boxed{-0.075 < c < -0.07}
$$

Exercice 3

 Partie A

1. Théorème de Thalès dans un trapèze :

•  Si deux droites sécantes sont coupées par des droites parallèles, alors les longueurs des segments correspondants sont proportionnelles.

2. Si $HI \parallel EG$, alors :

$$
\boxed{\dfrac{HE}{HF} = \dfrac{EI}{FG}}
$$

3. Si $EFG$ est un triangle rectangle en $E$, alors selon Pythagore :

$$
\boxed{GF^2 = EG^2 + EF^2} \quad \text{(Réponse 2)}
$$

4. Si $\dfrac{RT}{RS} = \dfrac{RF}{RI}$, alors :

$$
\boxed{\text{les droites } (TF) \text{ et } (SI) \text{ sont parallèles}} \quad \text{(Réponse 2)}
$$

Partie B

1. Triangle $ABH$ rectangle en $H$, avec :

 $AB = 7.5\text{ cm}$, $BH = 4.5\text{ cm}$

Par Pythagore :

$$
AH^2 = AB^2 - BH^2 = 56.25 - 20.25 = 36 \Rightarrow AH = \sqrt{36} = 6\text{ cm}
$$

 $\boxed{AH = 6\,cm}$

2. Sur $[BH)$, on place :

 $HM = 9\,cm \Rightarrow BH + HM = 13.5\,cm$
 $BN = 1.5\,cm \Rightarrow NH = 3\,cm$

La parallèle à $AH$ passant par $N$ coupe $AB$ en $P$

Par Thalès :

$$
\dfrac{NP}{AH} = \dfrac{BN}{BH} = \dfrac{1.5}{4.5} = \dfrac{1}{3}
\Rightarrow NP = \dfrac{1}{3} \cdot AH = \dfrac{1}{3} \cdot 6 = 2\,cm
$$

Donc :

$$
BP = AB - AP = AB - (AH - NP) = 7.5 - (6 - 2) = 3.5\,cm
$$

 $\boxed{NP = 2\,cm \quad ; \quad BP = 3.5\,cm}$

3. $BR = 4.5\,cm$, $BS = 2.5\,cm$

On utilise Thalès à l'envers :

$$
\dfrac{BR}{BS} = \dfrac{AM}{AS} \Rightarrow \text{Si les rapports sont égaux, alors } (RS) \parallel (AM)
$$

Si AM = 6, AS = 10.8, alors :

$$
\frac{BR}{BS} = \frac{4.5}{2.5} = 1.8 \quad ; \quad \frac{AM}{AS} = \frac{6}{10.8} = \frac{5}{9} \neq 1.8
$$

Donc pour obtenir le parallélisme, on doit placer les points de manière à ce que ces rapports soient égaux. S’ils le sont :

 Les droites $(RS)$ et $(AM)$ sont parallèles.