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Corrigé Bac Maths S2, S2A, S4, S5, 1er groupe 2009

Classe:

Terminale

Exercice 1

$(D_{1})$ droite de régression de

$Y$ en

$X$ ayant pour équation :

$y=ax+b$ , on a :

$a=\dfrac{cov(X\;,\ Y)}{V(X)}\quad\text{et}\quad b=\bar{y}-a\bar{x}$

$(D_{2})$ droite de régression de

$X$ en

$Y$ ayant pour équation :

$x=a'y+b'$ , on a :

$a'=\dfrac{cov(Y\;,\ X)}{V(Y)}\quad\text{et}\quad b'=\bar{x}-a'\bar{y}$

On en déduit que :

$\begin{array}{rcl} aa'&=&\dfrac{cov(X\;,\ Y)}{V(X)}\dfrac{cov(Y\;,\ X)}{V(Y)}\\ \\&=&\dfrac{\left(cov(X\;,\ Y)\right)^{2}}{V(X)V(Y)}\\ \\&=&\left(\dfrac{cov(X\;,\ Y)}{\sigma(X)\sigma(Y)}\right)^{2}\\ \\&=&r^{2}\end{array}$

D'où,

$\boxed{aa'=r^{2}}$

$(D_{1})$ droite de régression de

$Y$ en

$X$ ayant pour équation réduite :

$y=2.4x$ , on a :

$a=2.4\quad\text{et}\quad b=0$

$(D_{2})$ droite de régression de

$X$ en

$Y$ ayant pour équation réduite :

$x=\dfrac{3.5}{9}y+\dfrac{24}{9}$ , on a :

$a'=\dfrac{3.5}{9}\quad\text{et}\quad b'=\dfrac{24}{9}$

D'après la question précédente, le coefficient de corrélation vérifie :

$\begin{array}{rcl} r^{2}&=&aa'\\ \\&=&2.4\dfrac{3.5}{9}\\ \\&=&\dfrac{14}{15}\end{array}$

Puisque

$r=\dfrac{cov(X\;,\ Y)}{\sigma(X)\sigma(Y)}$ , que

$\sigma(X)\$ et

$\ \sigma(Y)$ sont positifs par définition et que

$cov(X\;,\ Y)$ est positif par hypothèse alors,

$r$ est positif.

Donc,

$\boxed{r=\sqrt{\dfrac{14}{15}}}$

3) On a :

$\left\lbrace\begin{array}{rcl} -a\bar{x}+\bar{y}&=&b\qquad(1)\\ \bar{x}-a'\bar{y}&=&b'\qquad(2)\end{array}\right.$

Je garde l'équation 1. Je multiplie l'équation 2 par

$a$ pour éliminer

$\bar{x}$

$\left\lbrace\begin{array}{rcl} -a\bar{x}+\bar{y}&=&b\\ a\bar{x}-aa'\bar{y}&=&ab'\end{array}\right.$

J'additionne membre à membre :

$(1-aa')\bar{y}=b+ab'$ , c'est à dire

$\bar{y}=\dfrac{b+ab'}{1-r^{2}}$

Pour trouver

$\bar{x}$ j'utilise l'équation la plus simple ; ici c'est la 2 :

$\bar{x}=b'+a'\bar{y}$ ; c'est à dire

$\begin{array}{rcl}\bar{x}&=&b'+a'\dfrac{b+ab'}{1-r^{2}}\\ \\&=&\dfrac{b'-r^{2}b'+a'b+a'ab'}{1-r^{2}}\\ \\&=&\dfrac{b'+a'b}{1-r^{2}}\end{array}$

Donc,

$\bar{x}=\dfrac{b'+a'b}{1-r^{2}}$

Application numérique : Comme

$\dfrac{1}{1-r^{2}}=15$ , on a :

$\bar{y}=15\times 2.4\times\dfrac{24}{9}\quad\text{et}\quad\bar{x}=15\times\dfrac{24}{9}$

Donc,

$\boxed{\bar{y}=96\quad\text{et}\quad\bar{x}=40}$

Exercice 2

1) Pour que

$M$ appartiennent à l'axe des abscisses, il faut et il suffit que la partie imaginaire de

$z$ soit nulle ; c'est à dire

$\ln y=0\$ ou

$\ y=1.$ Donc,

$\begin{array}{rcl} p(A)&=&p(y=0)\\ \\&=&\dfrac{4}{12}\\ \\&=&\dfrac{1}{3}\end{array}$

D'où :

$\boxed{p(A)=\dfrac{1}{3}}$

Pour que

$M$ appartiennent à l'axe des ordonnées, il faut et il suffit que la partie réelle de

$z$ soit nulle ; c'est `a dire

$\ln x=0\$ ou

$\ x=1.$ Donc,

$\begin{array}{rcl} p(B)&=&p(x=0)\\ \\&=&\dfrac{4}{12}\\ \\&=&\dfrac{1}{3}\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{p(B)=\dfrac{1}{3}}$

L'événement contraire de

$C$ est

$"M$ appartient à au moins un des axes" c'est à dire

$A\cup B.$

L'événement

$A\cap B$ est

$"M$ appartient à chacun des axes" c'est à dire

$z=0\$ ou

$\ \ln x=0\$ et

$\ \ln y=0$ finalement

$x=y=1.$

Puisque le tirage est avec remise, les événements

$A\$ et

$\ B$ sont indépendants, donc :

$p(A\cap B)=p(A)p(B)=\dfrac{1}{9}$

Par conséquent :

$\begin{array}{rcl} p(\overline{C})&=&p(A\cup B)\\ \\&=&p(A)+p(B)-p(A\cap B)\\ \\&=&\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{9}\\ \\&=&\dfrac{5}{9}\end{array}$

Ainsi,

$\begin{array}{rcl} p(C)&=&1-p(\overline{C})\\ \\&=&1-\dfrac{5}{9}\\ \\&=&\dfrac{4}{9}\end{array}$

D'où :

$\boxed{p(C)=\dfrac{4}{9}}$

Pour que l'angle

$(\overrightarrow{OM}\;,\ \vec{i})$ soit égal à

$-\dfrac{\pi}{4}$ il faut et il suffit que les coordonnées de

$M$ soient égales et strictement positives c'est à dire

$\ln x=\ln y>0\$ ou

$\ x=y=\mathrm{e}.$

Par conséquent,

$D$ est l'événement

$"x=y=\mathrm{e}".$

$\begin{array}{rcl} p(x=\mathrm{e})&=&p(y=\mathrm{e})\\ \\&=&\dfrac{2}{12}\\ \\&=&\dfrac{1}{6}\end{array}$

D'où :

$\boxed{p(D)=\dfrac{1}{6}\times\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{36}}$

Pour que

$M$ appartienne au cercle trigonométrique, il faut et il suffit que

$OM=1$ ; c'est à dire

$(\ln x)^{2}+(\ln y)^{2}=1.$

Puisque

$x\$ et

$\ y$ ne prennent que les valeurs

$1\;,\ \mathrm{e}\$ et

$\ \dfrac{1}{\mathrm{e}}$ ,

$\ln x\$ et

$\ \ln y$ ne prennent que les valeurs

$0\;,\ 1\$ et

$\ -1.$

Les seuls couples possibles pour réaliser

$(\ln x)^{2}+(\ln y)^{2}=1$ sont donc :

$(\ln x\;,\ \ln y)=(1\;,\ 0)\;;\ (-1\;,\ 0)\;;\ (0\;,\ 1)\ \text{ ou }\ (0\;,\ -1)$

c'est à dire

$(x\;,\ y)=(\mathrm{e}\;,\ 1)\;;\ \left(\dfrac{1}{\mathrm{e}}\;,\ 1\right)\;;\ (1\;,\ \mathrm{e})\ \text{ ou }\ \left(1\;,\ \dfrac{1}{\mathrm{e}}\right)$

Or,

$\begin{array}{rcl} p((x\;,\ y)=(\mathrm{e}\;,\ 1))&=&p((x\;,\ y)=(1\;,\ \mathrm{e}))\\ \\&=&\dfrac{2}{12}\times\dfrac{4}{12}\\ \\&=&\dfrac{1}{18}\end{array}$

$\begin{array}{rcl} p\left((x\;,\ y)=\left(\dfrac{1}{\mathrm{e}}\;,\ 1\right)\right)&=&p\left((x\;,\ y)=\left(1\;,\ \dfrac{1}{\mathrm{e}}\right)\right)\\ \\&=&\dfrac{6}{12}\times\dfrac{4}{12}\\ \\&=&\dfrac{1}{6}\end{array}$

Donc,

$\boxed{p(E)=\dfrac{1}{18}+\dfrac{1}{18}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{4}{9}}$

2) a) Puisque

$x\$ et

$\ y$ ne prennent que les valeurs

$1\;,\ \mathrm{e}\$ et

$\ \dfrac{1}{\mathrm{e}}$ ,

$\ln x\$ et

$\ \ln y$ ne prennent que les valeurs

$0\;,\ 1\$ et

$\ -1.$

Les couples de coordonnées possibles sont donc :

$(0\;,\ 0)\;,\ (0\;,\ 1)\;,\ (0\;,\ -1)\;,\ (1\;,\ 0)\;,\ (1\;,\ 1)$

$(1\;,\ -1)\;,\ (-1\;,\ 0)\;,\ (-1\;,\ 1)\;,\ (-1\;,\ -1)$

correspondant aux valeurs suivantes du couples

$(x\;,\ y)\ :$

$(1\;,\ 1)\;,\ (1\;,\ \mathrm{e})\;,\ \left(1\;,\ \dfrac{1}{\mathrm{e}}\right)\;,\ (\mathrm{e}\;,\ 1)\;,\ (\mathrm{e}\;,\ \mathrm{e})$

$\left(\mathrm{e}\;,\ \dfrac{1}{\mathrm{e}}\right)\;,\ \left(\dfrac{1}{\mathrm{e}}\;,\ 1\right)\;,\ \left(\dfrac{1}{\mathrm{e}}\;,\ \mathrm{e}\right)\;,\ \left(\dfrac{1}{\mathrm{e}}\;,\ \dfrac{1}{\mathrm{e}}\right)$

Les distances

$OM$ possibles sont donc :

$0\;,\ 1\;,\ \sqrt{2}.$

La variable aléatoire

$X$ prend les valeurs

$0\;,\ 1\;,\ \sqrt{2}.$

$\begin{array}{rcl} p(X=0)&=&p((x\;,\ y)=(1\;,\ 1))\\ \\&=&\dfrac{4}{12}\times\dfrac{4}{12}\\ \\&=&\dfrac{1}{9}\end{array}$

$\begin{array}{rcl} p(X=1)&=&p((x\;,\ y)=(1\;,\ \mathrm{e}))+p((x\;,\ y)=(\mathrm{e}\;,\ 1))\\ \\&&+\ p\left((x\;,\ y)=\left(1\;,\ \dfrac{1}{\mathrm{e}}\right)\right)+p\left((x\;,\ y)=\left(\dfrac{1}{\mathrm{e}}\;,\ 1\right)\right)\\ \\&=&\dfrac{2}{12}\times\dfrac{4}{12}+\dfrac{2}{12}\times\dfrac{4}{12}+\dfrac{4}{12}\times\dfrac{6}{12}+\dfrac{4}{12}\times\dfrac{6}{12}\\ \\&=&\dfrac{4}{9}\end{array}$

$\begin{array}{rcl} p(X=\sqrt{2})&=&p((x\;,\ y)=(\mathrm{e}\;,\ \mathrm{e}))+p\left((x\;,\ y)=\left(\mathrm{e}\;,\ \dfrac{1}{\mathrm{e}}\right)\right)\\ \\&&+\ p\left((x\;,\ y)=\left(\dfrac{1}{\mathrm{e}}\;,\ \mathrm{e}\right)\right)+p\left((x\;,\ y)=\left(\dfrac{1}{e}\;,\ \dfrac{1}{\mathrm{e}}\right)\right)\\ \\&=&\dfrac{2}{12}\times\dfrac{4}{12}+\dfrac{2}{12}\times\dfrac{6}{12}+\dfrac{2}{12}\times\dfrac{6}{12}+\dfrac{6}{12}\times\dfrac{6}{12}\\ \\&=&\dfrac{4}{9}\end{array}$

En résumé :

$\boxed{p(X=0)=\dfrac{1}{9}\;,\ p(X=1)=\dfrac{4}{9}\;,\ p(X=\sqrt{2})=\dfrac{4}{9}}$

b) La fonction de répartition de

$X$ est définie par :

$F(x)=p(X<x)$

Donc,

$-\$ Si

$x\leq 0$ alors,

$F(x)=p(X<x)=0$

$-\$ Si

$0<x\leq 1$ alors,

$\begin{array}{rcl} F(x)&=&p(X<x)\\ \\&=&p(X=0)\\ \\&=&\dfrac{1}{9}\end{array}$

$-\$ Si

$1<x\leq\sqrt{2}$ alors,

$\begin{array}{rcl} F(x)&=&p(X<x)\\ \\&=&p(X=0)+p(X=1)\\ \\&=&\dfrac{1}{9}+\dfrac{4}{9}\\ \\&=&\dfrac{5}{9}\end{array}$

$-\$ Si

$\sqrt{2}<x$ alors,

$\begin{array}{rcl} F(x)&=&p(X<x)\\ \\&=&p(X=0)+p(X=1)+p(X=\sqrt{2})\\ \\&=&\dfrac{1}{9}+\dfrac{4}{9}+\dfrac{4}{9}\\ \\&=&1\end{array}$

Exercice 3

L'équation caractéristique associée à

$(E)$ est :

$(E_{c})\ :\ r^{2}+2r+1=0$

c'est à dire

$(r+1)^{2}=0.$

1) Elle a une racine double égale à

$-1.$ Par conséquent la solution générale de

$(E)$ est :

$f(x)=(ax+b)\mathrm{e}^{-x}\;;\ a\ \text{ et }\ b \text{ réels arbitraires}$

2) Pour que la fonction

$h\ :\ x\mapsto ax+b$ soit solution de

$(E')$ il faut et il suffit que

$h''(x)+2h'(x)+h(x)=x+3\quad (1)$

$h'(x)=a\$ et

$\ h''(x)=0.$ Donc, l'équation devient :

$2a+(ax+b)=x+3$

c'est à dire

$(a-1)x+2a+b=0\ \text{ ou }\ \left\lbrace\begin{array}{rcl} a-1&=&0\\2a+b&=&0\end{array}\right.$

Donc,

$a=1\$ et

$\ b=-2.$ Finalement

$\boxed{h(x)=x-2}$

3) Soit

$g$ une solution de

$(E')$ c'est à dire une fonction telle que :

$g''(x)+2g'(x)+g(x)=x+3\quad (2)$

En faisant la différence membre à membre de (2) et (1) on trouve :

$g''(x)-h''(x)+2g'(x)-2h'(x)+g(x)-h(x)=0$

c'est à dire

$(g-h)''(x)+2(g-h)'(x)+(g-h)(x)=0\quad (3)$

Ce qui montre que la fonction

$g-h$ est solution de

$(E).$

Réciproquement

$g-h$ est solution de

$(E)$ est équivalent à (3) soit à :

$g''(x)+2g'(x)+g(x)=h''(x)+2h'(x)+h(x)\quad (4)$

Or, d'après (1) le second membre de cette relation vaut

$x+3.$ Donc, (4) est équivalent à

$g''(x)+2g'(x)+g(x)=x+3$

Autrement dit

$g$ est solution de

$(E').$

4) La fonction

$k$ est continue sur son ensemble de définition

$D_{k}$ qui est égal à

$\mathbb{R}$ ; de plus

$\lim_{x\rightarrow -\infty}k(x)=-\infty\;;\quad\lim_{x\rightarrow +\infty}k(x)=0$

$\forall\;x\in D_{k}\;,\quad k'(x)=-(x+1)\mathrm{e}^{-x}$

$k'$ s'annule au point

$-1$ et est

$>0$ si, et seulement si,

$x+1<0$ c'est à dire

$x<-1.$

Pour que le point

$I(0\;,\ 2)$ soit un point d'inflexion de la courbe

$(\mathcal{C})$ il suffit que

$k$ soit deux fois dérivable et qu'au point

$O\;,\ k''$ "s'annule en changeant de signe".

Cela est bien le cas puisque

$k''(x)=x\mathrm{e}^{-x}$ s'annule au point

$O$ , et est

$>0$ "après

$O"$ et négatif "avant

$O".$

Voici le tableau de variations de

$k.$

$\text{T.V de }\ x\longmapsto k(x)=(x+2)\mathrm{e}^{-x}$

$\begin{array}{|c|lcccr|}\hline x&-\infty&&-1&&+\infty\\ \hline k'(x)&&+&0&-&\\ \hline&&&\mathrm{e}&&\\k&&\nearrow&\vdots&\searrow&\\&-\infty&&&&0\\ \hline\end{array}$

et voici la courbe représentative de

$k.$

Exercice 4

1) a) La fonction

$f$ est continue et dérivable sur

$D_{f}=]-1\;,\ +\infty[$ et

$\lim_{x\rightarrow -1}f(x)=-\infty\;;\quad\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$

$\forall\;x\in D_{f}\;,\ f'(x)=2\dfrac{1}{1+x}$

La dérivée est donc strictement positive dans

$D_{f}.$

Voici le tableau de variation de

$f.$

$\text{T.V de }\ x\longmapsto f(x)=2\ln(1+x)$

$\begin{array}{|c|lcr|}\hline x&-1&&+\infty\\ \hline f'(x)&&+&\\ \hline&&&+\infty\\f&&\nearrow&\\&-\infty&&\\ \hline\end{array}$

et voici la courbe

$\mathcal{C}_{f}$ ainsi que les quatre premiers termes de la suite sur le graphique.

b) La fonction

$\ell$ est continue et dérivable sur

$D_{f}$ et

$\lim_{x\rightarrow -1}f(x)=-\infty\;;\quad\forall\;x\in D_{f}\;,\ \ell'(x)=f'(x)-1=\dfrac{1-x}{1+x}$

Lorsque

$x$ tend vers

$+\infty$ , nous sommes en présence d'une indétermination de la forme

$"+\infty-\infty"$ , mais on peut écrire :

$\ell(x)=2x\left(\dfrac{\ln(1+x)}{x}-\dfrac{1}{2}\right)$

Lorsque

$x$ tend vers

$+\infty\;,\ \dfrac{\ln(1+x)}{x}$ a pour limite

$0.$

Donc, le facteur

$\dfrac{\ln(1+x)}{x}-\dfrac{1}{2}$ a pour limite

$-\dfrac{1}{2}.$ Par conséquent

$\lim_{x\rightarrow +\infty}\ell(x)=-\infty$

Voici le tableau de variation de

$\ell.$

$\text{T.V de }\ x\longmapsto \ell(x)=f(x)-x\;;\ \alpha=\ell(2)=2\ln 3-2\sim 2.2$

$\begin{array}{|c|lcccr|}\hline x&2&&\lambda&&+\infty\\ \hline\ell'(x)&&-&&-&\\ \hline&\alpha&&\vdots&&\\&&\searrow&\vdots&&\\&&&0&&\\ \ell&&&\vdots&\searrow&\\&&&\vdots&&-\infty\\ \hline\end{array}$

La fonction

$\ell$ étant continue et strictement décroissante dans

$I=[2\;,\ +\infty[$ , réalise une bijection de

$I$ dans

$\ell(I)=J=]-\infty_;,\ \alpha[$ ; et puisque le réel

$0$ appartient à

$J$ , il a dans l'intervalle

$I$ un seul antécédent par

$\ell.$

Autrement dit, l'équation

$\ell(x)=0$ a dans

$I$ une solution unique

$\lambda.$

$\lambda$ est alors l'unique élément de

$I$ tel que

$f(\lambda)=\lambda.$

2) a) Voir graphique.

b) La fonction

$f$ étant continue et strictement croissante dans

$I=[2\;,\ +\infty[$ , réalise une bijection de

$I$ dans

$f(I)=[f(2)\;,\ +\infty[$ ; et puisque

$f(2)=2\ln 3\sim 2.19$ est

$>2\;,\ f(I)$ est contenu dans

$I.$

Démontrons maintenant par récurrence la propriété :

$\forall\;n\in\mathbb{N}\;,\ P_{n}\ \text{ est vraie, avec }\ P_{n}\ :\ "U_{n}\geq 2"$

Initialisation :

$U_{0}=5$ , donnée de l'énoncé. Donc,

$U_{0}\geq 2\$ et

$\ P_{0}$ est vraie.

Héritage : Supposons la propriété vérifiée jusqu'à un rang

$n$ , en particulier

$P_{n}$ vraie (c'est à dire

$U_{n}\geq 2\$ ou

$\ U_{n}\in I)$ et montrons que

$P_{n+1}$ est vraie.

$\begin{array}{rcl}\left.\begin{array}{rcl} U_{n}&\in&I\quad\text{(Hypothèse de récurrence)}\\f(I)&\subset&I\\U_{n+1}&=&f(U_{n})\end{array}\right\rbrace&\Rightarrow&U_{n+1}=f(U_{n})\in I\\&\Leftrightarrow&U_{n+1}\geq 2\end{array}$

$\forall\;x\in]2\;,\ +\infty[\;,\ f'(x)=\dfrac{2}{1+x}$ ; donc,

$\forall\;x\in]2\;,\ +\infty[\;,\ 0\leq f'(x)\leq\dfrac{2}{1+2}=\dfrac{2}{3}$

Conclusion :

$\forall\;x\in]2\;,\ +\infty[\;,\quad |f'(x)|\leq\dfrac{2}{3}$

d) Soit

$n\in\mathbb{N}.$ Les réels

$U_{n}\$ et

$\ \lambda$ appartiennent à

$[2\;,\ +\infty[$ , intervalle dans lequel

$|f'|\leq\dfrac{2}{3}$ , on peut donc appliquer l'inégalité des accroissements finis au couple

$(U_{n}\;,\ \lambda)\ :$

$|f(U_{n})-f(\lambda)|\leq\dfrac{2}{3}|U_{n}-\lambda|$

c'est à dire , puisque

$f(\lambda)=\lambda$

$|U_{n+1}-\lambda|\leq\dfrac{2}{3}|U_{n}-\lambda|$

Posons

$|U_{n}-\lambda|=\delta_{n}$ ; la relation précédente devient alors

$0<\delta_{n+1}\leq\dfrac{2}{3}\delta_{n}\quad(1)$

Si au lieu de

$"\leq"$ on avait

$"="$ , la suite

$\delta_{n}$ serait une suite géométrique et on pourrait immédiatement écrire

$\delta_{n+1}=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}\delta_{0}$

C'est pourquoi d'aucuns disent d'une suite vérifiant (1) qu'elle est sous-géométrique.

Utilisons la même méthode : donnons à

$n$ toutes les valeurs entières possibles entre

$0\$ et

$\ p\;,\ p$ entier

$\geq 0$ ; multiplions ensuite membre à membre (Nous sommes en droit de le faire par ce que nous manipulons des nombres positifs).

Il vient :

$\delta_{0}\delta_{1}\ldots\delta_{p}\delta_{p+1}\leq\dfrac{2}{3}\delta_{0}\dfrac{2}{3}\delta_{1}\ldots\dfrac{2}{3}\delta_{p}$

et en simplifiant par

$\delta_{0}\delta_{1}\ldots\delta_{p}\ :\ 0<\delta_{p+1}\leq\left(\dfrac{2}{3}\right)^{p+1}\delta_{0}$ ; c'est à dire (tout en remplaçant

$p$ par

$n)$

$\forall\;n\in\mathbb{N}\;,\quad 0<|U_{n+1}-\lambda|\leq\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n+1}|U_{0}-\lambda|\quad(2)$

$\ell(2)\sim 2.2$ est positif,

$\ell(3)\sim -2.2$ est négatif, donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires,

$\lambda$ est compris entre

$2\$ et

$\ 3.$

Puisque

$U_{0}=5$ , on en déduit que

$|U_{0}-\lambda|\leq 3$ et la relation (2) entraîne :

$\forall\;n\in\mathbb{N}\;,\quad 0<|U_{n+1}-\lambda|\leq 3\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n+1}=2\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}$

Cette dernière relation s'écrit aussi :

$\forall\;n\in\mathbb{N}\;,\quad 0<\delta_{n+1}\leq 2\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}$

En remarquant que

$\lim_{n\rightarrow +\infty}2\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}=0$ , on conclut par le théorème des gendarmes que

$\lim_{n\rightarrow +\infty}\delta_{n+1}=0\;,\ \text{soit : }\lim_{n\rightarrow +\infty}\delta_{n}=0$

C'est à dire

$\lim_{n\rightarrow +\infty}|U_{n}-\lambda|=0$

Enfin :

$\lim_{n\rightarrow +\infty}U_{n}=\lambda$

e) La relation

$\forall\;n\in\mathbb{N}\;,\ |U_{n+1}-\lambda|\leq 2\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}$ s'écrit aussi :

$\forall\;n\in\mathbb{N}^{*}\;,\quad|U_{n}-\lambda|\leq 2\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}$

Donc, pour qu'un entier

$n$ vérifie

$|U_{n}-\lambda|\leq\dfrac{1}{10^{2}}$ , il suffit que

$2\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}\leq\dfrac{1}{10^{2}}$

Cette relation est équivalente à :

$\ln\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}\leq\ln\dfrac{1}{200}$

c'est à dire

$(n-1)\ln\dfrac{2}{3}\leq -\ln 200\quad\text{ou}\quad n-1\geq\dfrac{\ln 200}{\ln 3-\ln 2}$

Finalement

$n\geq\dfrac{\ln 200}{\ln 3-\ln 2}+1$

Le plus petit entier vérifiant cette relation est :

$\boxed{p=E\left(\dfrac{\ln 200}{\ln 3-\ln 2}+1\right)+1=15}$

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