Corrigé BFEM Mathématiques 1er groupe - 2023

Exercice 1

1.

$$
\dfrac{5}{6}\sqrt{\dfrac{36}{5}} = \dfrac{5}{6} \cdot \sqrt{\dfrac{36}{5}} = \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{6}{\sqrt{5}} = \dfrac{30}{6\sqrt{5}} = \dfrac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}
$$
 Réponse C

2.
On résout :

$$
\sqrt{(2x+7)^2} = |5 - 2\sqrt{3}|
\Rightarrow |2x + 7| = |5 - 2\sqrt{3}|
$$

Donc deux solutions :

$$
2x + 7 = 5 - 2\sqrt{3} \quad \text{ou} \quad 2x + 7 = -(5 - 2\sqrt{3})
\Rightarrow x = -1 - \sqrt{3} \quad \text{ou} \quad x = -6 + \sqrt{3}
$$
 Réponse A

3.
Aire latérale du cône :

$$
\mathcal{A} = \pi r g = \pi \cdot 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{18} = \pi \cdot 2\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} = \pi \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2 = 12\pi
$$
 Réponse A

4. Notes : 6, 9, 11, 13, 13, 13, 14, 15, 17, 18 → médiane = 5ᵉ et 6ᵉ notes : 13 Réponse B

5.
Dans triangle $ABC$,

$$
\widehat{CAB} = 55^\circ, \quad \widehat{CBA} = 80^\circ \Rightarrow \widehat{ACB} = 45^\circ
$$

L’angle $\widehat{AOB}$ est le double de $\widehat{ACB}$ (car c’est un angle au centre) :

$$
\widehat{AOB} = 2 \cdot 45^\circ = 90^\circ
$$
 Réponse A

6.
Application affine : $g(x) = ax + b$
On sait :

$$
g(1/2) = 2 \Rightarrow a(1/2) + b = 2 \\
g(1) = 1 \Rightarrow a(1) + b = 1
$$

Résolvons le système :

 (1) $\frac{a}{2} + b = 2$
 (2) $a + b = 1$

De (2) : $b = 1 - a$.
Remplaçons dans (1) :

$$
\frac{a}{2} + 1 - a = 2 \Rightarrow -\frac{a}{2} + 1 = 2 \Rightarrow a = -2 \Rightarrow b = 1 - (-2) = 3
\Rightarrow g(x) = -2x + 3
$$
 Réponse C

7.

$$
\vec{U} = \vec{GA} - \vec{EM} - \vec{GF} + \vec{EF} + \vec{AM}
$$

Regroupons :
$\vec{GA} + \vec{AM} = \vec{GM}$,
$-\vec{GF} + \vec{EF} = -\vec{GE}$,
Donc :

$$
\vec{U} = \vec{GM} - \vec{EM} - \vec{GE} = \vec{AE}
\Rightarrow \vec{U} = \dfrac{1}{2} \vec{AE}
$$
 Réponse C

8. Hauteur d’un triangle équilatéral de côté $\alpha$ :

$$
h = \alpha \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}
$$
 Réponse A

9.
Résolvons :

$$
(3 - x)(2x + 3) > 0
\Rightarrow \text{Signe du produit} :
$$

 Zéros : $x = 3$, $x = -\frac{3}{2}$
 Signe du produit positif si les deux facteurs ont même signe  :

$x \in [-3/2,\ 3]$
 Réponse A

10.
$\widehat{OAC} = 55^\circ$ → angle inscrit → il intercepte l’arc $BC$
Donc $\widehat{ABC} = 2 \cdot 55^\circ = 110^\circ$
 Réponse B

N°	Réponse
1	C
2	A
3	A
4	B
5	A
6	C
7	C
8	A
9	A
10	B

Exercice 2

1. Simplifier l'expression :

$$
E = \sqrt{(3 - 3\sqrt{2})^2} + \sqrt{50} - 7\sqrt{32} + \sqrt{9}
$$

On commence par développer et simplifier chaque terme :

$$
\sqrt{(3 - 3\sqrt{2})^2} = |3 - 3\sqrt{2}| = 3\sqrt{2} - 3 \quad \text{(car } 3\sqrt{2} > 3)
$$

$$
\sqrt{50} = 5\sqrt{2}, \quad \sqrt{32} = 4\sqrt{2}, \quad \sqrt{9} = 3
$$

On remplace dans l’expression :

$$
E = (3\sqrt{2} - 3) + 5\sqrt{2} - 7 \cdot 4\sqrt{2} + 3
$$

$$
E = (3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} - 28\sqrt{2}) + (-3 + 3) = -20\sqrt{2}
$$

Réponse :

$$
\boxed{E = -20\sqrt{2}}
$$

2. Montrer que $p$ et $q$ sont des inverses

On pose :

$$
p = \dfrac{2\sqrt{3} - 2}{\sqrt{3} + 2}, \quad q = \dfrac{1}{6\sqrt{3} - 10}
$$

Factorisons $p$ :

$$
p = \dfrac{2(\sqrt{3} - 1)}{\sqrt{3} + 2}
$$

Rationalisons le dénominateur :

$$
p = \dfrac{2(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} - 2)}{(\sqrt{3} + 2)(\sqrt{3} - 2)} = \dfrac{2(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} - 2)}{3 - 4} = -2(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} - 2)
$$

Développons :

$$
(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} - 2) = 3 - 2\sqrt{3} - \sqrt{3} + 2 = 5 - 3\sqrt{3}
$$

Donc :

$$
p = -2(5 - 3\sqrt{3}) = -10 + 6\sqrt{3} = 6\sqrt{3} - 10
$$

Ainsi,

$$
p = 6\sqrt{3} - 10 \quad \text{et} \quad q = \dfrac{1}{6\sqrt{3} - 10}
\Rightarrow p \cdot q = 1
$$

Conclusion :

$$
\boxed{p \text{ et } q \text{ sont des inverses.}}
$$

3. Étude des réels $x = 6\sqrt{3} - 10$, $y = \sqrt{208 - 120\sqrt{3}}$

a. Déterminer le signe de $x$

On utilise l'encadrement :

$$
1.732 < \sqrt{3} < 1.733
\Rightarrow 6 \cdot 1.732 < 6\sqrt{3} < 6 \cdot 1.733
\Rightarrow 10.392 < 6\sqrt{3} < 10.398
\Rightarrow 0.392 < x = 6\sqrt{3} - 10 < 0.398
$$

Donc :

$$
\boxed{x > 0}
$$

b. Calcul de $x^2$

$$
x = 6\sqrt{3} - 10
\Rightarrow x^2 = (6\sqrt{3} - 10)^2 = 36 \cdot 3 - 120\sqrt{3} + 100 = 108 + 100 - 120\sqrt{3}
\Rightarrow \boxed{x^2 = 208 - 120\sqrt{3}}
$$

Ainsi :

$$
y = \sqrt{208 - 120\sqrt{3}} = \sqrt{x^2} = |x| = x \quad \text{(car \( x > 0 \))}
\Rightarrow \boxed{y = x}
$$

c. Encadrer $x$ à $10^{-2}$ près

D’après l’encadrement précédent :

$$
x \in [0.392,\ 0.398]
\Rightarrow x \approx \boxed{0.40 \text{ à } 10^{-2} \text{ près}}
$$

Exercice 3 – Géométrie dans l’espace : Pyramide $SMNOP$

 1. Calcul du volume V₁ de la pyramide SMNOP

La pyramide a une base rectangulaire MNOP avec :
- MN = 4 cm
- NO = 5,5 cm  
- Hauteur SM = 7,5 cm

Volume de la pyramide** = $\frac{1}{3} \times \text{Aire de la base} \times \text{Hauteur}$

Aire de la base MNOP = MN × NO = 4 × 5,5 = 22 cm²

$V_1 = \frac{1}{3} \times 22 \times 7,5 = \frac{165}{3} = 55 \text{ cm}^3$

 2. Calcul de SN

Dans le triangle rectangle SMN :
- SM = 7,5 cm (hauteur)
- MN = 4 cm

Par le théorème de Pythagore :
$SN^2 = SM^2 + MN^2 = 7,5^2 + 4^2 = 56,25 + 16 = 72,25$

$SN = \sqrt{72,25} = 8,5 \text{ cm}$

 3. Étude des points I et J

 3a. Parallélisme de (IJ) et (MN)

Données :
- SI = 6 cm, donc IM = SM - SI = 7,5 - 6 = 1,5 cm
- SJ = 6,8 cm, donc JN = SN - SJ = 8,5 - 6,8 = 1,7 cm

Calculons les rapports :
- $\frac{SI}{SM} = \frac{6}{7,5} = \frac{4}{5} = 0,8$
- $\frac{SJ}{SN} = \frac{6,8}{8,5} = \frac{4}{5} = 0,8$

Puisque $\frac{SI}{SM} = \frac{SJ}{SN}$, par le théorème de Thalès, les droites (IJ) et (MN) sont parallèles.

 3b. Calcul de IJ

D'après le théorème de Thalès :
$\frac{IJ}{MN} = \frac{SI}{SM} = \frac{4}{5}$

$IJ = MN \times \frac{4}{5} = 4 \times \frac{4}{5} = 3,2 \text{ cm}$

 4. Volume du solide SIJKL

Le plan passant par I et parallèle à la base coupe la pyramide. Le rapport de similitude est :
$k = \frac{SI}{SM} = \frac{6}{7,5} = \frac{4}{5}$

Le volume de la pyramide SIJKL est :
$V_{SIJKL} = V_1 \times k^3 = 55 \times \left(\frac{4}{5}\right)^3 = 55 \times \frac{64}{125} = \frac{3520}{125} = 28,16 \text{ cm}^3$

 5. Application pratique

 5a. Quantité maximale de produit

Le récipient IJKLMNOP a pour volume :
$V_{récipient} = V_1 - V_{SIJKL} = 55 - 28,16 = 26,84 \text{ cm}^3$

À l'échelle 1/5, le volume réel est :
$V_{réel} = 26,84 \times 5^3 = 26,84 \times 125 = 3355 \text{ cm}^3$

Masse maximale = $\frac{3355}{1400} = 2,396... \text{ kg} = 2396 \text{ g}$

Par défaut :2396 g

 5b. Coût de la feuille d'aluminium

Pour la face MNJI (qui est un trapèze), nous devons calculer son aire.

Dans le triangle SMN, les coordonnées permettent de calculer que la face MNJI a une aire de :
$\text{Aire}_{MNJI} = \frac{1}{2} \times (MN + IJ) \times \text{hauteur du trapèze}$

La hauteur du trapèze MNJI = IM = 1,5 cm

$\text{Aire}_{MNJI} = \frac{1}{2} \times (4 + 3,2) \times 1,5 = \frac{1}{2} \times 7,2 \times 1,5 = 5,4 \text{ cm}^2$

À l'échelle 1/5, l'aire réelle est :
$\text{Aire}_{réelle} = 5,4 \times 5^2 = 5,4 \times 25 = 135 \text{ cm}^2$

Coût = $\frac{135}{10} \times 150 = 13,5 \times 150 = 2025 \text{ francs}$