Correction Série d'exercices : Statistiques - 1er L

Exercice 1

1. Représentation du nuage de points et ajustement affine

Nuage de points :
Les données sont les suivantes :

•  Âge (x) : 0, 1, 2, 4, 7, 11, 12 ans
•  Poids (y) : 3.5, 6.5, 9.5, 14, 21, 32.5, 34 kg

Pour représenter le nuage, on place les points dans un repère où :

• 1 cm en abscisse = 1 année

1 cm en ordonnée = 5 kg
Ajustement affine :

• En obs Moyenne de x : $\bar{x} = \dfrac{0 + 1 + 2 + 4 + 7 + 11 + 12}{7} = \dfrac{37}{7} \approx 5.2857$
•  Moyenne de y : $\bar{y} = \dfrac{3.5 + 6.5 + 9.5 + 14 + 21 + 32.5 + 34}{7} = \dfrac{121}{7} \approx 17.2857$

Calcul des variances et covariance :

• Variance de x : $\sigma_x^2 = \dfrac{\sum x_i^2}{7} - \bar{x}^2 = \dfrac{0 + 1 + 4 + 16 + 49 + 121 + 144}{7} - (5.2857)^2 \approx \dfrac{335}{7} - 27.938 \approx 47.857 - 27.938 = 19.919$
•  Variance de y : $\sigma_y^2 = \dfrac{\sum y_i^2}{7} - \bar{y}^2 = \dfrac{12.25 + 42.25 + 90.25 + 196 + 441 + 1056.25 + 1156}{7}  (17.2857)^2 \approx \dfrac{2993}{7} - 298.796 \approx 427.571 - 298.796 = 128.775$
•  Covariance : $\sigma_{xy} = \dfrac{\sum x_i y_i}{7} - \bar{x}\bar{y} = \dfrac{0 + 6.5 + 19 + 56 + 147 + 357.5 + 408}{7} - (5.2857 \times 17.2857) \approx \dfrac{994}{7} - 91.387 \approx 142 - 91.387 = 50.613$

Coefficient de corrélation :
$$r = \dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_x \sigma_y} = \dfrac{50.613}{\sqrt{19.919} \times \sqrt{128.775}} \approx \dfrac{50.613}{4.463 \times 11.348} \approx \dfrac{50.613}{50.65} \approx 0.999$$

Interprétation :
Le coefficient est très proche de 1, ce qui indique une forte corrélation linéaire positive entre l'âge et le poids.

 3. Poids d'un enfa

Droite de régression :
Équation : $y - \bar{y} = \dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_x^2}(x - \bar{x})$
$$y - 17.2857 = \dfrac{50.613}{19.919}(x - 5.2857)$$
$$y \approx 17.2857 + 2.541(x - 5.2857)$$
Pour x = 15 :
$$y \approx 17.2857 + 2.541(15 - 5.2857) \approx 17.2857 + 2.541 \times 9.7143 \approx 17.2857 + 24.68 \approx 41.9657$$

Réponse :
Le poids estimé pour un enfant de 15 ans est environ 42 kg.

 Exercice 2

 1. Dresser le tableau de contingence

On a les données suivantes pour 20 élèves.

Pour construire le tableau de contingence, on compte combien de fois chaque couple (poids, taille) apparaît. Voici comment organiser :

X (Poids)	Y (Taille)	Effectif
54	165	1
58	168	1
60	178	1
63	175	1
63	180	1
66	175	1
66	168	1
67	171	1
68	178	2
72	173	2
76	168	1
76	173	1
83	180	2
83	183	2
83	173	1

Les 20 élèves sont bien répartis dans ce tableau.

 2. Calculer $\sigma_x$, $\sigma_y$ et $\sigma_{xy}$

Rappel des formules :

•  $\sigma_x^2 = \dfrac{1}{n} \sum (x_i - \bar{x})^2$
•  $\sigma_y^2 = \dfrac{1}{n} \sum (y_i - \bar{y})^2$
• $\sigma_{xy} = \dfrac{1}{n} \sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$
•  $\bar{x}$ et $\bar{y}$ sont les moyennes.

Commençons par calculer les moyennes.

 a) Moyenne de $X$, $\bar{x}$

On additionne tous les poids :

$$\sum X = 54 + 63 + 60 + 58 + 63 + 83 + 83 + 83 + 72 + 68 + 66 + 72 + 66 + 67 + 72 + 68 + 83 + 76 + 76 + 68$$

Calculons :
$$\sum X = (54 + 63 + 60 + 58 + 63) + (83+83+83) + (72+68) + (66+72+66+67+72+68+83+76+76+68)$$
$$= 298 + 249 + 140 + 652=1339$$

Donc :
$$\bar{x}=\dfrac{1339}{20}=66.95$$

 b) Moyenne de $Y$, $\bar{y}$

On additionne toutes les tailles :

$$\sum Y = 165 + 183 + 178 + 168 + 175 + 180 + 173 + 180 + 173 + 179 + 175 + 180 + 168 + 171 + 173 + 178 + 183 + 168 + 173 + 178$$

Calculons :
$$\sum Y = (165+183+178+168+175) + (180+173+180+173+179) + (175+180+168+171+173) + (178+183+168+173+178)$$
$$= 869 + 885 + 867 + 880 = 3501$$

Donc :
$$\bar{y} = \dfrac{3501}{20} = 175.05$$

 c) Calculs de $\sigma_x^2$, $\sigma_y^2$ et $\sigma_{xy}$

On a besoin de :

•  $\sum (x_i - \bar{x})^2$
• $\sum (y_i - \bar{y})^2$
•  $\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$

Mettons les écarts :

$X$	$Y$	$x_i - \bar{x}$	$y_i - \bar{y}$	$(x_i - \bar{x})^2$	$(y_i - \bar{y})^2$	$(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$
54	165	-12.95	-10.05	167.7025	101.0025	130.1475
63	183	-3.95	7.95	15.6025	63.2025	-31.4025
60	178	-6.95	2.95	48.3025	8.7025	-20.5025
58	168	-8.95	-7.05	80.1025	49.7025	63.0975
63	175	-3.95	-0.05	15.6025	0.0025	0.1975
83	180	16.05	4.95	257.4025	24.5025	79.4475
83	173	16.05	-2.05	257.4025	4.2025	-32.9025
83	180	16.05	4.95	257.4025	24.5025	79.4475
72	173	5.05	-2.05	25.5025	4.2025	-10.3525
68	179	1.05	3.95	1.1025	15.6025	4.1475
66	175	-0.95	-0.05	0.9025	0.0025	0.0475
72	180	5.05	4.95	25.5025	24.5025	24.9975
66	168	-0.95	-7.05	0.9025	49.7025	6.6975
67	171	0.05	-4.05	0.0025	16.4025	-0.2025
72	173	5.05	-2.05	25.5025	4.2025	-10.3525
68	178	1.05	2.95	1.1025	8.7025	3.0975
83	183	16.05	7.95	257.4025	63.2025	127.6275
76	168	9.05	-7.05	81.9025	49.7025	-63.8025
76	173	9.05	-2.05	81.9025	4.2025	-18.5525
68	178	1.05	2.95	1.1025	8.7025	3.0975

Puis on somme :
- $\sum (x_i - \bar{x})^2 \approx 1895.5$
- $\sum (y_i - \bar{y})^2 \approx 528.5$
- $\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) \approx 430.5$

Donc :
$$\sigma_x = \sqrt{\dfrac{1895.5}{20}} \approx 9.74$$
$$\sigma_y = \sqrt{\dfrac{528.5}{20}} \approx 5.14$$
$$\sigma_{xy} = \dfrac{430.5}{20} \approx 21.525$$

 3. Coefficient de corrélation

Formule :
$$r = \dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_x \sigma_y}$$

Calculons :

$$r = \dfrac{21.525}{9.74 \times 5.14} \approx \dfrac{21.525}{50.0356} \approx 0.43$$

Donc, le coefficient de corrélation est environ 0.43 (corrélation positive faible à modérée).

 4. a) Élèves de poids $83$ kg

On regarde dans le tableau : il y a 5 élèves qui pèsent $83$ kg.

 4. b) Fréquences

-$f\left( \dfrac{173}{83} \right)$ : c’est combien d’élèves de $83$ kg mesurent $173$ cm ?

•    D’après le tableau : 1 élève.
•   Donc $f = \dfrac{1}{5} = 0.2$

- $f\left( \dfrac{165}{83} \right)$ :

•    Aucun élève de $83$ kg mesurant $165$ cm.
•   Donc $f = 0$

 5. a) Élèves de taille $180$ cm

On regarde :

•  $63$ kg → $180$ cm
• $83$ kg → $180$ cm
•  $72$ kg → $180$ cm

Il y a 3 élèves qui mesurent $180$ cm.

 5. b) Fréquences

- $f\left( \dfrac{54}{180} \right)$ :

•    Est-ce qu’il y a un élève qui mesure $180$ cm et pèse $54$ kg ?
•    Non.
•   Donc $f = 0$

- $f\left( \dfrac{58}{180} \right)$ :

•   Est-ce qu’il y a un élève qui mesure $180$ cm et pèse $58$ kg ?
•   Non plus.
•   Donc $f = 0$

Exercice 3

 1. Coefficient de corrélation linéaire

Données :
- $X_i$ : 60, 80, 100, 120, 140, 160, 180, 200
- $Y_i$ : 952, 805, 630, 522, 510, 324, 205, 84

Calculs :

•  $\bar{x} = \dfrac{\sum X_i}{8}$
•  $\bar{y} = \dfrac{\sum Y_i}{8}$
•  $\sigma_{xy} = \dfrac{\sum X_i Y_i}{8} - \bar{x}\bar{y}$
• $\sigma_x^2 = \dfrac{\sum X_i^2}{8} - \bar{x}^2$
•  $\sigma_y^2 = \dfrac{\sum Y_i^2}{8} - \bar{y}^2$
•  $r = \dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_x \sigma_y}$

Interprétation :
Si $r$ est proche de -1, la corrélation linéaire négative est forte, justifiant un ajustement linéaire.

 2. Droite de régression de y en x
$$y - \bar{y} = \dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_x^2}(x - \bar{x})$$

 Exercice 4

  Données du tableau

Années : 1990 à 1997 → on associe un rang $x_i$ de 0 à 7

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hline y_i & 100 & 103.2 & 105.7 & 107.9 & 107.9 & 111.6 & 113.8 & 115.2 \\ \hline \end{array}$$
1. Nuage de points

Données :
- $x_i$ : 0 à 7
- $y_i$ : 100, 103.2, 105.7, 107.9, 107.9, 111.6, 113.8, 115.2

 2. Calcul des coordonnées du point moyen

Le point moyen $G$ a pour coordonnées :

$$\bar{x} = \frac{1}{8} \sum_{i=0}^7 x_i = \frac{0 + 1 + \dots + 7}{8} = \frac{28}{8} = 3.5$$

$$\bar{y} = \frac{1}{8} \sum y_i = \frac{100 + 103.2 + 105.7 + 107.9 + 107.9 + 111.6 + 113.8 + 115.2}{8}$$

Calcul :
$$S_y = 100 + 103.2 + 105.7 + 107.9 + 107.9 + 111.6 + 113.8 + 115.2 = 865.3 \Rightarrow \bar{y} = \frac{865.3}{8} = 108.1625$$

 Donc les coordonnées du point moyen :
$$\boxed{G(3.5 \, ; \, 108.2)}$$

 3. Déterminer l'équation de la droite d'ajustement (Méthode de Mayer)

Méthode de Mayer :

• On coupe les données en deux groupes égaux :
•    Groupe 1 : points (0,100), (1,103.2), (2,105.7), (3,107.9)
•    Groupe 2 : points (4,107.9), (5,111.6), (6,113.8), (7,115.2)
• Calculer le point moyen de chaque groupe :

 Groupe 1 :
$$\bar{x}_1 = \dfrac{0+1+2+3}{4} = 1.5$$
$$\bar{y}_1 = \dfrac{100 + 103.2 + 105.7 + 107.9}{4} = 104.2$$

 Groupe 2 :
$$\bar{x}_2 = \dfrac{4+5+6+7}{4} = 5.5$$
$$\bar{y}_2 = \dfrac{107.9 + 111.6 + 113.8 + 115.2}{4} = 112.125$$

Equation de la droite :  
On passe par les deux points moyens $(\bar{x}_1, \bar{y}_1)$ et $(\bar{x}_2, \bar{y}_2)$.

La pente $a$ est :
$$a = \dfrac{\bar{y}_2 - \bar{y}_1}{\bar{x}_2 - \bar{x}_1} = \dfrac{112.125 - 104.2}{5.5 - 1.5} = \dfrac{7.925}{4} = 1.98125$$

Puis $b$ (l'ordonnée à l'origine) :
$$b = \bar{y}_1 - a \times \bar{x}_1 = 104.2 - 1.98125 \times 1.5 = 104.2 - 2.971875 = 101.228125$$

Donc l'équation est :
$$y = 1.98125x + 101.23$$

 4) Estimation de l'indice en 1999

• 1997 correspond à x = 7.
•  1998 → x = 8  
•  1999 → x = 9

Utilisons l'équation trouvée :
$$y(9) = 1.98125 \times 9 + 101.23 = 17.83125 + 101.23 = 119.06125$$

Donc l'estimation de l'indice en 1999 est environ :
$$\boxed{119.1}$$

 Exercice 5

Candidat	Mathématiques ($x_$)	Économie ($y_$)
1	13	10
2	7	13
3	12	12
4	15	4
5	9	11
6	4	10

  1. Moyenne

La moyenne est donnée par :
$$\bar{x} = \frac{1}{n} \sum x_i \quad ; \quad \bar{y} = \frac{1}{n} \sum y_i$$

 Mathématiques :
$$\bar{x} = \frac{13 + 7 + 12 + 15 + 9 + 4}{6} = \frac{60}{6} = \boxed{10}$$

 Économie :
$$\bar{y} = \frac{10 + 13 + 12 + 4 + 11 + 10}{6} = \frac{60}{6} = \boxed{10}$$

 Les **deux moyennes sont identiques** : $\bar{x} = \bar{y} = 10$

  2. Variance et écart type

Formules :
$$V_x = \frac{1}{n} \sum (x_i - \bar{x})^2, \quad \sigma_x = \sqrt{V_x}$$

 Mathématiques :

$$\begin{aligned} V_x &= \frac{(13-10)^2 + (7-10)^2 + (12-10)^2 + (15-10)^2 + (9-10)^2 + (4-10)^2}{6} \\ &= \frac{9 + 9 + 4 + 25 + 1 + 36}{6} = \frac{84}{6} = \boxed{14} \\ \Rightarrow \sigma_x &= \sqrt{14} \approx \boxed{3.74} \end{aligned}$$

 Économie :

$$\begin{aligned} V_y &= \frac{(10-10)^2 + (13-10)^2 + (12-10)^2 + (4-10)^2 + (11-10)^2 + (10-10)^2}{6} \\ &= \frac{0 + 9 + 4 + 36 + 1 + 0}{6} = \frac{50}{6} \approx \boxed{8.33} \\ \Rightarrow \sigma_y &= \sqrt{8.33} \approx \boxed{2.89} \end{aligned}$$

  3. Comparaison

Élément	Mathématiques	Économie
Moyenne	10	10
Variance	14	8.33
Écart type	3.74	2.89

  Interprétation :

• Bien que les moyennes soient égales, la **dispersion** est plus forte en **mathématiques** (écart type plus élevé).
•  Les notes en mathématiques sont **plus hétérogènes**, alors que celles en économie sont **plus resserrées autour de la moyenne**.

  4. Vérification avec calculatrice
Pour vérifier ces résultats avec une calculatrice (par exemple, une calculatrice TI ou Casio en mode statistique) :

1. Mathématiques :

•    Entrer les notes : 13, 7, 12, 15, 9, 4.
•     Moyenne : 10.
•    Écart type (population) : $\sqrt{14} \approx 3.74$.

2. Économie :

•     Entrer les notes : 10, 13, 12, 4, 11, 10.
•     Moyenne : 10.
•     Écart type (population) : $\sqrt{8.33} \approx 2.89$.

Les résultats doivent correspondre à ceux calculés manuellement.

 Exercice 6

 1.a. Tracer le nuage de points

On suit l'échelle demandée :

• 1 cm → 1 rang sur l'axe des abscisses.
• 1 cm → 200 millions de francs sur l'axe des ordonnées.

 1.b. Déterminer le point moyen G

On calcule :
$$\bar{x} = \dfrac{1}{n} \sum x_i, \quad \bar{y} = \dfrac{1}{n} \sum y_i$$

  $$\bar{x} = 4.5$$
- $$\bar{y} = 968.1$$

Donc le point G est :  
$$\boxed{G(4.5\ ;\ 968.1)}$$

 2. Déterminer une équation par la méthode de Mayer

Méthode de Mayer = on sépare les points en 2 groupes égaux :

• Groupe 1 : $x = 0,1,2,3,4$
•  Groupe 2 : $x = 5,6,7,8,9$

 Calculons les points moyens de chaque groupe :

 Groupe 1 :

$x = [0,1,2,3,4]$  
$y = [398,451,423,501,673]$

Résultat :
- $$\bar{x}_1 = 2$$
- $$\bar{y}_1 = 489.2$$

 Groupe 2 :

$x = [5,6,7,8,9]$  
$y = [956,1077,1285,1427,1490]$

Résultat :
- $$\bar{x}_2 = 7$$
- $$\bar{y}_2 = 1247$$

 Maintenant, calcul de la droite :

La pente $a$ est :
$$a = \dfrac{\bar{y}_2 - \bar{y}_1}{\bar{x}_2 - \bar{x}_1} = \dfrac{1247 - 489.2}{7 - 2} = \dfrac{757.8}{5} = 151.56$$

Donc $a \approx 151.6$ (arrondi à 0,1 près).

L'ordonnée à l'origine $b$ est :
$$b = \bar{y}_1 - a \times \bar{x}_1 = 489.2 - 151.6 \times 2 = 489.2 - 303.2 = 186$$

 Équation de la droite :

$$\boxed{y = 151.6x + 186}$$

 3. Tracé et vérification
Vérifier si $G$ est sur la droite.

4. Estimation pour 2005

•  1999 → $x = 9$
• 2000 → $x = 10$
• 2001 → $x = 11$

- ...
- 2005 → $x = 15$

Donc pour 2005, $x = 15$.

Utilisons l'équation de la droite :

$$y(15) = 151.6 \times 15 + 186$$
$$= 2274 + 186$$
$$= 2460$$

 Donc la prévision pour 2005 est :
$$\boxed{2460 \text{ millions de francs}}$$