Corrections Exercices Calcul intégral - Tle

Exercice 1

 Affirmation 1 :

 Une primitive sur ℝ de la fonction définie par :
 $f(x) = 3x^2 − 4x + 1$ est la fonction définie par :
 $F(x) = x^3 − 2x^2 + x − π$

Solution :
Une primitive de $f(x) = 3x^2 − 4x + 1$ est :

$$
F(x) = \int f(x) \, dx = \int (3x^2 - 4x + 1) \, dx = x^3 - 2x^2 + x + C
$$

Donc, la fonction $F(x) = x^3 − 2x^2 + x − π$ est bien une primitive, car elle correspond à cette forme avec $C = -\pi$.
 Réponse : Vrai (V)

 Affirmation 2 :

 La primitive sur $]0; +∞[$ de la fonction $p(x) = x − \frac{1}{x^2} − \frac{1}{\sqrt{x}}$ qui prend la valeur −½ en 1 est :
 $P(x) = \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{x} - 2\sqrt{x} + 1$

Solution :
Cherchons une primitive générale de $p(x)$ :

$$
\int \left(x - \frac{1}{x^2} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right) dx = \int x \, dx - \int x^{-2} \, dx - \int x^{-1/2} \, dx
$$

$$
= \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{x} - 2\sqrt{x} + C
$$

Donc la primitive est $P(x) = \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{x} - 2\sqrt{x} + C$. Pour qu'elle prenne la valeur −½ en 1 :

$$
P(1) = \frac{1}{2}(1)^2 + \frac{1}{1} - 2\cdot1 + C = \frac{1}{2} + 1 - 2 + C = -\frac{1}{2} + C
$$

$$
\Rightarrow -\frac{1}{2} + C = -\frac{1}{2} \Rightarrow C = 0
$$

La bonne primitive est donc sans le "+1" à la fin.
X Réponse : Faux (F)

 Affirmation 3 :

 Une primitive sur un intervalle $I$ de la fonction $u'v + uv'$ est la fonction $u \times v$

Solution :
C'est la règle de dérivation du produit :

$$
(u \cdot v)' = u'v + uv'
\Rightarrow \int (u'v + uv') = uv + C
$$

 Réponse : Vrai (V)

Exercice 2 : Calcul de primitives

 a) $f(x) = \frac{1}{(2x + 5)^2}$ sur $I = \left] \frac{5}{2}; +\infty \right[$

Soit $u(x) = 2x + 5$, donc $u'(x) = 2$
On reconnaît une forme de dérivée d’un quotient :

$$
f(x) = \frac{1}{(2x + 5)^2} = \frac{1}{u(x)^2} = \text{on intègre via } \int \frac{1}{u^2} u'(x) dx
$$

$$
\int \frac{1}{(2x + 5)^2} dx = \int \frac{1}{u^2} \cdot \frac{1}{2} du = -\frac{1}{2u} + C = -\frac{1}{2(2x + 5)} + C
$$

 Réponse : $F(x) = -\frac{1}{2(2x + 5)} + C$

 b) $f(x) = (3x + 2)(3x^2 + 4x - 7)^3$

Posons $u(x) = 3x^2 + 4x - 7 \Rightarrow u'(x) = 6x + 4 = 2(3x + 2)$

Donc :

$$
f(x) = \frac{1}{2} u'(x) \cdot u(x)^3
\Rightarrow \int f(x) dx = \frac{1}{2} \int u'(x) \cdot u(x)^3 dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{u(x)^4}{4} + C
= \frac{(3x^2 + 4x - 7)^4}{8} + C
$$

 Réponse : $F(x) = \frac{(3x^2 + 4x - 7)^4}{8} + C$

 Exercice 3

 $f(x) = x + 1 - e^x$

 1) Limites

 a) $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty + 1 - e^x = -\infty$
 b) $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x + 1 - e^x}{x} = 1 - \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = -\infty$

Cela signifie que $f(x)$ décroît très rapidement vers $-\infty$, plus vite que $x$ ne croît.

 a) Limite en $-\infty$ :

$$
f(x) = x + 1 - e^x \Rightarrow \lim_{x \to -\infty} x = -\infty, \quad \lim e^x = 0
\Rightarrow \lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty + 1 - 0 = -\infty
$$

 b) On cherche si $y = x$ est asymptote.
  Soit :

$$
\lim_{x \to -\infty} [f(x) - x] = \lim_{x \to -\infty} (x + 1 - e^x - x) = 1 - e^x \to 1
\Rightarrow f(x) - x \to 1
\Rightarrow \text{asymptote oblique } y = x
$$

 c) Étude de $f(x) - x = 1 - e^x$

 Si $e^x < 1 \Rightarrow f(x)  x$, ce qui se produit pour $x < 0$
 Si $e^x  1 \Rightarrow f(x) < x$, ce qui se produit pour $x  0$

Donc :

 Sur $]-\infty; 0[$, $f(x)  x$
 Sur $]0; +\infty[$, $f(x) < x$

 2) Tableau de variation de $f$

Calcul de la dérivée :

$$
f'(x) = 1 - e^x
\Rightarrow f'(x) = 0 \Leftrightarrow e^x = 1 \Leftrightarrow x = 0
$$

 $f'(x)  0$ pour $x < 0$
 $f'(x) < 0$ pour $x  0$

Donc $f$ croît sur $]-\infty, 0[$ puis décroît sur $]0, +\infty[$
Valeur maximale en $x = 0$ : $f(0) = 0 + 1 - 1 = 0$

\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
x    & -\infty &   & 0 &      &\infty \\
\hline
f'(x) &      &   +       &0  &   -   & \\
\hline
     &         &          &0  &       & \\
f(x) &         &\nearrow  &  &\searrow &     \\
     &-\infty  &          &  &         &  -\infty \\
\hline
\end{array}

 3) Tracé de $D$ et $C$

 Droite $D$ : $y = x$
 Courbe $C$ passe par :

   $f(0) = 0$
   $f(-2) = -2 + 1 - e^{-2} \approx -1 + 0.135 = -0.865$
   $f(1) = 1 + 1 - e \approx 2 - 2.718 = -0.718$

Tracer sur repère avec 2 cm/unité.

 4) Aire $\mathcal{A}$ entre $f$ et $D$, entre $x = -2$ et $x = 0$

On calcule :

$$
\mathcal{A} = \int_{-2}^{0} |f(x) - x| dx = \int_{-2}^{0} (f(x) - x) dx
= \int_{-2}^{0} (x + 1 - e^x - x) dx = \int_{-2}^{0} (1 - e^x) dx
$$

$$
= \left[ x - e^x \right]_{-2}^{0} = \left(0 - 1\right) - \left(-2 - e^{-2}\right) = -1 + 2 + e^{-2} = 1 + e^{-2}
$$

$$
e^{-2} \approx 0.135 \Rightarrow \mathcal{A} \approx 1.135 \, \text{unités d’aire}
$$

Unité graphique : 2 cm → $1 \, \text{u.a.} = 4 \, \text{cm}^2$
$\Rightarrow \mathcal{A} \approx 1.135 \times 4 \approx 4.54 \, \text{cm}^2$

 Réponse : environ 4,54 cm²