Corrigé Brevet d'Etudes du Premier Cycle - mathématiques - Gabon session 2025

EXERCICE 1 : QCM (5 points)

1. Réponse B : 7  
   La série statistique est : 12, 14, 13, 14, \(x\). La moyenne est 12.  
   Somme des valeurs : \(12 + 14 + 13 + 14 + x = 53 + x\).  
   Moyenne : \(\frac{53 + x}{5} = 12\)  
   \(53 + x = 60\)  
   \(x = 7\).

2. Réponse C : \(\dfrac{1}{5}\)  
   Nombre total de boules : \(5 + 3 + 2 = 10\).  
   Nombre de boules jaunes : 2.  
   Probabilité : \(\frac{2}{10} = \frac{1}{5}\).

3. Réponse C : 3  
   \(7^2 = 49\).  
   Diviseurs de 49 : 1, 7, 49.  
   Nombre de diviseurs : 3.

4. Réponse A : \(74^\circ\)  
   L'angle \(\widehat{CAB} = 37^\circ\) est un angle inscrit interceptant l'arc CB. L'angle \(\widehat{DOF}\) est l'angle au centre interceptant le même arc CB. L'angle au centre est le double de l'angle inscrit :  
   \(\widehat{DOF} = 2 \times 37^\circ = 74^\circ\).

5.Réponse : $A$
$I = ]-∞ ; 3]$ et $J = [-2 ; 0[$

$I ∩ J = [-2 ; 0[$

Cela s'écrit : $-2 ≤ x < 0$

EXERCICE 2 : Calculs (5 points)

1. Calcul de \(A\) et notation scientifique  
   \(A = \dfrac{5}{4} - \dfrac{1}{4} \times \dfrac{5}{2}\)  
   Multiplication : \(\dfrac{1}{4} \times \dfrac{5}{2} = \dfrac{5}{8}\)  
   \(A = \dfrac{5}{4} - \dfrac{5}{8} = \dfrac{10}{8} - \dfrac{5}{8} = \dfrac{5}{8}\)  
   \(\dfrac{5}{8} = 0.625 = 6.25 \times 10^{-1}\) (notation scientifique).

2. Expression \(B = 4x^2 - 12x + 9 - (x + 3)(2x - 3)\)  
   a) Développement, réduction et ordonnancement  
      \((x + 3)(2x - 3) = 2x^2 - 3x + 6x - 9 = 2x^2 + 3x - 9\)  
      \(B = 4x^2 - 12x + 9 - (2x^2 + 3x - 9) = 4x^2 - 12x + 9 - 2x^2 - 3x + 9 = 2x^2 - 15x + 18\).  
      Ordonné : \(2x^2 - 15x + 18\).  
   b) Factorisation  
      \(B = 2x^2 - 15x + 18\).  
      Discriminant : \(\Delta = (-15)^2 - 4 \times 2 \times 18 = 225 - 144 = 81\).  
      Racines : \(x = \dfrac{15 \pm 9}{4}\) → \(x_1 = 6\), \(x_2 = \dfrac{3}{2}\).  
      \(B = 2(x - 6)\left(x - \dfrac{3}{2}\right) = (x - 6)(2x - 3)\).  
   c) Résolution de \((x - 6)(2x - 3) = 0\)  
      \(x - 6 = 0\) ou \(2x - 3 = 0\) → \(x = 6\) ou \(x = \dfrac{3}{2}\).  
      Solutions : \(\left\{ \dfrac{3}{2}, 6 \right\}\).  
   d) Valeur de \(B\) pour \(x = \sqrt{3}\)  
      \(B = 2(\sqrt{3})^2 - 15\sqrt{3} + 18 = 2 \times 3 - 15\sqrt{3} + 18 = 24 - 15\sqrt{3}\).  
   e) Encadrement de \(E = 24 - 15\sqrt{3}\)  
      \(1.732 \leq \sqrt{3} \leq 1.733\).  
      \(15 \times 1.732 = 25.98\), \(15 \times 1.733 = 25.995\).  
      \(24 - 25.995 = -1.995\), \(24 - 25.98 = -1.98\).  
      Donc \(-1.995 \leq E \leq -1.98\).  
      À \(10^{-1}\) près : \(-2.0 < E < -1.9\).  
   f) Valeur absolue \(|24 - 15\sqrt{3}|\)  
      \(E = 24 - 15\sqrt{3} < 0\), donc \(|E| = -(24 - 15\sqrt{3}) = 15\sqrt{3} - 24\).

EXERCICE 3 : Géométrie (5 points)

1. Points \(A(-2,-4)\), \(B(-4,0)\), \(C(2,3)\)  
   a) Placement dans le repère (non réalisable ici).  
   b) Coordonnées des vecteurs et orthogonalité  
      \(\overrightarrow{AB} = (-4 - (-2), (0 - (-4)) = (-2, 4)\).  
      \(\overrightarrow{BC} = (2 - (-4)), (3 - 0)) = (6, 3)\).  
      Produit scalaire : \((-2) \times 6 + 4 \times 3 = -12 + 12 = 0\).  
      Les vecteurs sont orthogonaux.

2. Cercle circonscrit  
   a) Centre : milieu de l'hypoténuse (triangle rectangle en \(B\)).  
   b) \(K\) milieu de \([AC]\) : \(\left( \dfrac{-2+2}{2}, \dfrac{-4+3}{2} \right) = \left( 0, -\dfrac{1}{2} \right)\).  
   c) Cercle \((\mathcal{C})\) de centre \(K\) et rayon \(KA = \sqrt{(-2-0)^2 + (-4 - (-0.5))^2} = \sqrt{4 + 12.25} = \sqrt{16.25} = \dfrac{\sqrt{65}}{2}\).

3. Point \(E\)  
   a) \(E\) image de \(B\) par symétrie centrale de centre \(K\) (non réalisable ici).  
   b) Coordonnées de \(E\) :  
      \(K\) milieu de \([BE]\) → \(\left( \dfrac{-4 + x_E}{2}, \dfrac{0 + y_E}{2} \right) = \left( 0, -\dfrac{1}{2} \right)\).  
      \(\dfrac{-4 + x_E}{2} = 0\) → \(x_E = 4\).  
      \(\dfrac{y_E}{2} = -\dfrac{1}{2}\) → \(y_E = -1\).  
      \(E(4, -1)\).  
   c) Quadrilatère \(ABCE\) :  
      Diagonales \([AC]\) et \([BE]\) de même milieu \(K\) et de même longueur \(\sqrt{65}\).  
      Vecteurs : \(\overrightarrow{AB} = (-2, 4)\), \(\overrightarrow{BC} = (6, 3)\), \(\overrightarrow{CE} = (2, -4) = -\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{EA} = (-6, -3) = -\overrightarrow{BC}\).  
      \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = 0\).  
      Donc \(ABCE\) est un rectangle.

4. Droite \((D)\)  
   a) Équation :  
      Vecteur \(\overrightarrow{AC} = (4, 7)\).  
      Vecteur normal : \((-7, 4)\) ou \((7, -4)\).  
      Équation : \(7(x - 0) - 4(y + 0.5) = 0\) → \(7x - 4y - 2 = 0\), mais l'énoncé donne \(8x + 14y + 7 = 0\).  
      Vérification : pour \((D)\), \(8x + 14y + 7 = 0\).  
      Vecteur normal : \((8, 14)\), colinéaire à \((4, 7)\), donc perpendiculaire à \(\overrightarrow{AC}\).  
      Passe par \(K(0, -0.5)\) : \(8 \times 0 + 14 \times (-0.5) + 7 = -7 + 7 = 0\).  
      Donc correct.  
   b) Droite \((D)\) passe par le centre \(K\) du cercle et est perpendiculaire à la corde \([AC]\), c'est donc la médiatrice de la corde \([AC]\).

EXERCICE 4 : Château d'eau (5 points)

1. Cône  
   a) \(OB\) :  
      Triangle \(SOB\) rectangle en \(O\).  
      \(SB = 8\), \(SO = 6.4\).  
      \(OB = \sqrt{SB^2 - SO^2} = \sqrt{64 - 40.96} = \sqrt{23.04} = 4.8\).  
   b) Volume \(V_c\) :  
      \(r = OB = 4.8\), \(h = SO = 6.4\).  
      \(V_c = \dfrac{1}{3} \pi r^2 h = \dfrac{1}{3} \pi (4.8)^2 \times 6.4 = \dfrac{1}{3} \pi \times 23.04 \times 6.4 = \dfrac{1}{3} \pi \times 147.456 = 49.152\pi\).  
      Valeur exacte : \(4.8 = \dfrac{24}{5}\), \(6.4 = \dfrac{32}{5}\).  
      \(V_c = \dfrac{1}{3} \pi \left( \dfrac{24}{5} \right)^2 \times \dfrac{32}{5} = \dfrac{1}{3} \pi \dfrac{576}{25} \times \dfrac{32}{5} = \dfrac{18432}{375} \pi\).

2. Distance \(AI\)  
   Rapport de réduction : \(\dfrac{SI}{SO} = \dfrac{3.6}{6.4} = \dfrac{9}{16}\).  
   \(AI = \dfrac{9}{16} \times OB = \dfrac{9}{16} \times 4.8 = \dfrac{9}{16} \times \dfrac{24}{5} = \dfrac{216}{80} = 2.7\).

3. Quotient \(\dfrac{SI}{SO}\)  
   a) \(\dfrac{SI}{SO} = \dfrac{3.6}{6.4} = \dfrac{36}{64} = \dfrac{9}{16}\).  
   b) Ce quotient est le rapport de similitude entre le petit cône (sommet \(S\), base disque de centre \(I\)) et le grand cône (sommet \(S\), base disque de centre \(O\)).

4. Volume du tronc de cône \(V_T\)  
   Volume petit cône : \(V_{\text{petit}} = \dfrac{1}{3} \pi (AI)^2 \times SI = \dfrac{1}{3} \pi (2.7)^2 \times 3.6 = \dfrac{1}{3} \pi \times 7.29 \times 3.6 = 8.748\pi\).  
   \(V_T = V_c - V_{\text{petit}} = 49.152\pi - 8.748\pi = 40.404\pi\).

5. Volume total \(V\)  
   Le château est constitué du tronc de cône uniquement (le cylindre n'est pas inclus dans le volume d'eau).  
   \(V = V_T = 40.404\pi\).  
   Valeur exacte : \(V_T = \dfrac{10101}{250} \pi\).

6. Angle \(\widehat{OSB}\)  
   Triangle \(SOB\) rectangle en \(O\).  
   \(\tan \widehat{OSB} = \dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}} = \dfrac{OB}{SO} = \dfrac{4.8}{6.4} = \dfrac{3}{4} = 0.75\).  
   \(\widehat{OSB} = \arctan(0.75) \approx 36.87^\circ \approx 37^\circ\) (arrondi au degré près).