Correction Série d'exercices : Suites Numériques - TL

Exercice 1

 1. Suite arithmétique avec raison \( r = 5 \) et \( U_{80} = 393 \)

Données :

• Raison \( r = 5 \)
•  \( U_{80} = 393 \)

Formule du terme général :
\[ U_n = U_1 + (n - 1) \times r \]

Calcul de \( U_1 \) :
\[
U_{80} = U_1 + (80 - 1) \times 5 = U_1 + 79 \times 5 = U_1 + 395
\]
\[
393 = U_1 + 395 \implies U_1 = 393 - 395 = -2
\]

Calcul de la somme \( S_{80} \) :
\[
S_n = \frac{n}{2} \times (U_1 + U_n)
\]
\[
S_{80} = \frac{80}{2} \times (-2 + 393) = 40 \times 391 = 15\,640
\]

Réponses :

•  \( U_1 = \boxed{-2} \)
• \( S_{80} = \boxed{15\,640} \)

 2. Déterminer le premier terme et la raison avec \( U_5 = 17 \) et \( U_7 = 21 \)

Données :

•  \( U_5 = 17 \)
• \( U_7 = 21 \)

Formule du terme général :
\[
U_n = U_3 + (n - 3) \times r \quad \text{(car la suite est définie pour \( n \geq 3 \))}
\]

Système d'équations :
\[
\begin{cases}
U_5 = U_3 + 2r = 17 \\
U_7 = U_3 + 4r = 21
\end{cases}
\]

Soustraction des deux équations :
\[
(U_3 + 4r) - (U_3 + 2r) = 21 - 17 \implies 2r = 4 \implies r = 2
\]

Calcul de \( U_3 \) :
\[
U_3 + 2 \times 2 = 17 \implies U_3 = 17 - 4 = 13
\]

Réponses :

• Premier terme \( U_3 = \boxed{13} \)
• Raison \( r = \boxed{2} \)

 3. Suite arithmétique avec \( U_1 = 5 \), \( U_n = -16 \) et \( S_n = -38.5 \)

Données :

•  \( U_1 = 5 \)
• \( U_n = -16 \)
• \( S_n = -38.5 \)

Formule du terme général :
\[
U_n = U_1 + (n - 1) \times r \implies -16 = 5 + (n - 1) \times r
\]
\[
(n - 1) \times r = -21 \quad \text{(1)}
\]

Formule de la somme :
\[
S_n = \frac{n}{2} \times (U_1 + U_n) \implies -38.5 = \frac{n}{2} \times (5 - 16)
\]
\[
-38.5 = \frac{n}{2} \times (-11) \implies -38.5 = -5.5 \times n \implies n = \frac{-38.5}{-5.5} = 7
\]

Calcul de la raison \( r \) :
\[
n = 7 \implies (7 - 1) \times r = -21 \implies 6r = -21 \implies r = -3.5
\]

Réponses :

• \( n = \boxed{7} \)
• \( r = \boxed{-3.5} \)

 4. Suite géométrique avec \( U_0 = 4 \) et \( q = \frac{1}{3} \)

Données :

• \( U_0 = 4 \)
• \( q = \frac{1}{3} \)

Calcul de \( U_6 \) :
\[
U_n = U_0 \times q^n \implies U_6 = 4 \times \left(\frac{1}{3}\right)^6 = 4 \times \frac{1}{729} = \frac{4}{729}
\]

Calcul de \( S_6 \) :
\[
S_n = U_0 \times \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q} \implies S_6 = 4 \times \frac{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^7}{1 - \frac{1}{3}} = 4 \times \frac{1 - \frac{1}{2187}}{\frac{2}{3}} = 4 \times \frac{2186}{2187} \times \frac{3}{2} = 4 \times \frac{3279}{2187} \approx 6
\]

Réponses :

• \( U_6 = \boxed{\dfrac{4}{729}} \)

\( S_6 \approx \boxed{6} \) (arrondi à l'entier le plus proche)

 5. Suite géométrique avec \( U_1 = 2 \) et \( S_4 = 2 + U_2 + U_3 + U_4 \)

Données :

•  \( U_1 = 2 \)
•  \( S_4 = U_1 + U_2 + U_3 + U_4 \)

Formule de la somme :
\[
S_n = U_1 \times \frac{1 - q^n}{1 - q}
\]
\[
S_4 = 2 \times \frac{1 - q^4}{1 - q}
\]

Information manquante : Il manque une donnée pour déterminer \( q \). Supposons que \( S_4 \) est donné (par exemple, \( S_4 = 10 \)), mais ici ce n'est pas précisé. Donc, on ne peut pas déterminer \( q \) sans information supplémentaire.

Réponse :

• Impossible de déterminer \( q \) et \( S_4 \) sans donnée supplémentaire.

Exercice 2

 1. Consommation avec diminution annuelle de 8%


Données :

• \( U_0 = 100 \) (millions de tonnes)
• Diminution annuelle de 8%, donc \( q = 1 - 0.08 = 0.92 \)

Calcul de \( U_1 \) et \( U_2 \) :
\[
U_1 = U_0 \times q = 100 \times 0.92 = 92 \text{ (en 1987)}
\]
\[
U_2 = U_1 \times q = 92 \times 0.92 = 84.64 \text{ (en 1988)}
\]

Formule générale :
\[
U_n = U_0 \times q^n = 100 \times (0.92)^n
\]

Réponses :

•  \( U_1 = \boxed{92} \) millions de tonnes
• \( U_2 = \boxed{84.64} \) millions de tonnes
•  \( U_n = \boxed{100 \times (0.92)^n} \)

 2. Année où \( U_n < 1 \)

Résolution de l'inéquation :
\[
100 \times (0.92)^n < 1 \implies (0.92)^n < 0.01
\]
\[
n \ln(0.92) < \ln(0.01) \implies n > \frac{\ln(0.01)}{\ln(0.92)} \approx \frac{-4.605}{-0.0834} \approx 55.2
\]

Année correspondante :
\[
1986 + 56 = 2042
\]

Réponse :

• La consommation sera inférieure à 1 million de tonnes en \(\boxed{2042}\).

 3. Pourcentage de diminution pour atteindre 1 million en 20 ans

Données :

•  \( U_{20} = 1 \)
• \( U_0 = 100 \)

Résolution :
\[
100 \times q^{20} = 1 \implies q^{20} = 0.01 \implies q = (0.01)^{1/20} \approx e^{\frac{\ln(0.01)}{20}} \approx e^{-0.2303} \approx 0.794
\]

Pourcentage de diminution :
\[
1 - q \approx 1 - 0.794 = 0.206 \text{ soit } 20.6\%
\]

Réponse :

•  Le pourcentage de diminution annuelle doit être d'environ \(\boxed{20.6\%}\).

Exercice 3

 1. Naissances et décès en 1991 et 1992

Données :

•  Naissances en 1990 : \( N_0 = 1000 \), augmentation de 8% par an.
• Décès en 1990 : \( D_0 = 900 \), augmentation de 2% par an.

Calculs :

•  Naissances :

  \[
  N_1 = 1000 \times 1.08 = 1080 \text{ (en 1991)}
  \]
  \[
  N_2 = 1080 \times 1.08 = 1166.4 \approx 1166 \text{ (en 1992)}
  \]

•  Décès :

  \[
  D_1 = 900 \times 1.02 = 918 \text{ (en 1991)}
  \]
  \[
  D_2 = 918 \times 1.02 = 936.36 \approx 936 \text{ (en 1992)}
  \]

Réponses :

•  Naissances en 1991 : \(\boxed{1080}\) ; en 1992 : \(\boxed{1166}\)
•  Décès en 1991 : \(\boxed{918}\) ; en 1992 : \(\boxed{936}\)

 2. Naissances et décès en 2050

Nombre d'années :
\[
2050 - 1990 = 60 \text{ ans}
\]

Calculs :

• Naissances :

  \[
  N_{60} = 1000 \times (1.08)^{60} \approx 1000 \times 101.257 \approx 101\,257
  \]

•  Décès :

  \[
  D_{60} = 900 \times (1.02)^{60} \approx 900 \times 3.281 \approx 2\,953
  \]

Réponses :

• Naissances en 2050 : \(\boxed{101\,257}\)
• Décès en 2050 : \(\boxed{2\,953}\)

 3. Total des naissances et décès de 1990 à 1999

Nombre d'années : 10 ans (de 1990 à 1999 inclus)

Calculs :

• Naissances :

  \[
  S_N = 1000 \times \frac{(1.08)^{10} - 1}{1.08 - 1} \approx 1000 \times \frac{2.1589 - 1}{0.08} \approx 1000 \times 14.486 \approx 14\,486
  \]

• Décès :

  \[
  S_D = 900 \times \frac{(1.02)^{10} - 1}{1.02 - 1} \approx 900 \times \frac{1.21899 - 1}{0.02} \approx 900 \times 10.9495 \approx 9\,855
  \]

Réponses :

• Total des naissances : \(\boxed{14\,486}\)
• Total des décès : \(\boxed{9\,855}\)

 4. Année où le nombre de naissances double celui des décès

Résolution de l'inéquation :
\[
1000 \times (1.08)^n > 2 \times 900 \times (1.02)^n
\]
\[
\left(\frac{1.08}{1.02}\right)^n > 1.8 \implies n \ln\left(\frac{1.08}{1.02}\right) > \ln(1.8)
\]
\[
n > \frac{\ln(1.8)}{\ln(1.08) - \ln(1.02)} \approx \frac{0.5878}{0.07696 - 0.01980} \approx \frac{0.5878}{0.05716} \approx 10.28
\]

Année correspondante :
\[
1990 + 11 = 2001
\]

Réponse :

• À partir de \(\boxed{2001}\), le nombre de naissances aura doublé celui des décès.