Correction Série d'exercices : Suites Numériques - 1er L

Exercice 1

1) Calculer $U_{0}$, $U_{1}$ et $U_{2}$.

La suite est définie par $U_n = 5 - 2n$.

•  $U_0 = 5 - 2 \times 0 = 5$
•  $U_1 = 5 - 2 \times 1 = 3$
•  $U_2 = 5 - 2 \times 2 = 1$

Réponse :
$$U_0 = \boxed{5}, \quad U_1 = \boxed{3}, \quad U_2 = \boxed{1}$$

2) Démontrer que $\left(U_{n}\right)$ est une suite arithmétique dont on précisera la raison.

Pour montrer que $(U_n)$ est arithmétique, on calcule la différence entre deux termes consécutifs :
$$U_{n+1} - U_n = \left(5 - 2(n+1)\right) - \left(5 - 2n\right) = -2$$
La différence est constante, donc la suite est arithmétique de raison $r = -2$.

Réponse :
La suite est arithmétique de raison $\boxed{-2}$.

3) Que vaut $U_{100}$ ? Calculer la somme $S = U_0 + U_1 + \ldots + U_{100}$.

- Calcul de $U_{100}$:
$$U_{100} = 5 - 2 \times 100 = 5 - 200 = -195$$

- Calcul de la somme $S$:
La somme des termes d'une suite arithmétique est donnée par :
$$S = \frac{\text{Nombre de termes} \times (\text{Premier terme} + \text{Dernier terme})}{2}$$
Ici, il y a $101$ termes (de $U_0$ à $U_{100}$), donc :
$$S = \frac{101 \times (5 + (-195))}{2} = \frac{101 \times (-190)}{2} = 101 \times (-95) = -9595$$

Réponse :
$$U_{100} = \boxed{-195}, \quad S = \boxed{-9595}$$

Exercice 2

1) Calculer $U_{0}$, $U_{1}$ et $U_{2}$.

La suite est définie par $U_n = (n+1)^2 - n^2$.

•  $U_0 = (0+1)^2 - 0^2 = 1 - 0 = 1$
•  $U_1 = (1+1)^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3$
•  $U_2 = (2+1)^2 - 2^2 = 9 - 4 = 5$

Réponse :
$$U_0 = \boxed{1}, \quad U_1 = \boxed{3}, \quad U_2 = \boxed{5}$$

2) La suite $\left(U_{n}\right)$ est-elle arithmétique ? Si oui préciser sa raison.

Calculons la différence entre deux termes consécutifs :
$$U_{n+1} - U_n = \left((n+2)^2 - (n+1)^2\right) - \left((n+1)^2 - n^2\right) = \left(2n + 3\right) - \left(2n + 1\right) = 2$$
La différence est constante, donc la suite est arithmétique de raison $r = 2$.

Réponse :
La suite est arithmétique de raison $\boxed{2}$.

3) Que vaut $U_{99}$ ? Calculer la somme $S = 1 + 3 + 5 + \ldots + 199$.

- Calcul de $U_{99}$:
$$U_{99} = (99+1)^2 - 99^2 = 100^2 - 99^2 = 10000 - 9801 = 199$$

- Calcul de la somme $S$:
La somme $S$ correspond à la somme des 100 premiers termes impairs (car $U_0 = 1$, $U_1 = 3$, ..., $U_{99} = 199$).

La somme des $n$ premiers termes impairs est connue pour être égale à $n^2$. Donc :
$$S = 100^2 = 10000$$

Réponse :
$$U_{99} = \boxed{199}, \quad S = \boxed{10000}$$

Exercice 3

1) Calculer $U_{1}$, $U_{2}$ et $U_{3}$.

La suite est définie par $U_{n+1} = U_n + \frac{1}{2}$ avec $U_0 = 0$.

- $U_1 = U_0 + \frac{1}{2} = 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
- $U_2 = U_1 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$
- $U_3 = U_2 + \frac{1}{2} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

Réponse :
$$U_1 = \boxed{\dfrac{1}{2}}, \quad U_2 = \boxed{1}, \quad U_3 = \boxed{\dfrac{3}{2}}$$

2) Justifier que $\left(U_{n}\right)$ est une suite arithmétique dont on précisera la raison.

La relation de récurrence est $U_{n+1} = U_n + \frac{1}{2}$, ce qui montre que la différence entre deux termes consécutifs est constante ($\frac{1}{2}$). Donc la suite est arithmétique de raison $r = \frac{1}{2}$.

Réponse :
La suite est arithmétique de raison $\boxed{\dfrac{1}{2}}$.

3) Que vaut $U_{100}$ ?

Le terme général d'une suite arithmétique est :
$$U_n = U_0 + n \times r = 0 + n \times \frac{1}{2} = \frac{n}{2}$$
Donc :
$$U_{100} = \frac{100}{2} = 50$$

Réponse :
$$U_{100} = \boxed{50}$$

4) Étudier la convergence de la suite $\left(U_{n}\right)$.

La suite est arithmétique de raison $r = \frac{1}{2} > 0$. Comme la raison est positive, la suite diverge vers $+\infty$.

Réponse :
La suite diverge vers $\boxed{+\infty}$.

Exercice 4

La suite $\left(U_{n}\right)$ est arithmétique de raison $r = 8$. On sait que $U_{100} = 650$. Que vaut $U_0$ ?

Le terme général d'une suite arithmétique est :
$$U_n = U_0 + n \times r$$
Donc :
$$U_{100} = U_0 + 100 \times 8 = 650 \implies U_0 + 800 = 650 \implies U_0 = 650 - 800 = -150$$

Réponse :
$$U_0 = \boxed{-150}$$

Exercice 5

Calculer la somme $S = 1 + 2 + 3 + \ldots + 999$.

C'est la somme des 999 premiers entiers naturels non nuls. La formule est :
$$S = \frac{n(n+1)}{2} = \frac{999 \times 1000}{2} = 499500$$

Réponse :
$$S = \boxed{499500}$$

Exercice 6

1) Calculer la raison $r$ et $U_0$.

On a :
$$\begin{cases} U_{50} = U_0 + 50r = 406 \\ U_{100} = U_0 + 100r = 806 \end{cases}$$
En soustrayant les deux équations :
$$(U_0 + 100r) - (U_0 + 50r) = 806 - 406 \implies 50r = 400 \implies r = 8$$
Puis :
$$U_0 = 406 - 50 \times 8 = 406 - 400 = 6$$

Réponse :
$$r = \boxed{8}, \quad U_0 = \boxed{6}$$

2) Calculer la somme $S = U_{50} + U_{51} + \ldots + U_{100}$.

Il y a $100 - 50 + 1 = 51$ termes. La somme est :
$$S = \frac{\text{Nombre de termes} \times (\text{Premier terme} + \text{Dernier terme})}{2} = \frac{51 \times (406 + 806)}{2} = \frac{51 \times 1212}{2} = 51 \times 606 = 30906$$

Réponse :
$$S = \boxed{30906}$$

Exercice 7

1) Calculer $V_1$, $V_3$ et $V_4$.

La suite est géométrique avec $V_1 = 1$ et $q = -2$.

- $V_1 = 1$
- $V_2 = V_1 \times q = 1 \times (-2) = -2$
- $V_3 = V_2 \times q = -2 \times (-2) = 4$
- $V_4 = V_3 \times q = 4 \times (-2) = -8$

Réponse :
$$V_1 = \boxed{1}, \quad V_3 = \boxed{4}, \quad V_4 = \boxed{-8}$$

2) Calculer $V_{20}$.

Le terme général d'une suite géométrique est :
$$V_n = V_1 \times q^{n-1} = 1 \times (-2)^{n-1}$$
Donc :
$$V_{20} = (-2)^{19} = -2^{19} = -524288$$

Réponse :
$$V_{20} = \boxed{-524288}$$

3) Calculer la somme $S = V_1 + V_2 + \ldots + V_{20}$.

La somme des $n$ premiers termes d'une suite géométrique est :
$$S = V_1 \times \frac{1 - q^n}{1 - q} = 1 \times \frac{1 - (-2)^{20}}{1 - (-2)} = \frac{1 - 2^{20}}{3} = \frac{1 - 1048576}{3} = \frac{-1048575}{3} = -349525$$

Réponse :
$$S = \boxed{-349525}$$

Calculer les sommes suivantes :

a) $S_1 = 1 + 3 + 9 + 27 + \ldots + 59049$.

C'est une suite géométrique de premier terme $1$ et raison $3$. Le dernier terme est $3^{10} = 59049$ (car $3^{10} = 59049$).

Il y a donc $11$ termes (de $3^0$ à $3^{10}$).

La somme est :
$$S_1 = \frac{1 \times (3^{11} - 1)}{3 - 1} = \frac{177147 - 1}{2} = \frac{177146}{2} = 88573$$

Réponse :
$$S_1 = \boxed{88573}$$

b) $S_2 = 1 + 3 + 5 + \ldots + 999$.

C'est une suite arithmétique de raison $2$. Le nombre de termes est :
$$n = \frac{999 - 1}{2} + 1 = 500$$
La somme est :
$$S_2 = \frac{500 \times (1 + 999)}{2} = 500 \times 500 = 250000$$

Réponse :
$$S_2 = \boxed{250000}$$

Exercice 8

1) Calculer le capital $C_1$ obtenu au bout d'un an.

Le capital augmente de $3\%$ par an :
$$C_1 = C_0 \times (1 + 0,03) = 150000 \times 1,03 = 154500 \text{ F}$$

Réponse :
$$C_1 = \boxed{154500 \text{ F}}$$

2) Calculer le capital $C_7$ obtenu au bout de 7 ans.

Le capital suit une suite géométrique de raison $1,03$:
$$C_7 = C_0 \times (1,03)^7 \approx 150000 \times 1,22987 \approx 184480,50 \text{ F}$$

Le pourcentage d'augmentation sur 7 ans est :
$$(1,03)^7 - 1 \approx 0,22987 \text{ soit } 22,987\%$$

Réponse :
$$C_7 \approx \boxed{184480,50 \text{ F}}, \quad \text{Augmentation d'environ } \boxed{22,99\%}$$

3) Combien d'années faut-il laisser cet argent sur le compte afin d'avoir un capital d'au moins 200 000 F ?

On cherche $n$ tel que :
$$150000 \times (1,03)^n \geq 200000 \implies (1,03)^n \geq \frac{200000}{150000} = \frac{4}{3}$$
En prenant le logarithme :
$$n \ln(1,03) \geq \ln\left(\frac{4}{3}\right) \implies n \geq \frac{\ln(4/3)}{\ln(1,03)} \approx \frac{0,287682}{0,029559} \approx 9,73$$
Il faut donc attendre $10$ ans.

Réponse :
$$n = \boxed{10 \text{ années}}$$