Corrections Série d'exercices : Dénombrement - 1er L

Exercice 1

Partie 1 : Tirage simultané de 3 tee-shirts

Données :

• $6$ tee-shirts bleus ($B$)
• $4$ tee-shirts rouges ($R$)
• Total : $10$ tee-shirts

1. Événement $A$ : « Les $3$ tee-shirts sont rouges »

On veut choisir $3$ tee-shirts parmi les $4$ rouges.

•  Nombre de façons de choisir $3$ R parmi $4$ : $C_{4}^{3}$
•  Calcul :

  $$C_{4}^{3} = \frac{4!}{3!1!} = 4$$

Réponse : $\boxed{4}$

2. Événement B : « Au moins un des tee-shirts tirés est rouge »

C'est le complément de « aucun tee-shirt rouge », c'est-à-dire « tous les tee-shirts sont bleus ».

•  Nombre total de tirages possibles : $C_{10}^{3} = 120$
•  Nombre de tirages sans rouge ($3$ B parmi $6$) : $C_{6}^{3} = 20$
•  Donc, nombre de tirages avec au moins un rouge :

  $$C_{10}^{3} - C_{6}^{3} = 120 - 20 = 100$$

Réponse : $\boxed{100}$

3. Événement C : « Plus de tee-shirts bleus que rouges »

Cela signifie :

•  $2$ bleus et $1$ rouge
•  $3$ bleus et $0$ rouge
•  Nombre de façons pour 2B et 1R : $C_{6}^{2} \times C_{4}^{1} = 15 \times 4 = 60$
•  Nombre de façons pour 3B et 0R : $C_{6}^{3} = 20$
•  Total :

  $$60 + 20 = 80$$

Réponse : $\boxed{80}$

 Partie 2 : Tirage successif avec remise de $3$ tee-shirts

Données :

•  Tirage avec remise, donc l'ordre compte et les tirages sont indépendants.
•  Total de possibilités pour un tirage : $10$ (6B + 4R)
•  Pour 3 tirages : $10 \times 10 \times 10 = 1000$

1. Événement D : « Le premier et le dernier tee-shirts tirés sont bleus »

•  Premier tee-shirt : B ($6$ choix)
•  Deuxième tee-shirt : quelconque ($10$ choix)
•  Troisième tee-shirt : B ($6$ choix)
•  Total :

  $$6 \times 10 \times 6 = 360$$

Réponse : $\boxed{360}$

2. Événement E : « Aucun tee-shirt bleu »

C'est-à-dire tous les tee-shirts sont rouges.

•  Chaque tirage doit être R ($4$ choix)
•  Pour $3$ tirages :

  $$4 \times 4 \times 4 = 64$$

Réponse : $\boxed{64}$

 Exercice 2

Données :

•  $10$ joueurs dont $3$ Sénégalais (El Hadji DIOUF, Pape Bouba DIOP, Henri CAMARA)
•  Classement des $3$ meilleurs joueurs (ordre important).

1. Nombre de classements possibles

C'est un arrangement de $3$ joueurs parmi $10$.

$$A_{10}^{3} = 10 \times 9 \times 8 = 720$$

Réponse : $\boxed{720}$

2. Événements spécifiques

a. Les $3$ joueurs choisis sont tous Sénégalais

•  Choisir $3$ Sénégalais parmi 3 : $C_{3}^{3} = 1$
•  Les ordonner : $3! = 6$
•  Total :

  $$1 \times 6 = 6$$

Réponse : $\boxed{6}$

b. El Hadji DIOUF est le meilleur joueur

•  Premier : DIOUF ($1$ choix)
•  Deuxième et troisième : $2$ joueurs parmi les $9$ restants : $A_{9}^{2} = 72$
•  Total :

  $$1 \times 72 = 72$$

Réponse : $\boxed{72}$

c. El Hadji DIOUF figure parmi les $3$ joueurs choisis

•  Nombre total de classements : $720$
•  Nombre de classements sans DIOUF : $A_{9}^{3} = 504$
•  Donc avec DIOUF :

  $$720 - 504 = 216$$

Réponse : $\boxed{216}$

d. Seul le premier des $3$ joueurs choisis est Sénégalais

•  Premier : $1$ Sénégalais parmi $3 (3$ choix)
•  Deuxième et troisième : $2$ non-Sénégalais parmi 7 : $A_{7}^{2} = 42$
•  Total :

  $$3 \times 42 = 126$$

Réponse : $\boxed{126}$

e. Au moins un Sénégalais parmi les $3$ joueurs choisis

•  Nombre total : $720$
•  Nombre sans Sénégalais : $A_{7}^{3} = 210$
•  Donc avec au moins un Sénégalais :

  $$720 - 210 = 510$$

Réponse : $\boxed{510}$

Exercice 3

Données :

•  $5$ joueurs : COLY (C), FADIGA (Fd), FAYE (Fy), DIOUF (D), CISSE (Cs)
•  Tirage au sort pour l'ordre des penalties (permutation des $5$ joueurs).

1. Nombre de façons de ranger les 5 tireurs

C'est le nombre de permutations de $5$ éléments :

$$5! = 120$$

Réponse : $\boxed{120}$

2. Événements spécifiques

A. « Le premier tireur est FADIGA »

•  Premier : Fd ($1$ choix)
•  Les $4$ autres : permutation des $4$ restants : $4! = 24$
•  Total :

  $$1 \times 24 = 24$$

Réponse : $\boxed{24}$

B. « Le premier tireur a un nom commençant par F »

•  Joueurs commençant par $F$ : FADIGA, FAYE ($2$ choix)
•  Les $4$ autres : permutation des 4 restants : $4! = 24$
•  Total :

  $$2 \times 24 = 48$$

Réponse : $\boxed{48}$

C. « Les deux premiers tireurs ont un nom commençant par la même lettre »

•  Paires possibles avec même initiale :
•    COLY et CISSE $(C)$
•    FADIGA et FAYE $(F)$
•  Pour $C$ :
•    Premier et deuxième : $C$ et $C (2$ choix : COLY puis CISSE ou l'inverse)
•    Les 3 autres : $3! = 6$
•    Total pour C : $2 \times 6 = 12$
•  Pour F :
•    Premier et deuxième : Fd et Fy ou Fy et Fd (2 choix)
•    Les 3 autres : $3! = 6$
•    Total pour F : $2 \times 6 = 12$
•  Total général :

  $$12 + 12 = 24$$

Réponse : $\boxed{24}$

D. « DIOUF tire immédiatement après FADIGA »

•  Considérer$Fd$ et $D$ comme un seul bloc.
•  Nombre de blocs à permuter : $4 (FdD, C, Fy, Cs)$
•  Permutations : $4! = 24$
•  À l'intérieur du bloc,$Fd$ doit précéder $D (1$ seule possibilité).
•  Total :

  $$24 \times 1 = 24$$

Réponse : $\boxed{24}$

Exercice 4

Données :
$10$ boules blanches (B) numérotées $1$ à $10$
 $2$ boules rouges (R) numérotées $1$ à $2$
$3$ boules noires (N) numérotées $1$ à $3$
Total : $15$ boules

Partie 1 : Tirage simultané de $3$ boules

1. Événement A : « $3$ boules blanches »

$$C_{10}^{3} = 120$$

Réponse : $\boxed{120}$

2. Événement B : « $1$ rouge et $2$ noires »

$$C_{2}^{1} \times C_{3}^{2} = 2 \times 3 = 6$$

Réponse : $\boxed{6}$

3. Événement C : «$3$ boules de même couleur »

•  $3$ blanches : $C_{10}^{3} = 120$
•  $3$ rouges : impossible (seulement 2 rouges)
•  $3$ noires : $C_{3}^{3} = 1$
•  Total :

  $$120 + 1 = 121$$

Réponse : $\boxed{121}$

4. Événement D : « $3$ boules portant le même numéro »

Les numéros communs possibles sont $1, 2, 3$ (car les boules rouges et noires vont jusqu'à $2$ et$3$, et les blanches ont des numéros plus élevés).

•  Numéro 1 :
•    1B, 1R, 1N : $C_{3}^{3} = 1$ (mais ce sont des couleurs différentes)
•    En fait, il faut $3$ boules avec le même numéro et non nécessairement la même couleur. Donc pour chaque numéro, on compte le nombre de boules portant ce numéro et on choisit $3$ parmi elles.
•    Numéro $1 : 1B, 1R, 1N$ → $3$ boules → $C_{3}^{3} = 1$
•    Numéro $2 : 1B, 1R, 1N$→ $3$ boules → $C_{3}^{3} = 1$
•    Numéro$3 : 1B, 1N →$ 2 boules → $C_{2}^{3} = 0$
•    Numéros $4$ à $10$ : seulement $1$ boule (blanche) → $C_{1}^{3} = 0$
•  Total :

  $$1 (n°1) + 1 (n°2) = 2$$

Réponse : $\boxed{2}$

Partie 2 : Tirage successif sans remise de $3$ boules

1. Événement E : « une blanche, une noire, une rouge dans cet ordre »

•  Premier : B ($10$ choix)
•  Deuxième : N ($3$ choix)
•  Troisième : R ($2$ choix)
•  Total :

  $$10 \times 3 \times 2 = 60$$

Réponse : $\boxed{60}$

2. Événement $F$ : « deux blanches et une noire » (dans n'importe quel ordre)

• Nombre de permutations de$B, B, N$ : $\frac{3!}{2!} = 3$
•  Pour chaque permutation, par exemple $BBN$ :
•    Premier $B : 10$ choix
•    Deuxième $B : 9$ choix
•    N : $3$ choix
•    Total pour BBN : $10 \times 9 \times 3 = 270$
•  Mais les autres permutations (BNB, NBB) donnent le même nombre.
•  Donc total :

  $$3 \times 270 = 810$$
  Correction : En réalité, pour les arrangements avec ordre, le nombre total est $C_{10}^{2} \times C_{3}^{1} \times 3! = 45 \times 3 \times 6 = 810$, mais cela semble trop grand par rapport au total possible $A_{15}^{3} = 2730$. Une autre approche :

•    Choisir $2B$ et $1N$ : $C_{10}^{2} \times C_{3}^{1} = 45 \times 3 = 135$
•    Les ordonner : $\frac{3!}{2!} = 3$ (car deux B indistincts)
•    Total :

    $$135 \times 3 = 405$$
  Réponse finale après vérification : $\boxed{405}$

Exercice 5

Données :

•  Troupe : $25$ artistes $(14F, 11H)$ dont DIEK et NGOR.
•  Groupe de $10$ acteurs.

1. Nombre de façons de choisir $10$ acteurs parmi $25$

$$C_{25}^{10}$$

Calcul : $C_{25}^{10} = 3268760$

Réponse : $\boxed{3268760}$

2. Groupes avec seulement 3 hommes

• $3H$ parmi $11$ : $C_{11}^{3}$
•  $7F$ parmi $14$ : $C_{14}^{7}$
•  Total :

  $$C_{11}^{3} \times C_{14}^{7} = 165 \times 3432 = 566280$$

Réponse : $\boxed{566280}$

3. Groupes avec autant de femmes que d'hommes ($5F$ et $5H$)

$$C_{14}^{5} \times C_{11}^{5} = 2002 \times 462 = 924924$$

Réponse : $\boxed{924924}$

4. Groupes avec au moins 2 femmes

C'est le complément de « moins de $2$ femmes », c'est-à-dire $0F$ ou $1F$.

•  $0F$ : $C_{14}^{0} \times C_{11}^{10} = 1 \times 11 = 11$
•  $1F$ : $C_{14}^{1} \times C_{11}^{9} = 14 \times 55 = 770$

 Complément :


  $$C_{25}^{10} - (11 + 770) = 3268760 - 781 = 3267979$$

Réponse : $\boxed{3267979}$

5. Groupes comprenant NGOR

•  NGOR est inclus, il reste à choisir $9$ autres parmi $24$ :

  $$C_{24}^{9} = 1307504$$

Réponse : $\boxed{1307504}$

6. Groupes comprenant NGOR et DIEK

•  NGOR et DIEK inclus, reste à choisir $8$ parmi $23$ :

  $$C_{23}^{8} = 490314$$

Réponse : $\boxed{490314}$

7. Groupes comprenant NGOR ou DIEK

•  Principe d'inclusion-exclusion :
•    Avec NGOR : $C_{24}^{9}$
•    Avec DIEK : $C_{24}^{9}$
•    Avec NGOR et DIEK : $C_{23}^{8}$
•  Total :

  $$2 \times C_{24}^{9} - C_{23}^{8} = 2 \times 1307504 - 490314 = 2124694$$

Réponse : $\boxed{2124694}$

8. Groupes comprenant ni NGOR ni DIEK

•  Choisir $10$ parmi les $23$ autres :

  $$C_{23}^{10} = 1144066$$

Réponse : $\boxed{1144066}$

9. Groupes comprenant NGOR et pas DIEK

•  NGOR inclus, DIEK exclu : choisir $9$ parmi $23$ (car DIEK ne doit pas être inclus) :

  $$C_{23}^{9} = 817190$$

Réponse : $\boxed{817190}$

Exercice 6

Données :

•  Urne avec :
• $3$ jetons « $15$ »
• $5$ jetons « $10$ »
• $2$ jetons « $20$ »
• Total : $10$ jetons
• Tirage simultané de $2$ jetons.

 Partie 1 : Événements

1. Événement A : « $2$ jetons portant le même nombre »

•  Paires possibles :
•    Deux « $15$ » : $C_{3}^{2} = 3$
•    Deux « $10$ » : $C_{5}^{2} = 10$
•    Deux « $20$ » : $C_{2}^{2} = 1$
•  Total :

  $$3 + 10 + 1 = 14$$

Réponse : $\boxed{14}$

2. Événement B : « $2$ jetons portant des nombres pairs »

Nombres pairs : $10$ et $20$.

•  Nombre de jetons pairs : $5 (10) + 2 (20) = 7$
•  Nombre de paires : $C_{7}^{2} = 21$

Réponse : $\boxed{21}$

3. Événement C : « $2$ jetons de même parité »

Même parité signifie :

•  Deux pairs $(B) : 21$
•  Deux impairs : seulement « $15$ » est impair ($3$ jetons)
•    Paires : $C_{3}^{2} = 3$
•  Total :

  $$21 + 3 = 24$$

Réponse : $\boxed{24}$

 Partie 2 : Somme des nombres

Tableau des sommes :

| Nombres tirés | 15 et 15 | 15 et 10 | 15 et 20 | 10 et 10 | 10 et 20 | 20 et 20 |
||-|-|-|-|-|-|
| Somme         | 30       | 25       | 35       | 20       | 30       | 40       |

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline\text{Nombres tirés }&15\text{ et }15 & 15\text{ et } 10&15\text{ et }20&10\text{ et }10&10\text{ et }20&20\text{ et }20\\ \hline \text{Somme }&30&25&35&20&30&40\\\hline\end{array}$

Événement D : « Somme > $33$ »

Les paires avec somme > $33$ :

• $15$ et $20 : 35$
• $20$ et$20 : 40$
•  Nombre de paires « 15 et 20 » : $3 \times 2 = 6$
•  Nombre de paires « 20 et 20 » : $C_{2}^{2} = 1$
•  Total :

  $$6 + 1 = 7$$

Réponse : $\boxed{7}$