Correction Série d'exercices : Fonctions Numériques - 1er L

Exercice 1: Déterminer le domaine de définition des fonctions

 1) $f(x) = \dfrac{2x}{1 - x^{2}}$
Le dénominateur ne doit pas être nul :
$$1 - x^{2} \neq 0 \Leftrightarrow (1-x)(1+x) \neq 0 \Leftrightarrow 1-x\neq 0 \text{ ou } 1+x\neq 0 \Leftrightarrow x \neq 1 \text{ ou } x \neq -1$$
Domaine : $\mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}$ ou $]-\infty, -1[ \cup ]-1, 1[ \cup ]1, +\infty[$

 2) $f(x) = \dfrac{x^{2} - 9}{x^{3} + 2x^{2} - 3x}$
Factorisons le dénominateur :
$$x^{3} + 2x^{2} - 3x = x(x^{2} + 2x - 3) = x(x + 3)(x - 1)$$
Les valeurs interdites sont $x = 0$, $x = -3$, et $x = 1$.
Domaine : $\mathbb{R} \setminus \{-3, 0, 1\}$

 3) $f(x) = \sqrt{x^{2} - 5x + 4}$
L'expression sous la racine doit être positive :
$$x^{2} - 5x + 4 \geq 0$$
Résolvons l'inéquation :
$$x^{2} - 5x + 4 = 0 \implies x = 1 \text{ ou } x = 4$$
Le trinôme est positif à l'extérieur des racines.
Domaine : $]-\infty, 1] \cup [4, +\infty[$

 4) $f(x) = \dfrac{2x + 1}{\sqrt{x^{2} - 4}}$
Le dénominateur doit être strictement positif :

    Pour étudier le signe de l'inéquation $x^2 - 4 > 0$, nous allons suivre les étapes suivantes :

     a. Résoudre l'équation associée :
    $$x^2 - 4 = 0$$  
    $$x^2 = 4$$  
    $$x = \pm 2$$  

    Les racines sont donc $x = -2$ et $x = 2$.

     b. Étudier le signe du trinôme $x^2 - 4$ :
    Le coefficient de $x^2$ est positif ($a = 1 > 0$), donc la parabole est tournée vers le haut.  

    Le trinôme est :

•      négatif entre les racines,
•      positif à l'extérieur des racines.

     c. Tableau de signes :

    

    $$\begin{array}{|c|lcccccr|}     \hline     x&-\infty&&-2&&2&&+\infty\\     \hline     \text{Signe de }x^2 - 4 &&+&|&-&|&+&\\     \hline     \end{array}$$

     d. Solution de l'inéquation $x^2 - 4 > 0$ :
    On cherche où $x^2 - 4$ est strictement positif :

•      Avant $-2$ : $x \in ]-\infty, -2[$
•      Après $2$ : $x \in ]2, +\infty[$

     Conclusion :
    $$\boxed{ \mathcal{S} = \ ]-\infty, -2[ \ \cup \ ]2, +\infty[ }$$

$$x^{2} - 4 > 0 \implies x < -2 \text{ ou } x > 2$$
Domaine : $]-\infty, -2[ \cup ]2, +\infty[$

 5) $f(x) = \dfrac{x - 1}{x^{2} + |x| - 2}$
Le dénominateur ne doit pas s'annuler :
$$x^{2} + |x| - 2 \neq 0$$
Étudions les cas :

•  Si $x \geq 0$ : $x^{2} + x - 2 \neq 0 \implies x \neq 1$ (car $x = -2$ est exclu).
•  Si $x < 0$ : $x^{2} - x - 2 \neq 0 \implies x \neq -1$ (car $x = 2$ est exclu).

Domaine : $\mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}$

 6) $f(x) = \dfrac{x\sqrt{x}}{1 - x}$
Le numérateur impose $x \geq 0$ (car $\sqrt{x}$ est défini pour $x \geq 0$).
Le dénominateur impose $x \neq 1$.
Domaine : $[0, 1[ \cup ]1, +\infty[$

 7) $f(x) = -2x^{3} + 3x^{2} - 5x + 1$
C'est un polynôme, défini sur $\mathbb{R}$.
Domaine : $\mathbb{R}$

 8) $f(x) = \dfrac{2x + 3}{x^{2} - 7x + 6}$
Dénominateur :
$$x^{2} - 7x + 6 = (x - 1)(x - 6) \neq 0 \implies x \neq 1, 6$$
Domaine : $\mathbb{R} \setminus \{1, 6\}$

 9) $f(x) = \sqrt{-5x^{2} + 4x + 1}$
L'expression sous la racine doit être positive :
$$-5x^{2} + 4x + 1 \geq 0$$

    Pour résoudre l'inéquation $-5x^2 + 4x + 1 \geq 0$, nous allons suivre les étapes suivantes :

     a. Résoudre l'équation associée :
    $$-5x^2 + 4x + 1 = 0$$
    Calculons le discriminant $\Delta$ :
    $$\Delta = b^2 - 4ac = 4^2 - 4(-5)(1) = 16 + 20 = 36$$
    Les racines sont :
    $$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-4 \pm 6}{-10}$$
    $$x_1 = \frac{-4 + 6}{-10} = \frac{2}{-10} = -0.2$$
    $$x_2 = \frac{-4 - 6}{-10} = \frac{-10}{-10} = 1$$

     b. Étudier le signe du trinôme $-5x^2 + 4x + 1$ :
    Le coefficient de $x^2$ est négatif ($a = -5 < 0$), donc la parabole est tournée vers le bas.  

    Le trinôme est :
     positif entre les racines,
     négatif à l'extérieur des racines.

     c. Tableau de signes :

    $$\begin{array}{|c|lcccccr|}     \hline     x&-\infty&&-0,2&&1&&+\infty\\     \hline     \text{Signe de }-5x^2 + 4x + 1 &&-&|&+&|&+&\\     \hline     \end{array}$$

     d. Solution de l'inéquation $-5x^2 + 4x + 1 \geq 0$ :
    On cherche où $-5x^2 + 4x + 1$ est positif ou nul :

•      Entre $-0.2$ et $1$ : $x \in [-0.2, 1]$

     Conclusion :
    $$\boxed{ \mathcal{S} = \left[ -0.2, 1 \right] }$$

Le trinôme est positif entre les racines.
Domaine : $[-0.2, 1]$

 10) $f(x) = \dfrac{1 - 2\sqrt{x - 1}}{x - 2}$
Conditions :
1. $x - 1 \geq 0 \implies x \geq 1$,
2. $x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$.
Domaine : $[1, 2[ \cup ]2, +\infty[$

 11) $f(x) = \dfrac{1 - 2x}{x^{2} + 1}$
Le dénominateur $x^{2} + 1$ ne s'annule jamais.
Domaine : $\mathbb{R}$

 12) $f(x) = \sqrt{\dfrac{x - 2}{x + 5}}$
L'expression sous la racine doit être positive :
$$\dfrac{x - 2}{x + 5} \geq 0$$
Étudions le signe :

•  Numérateur : $x - 2 \geq 0 \implies x \geq 2$,
•  Dénominateur : $x + 5 > 0 \implies x > -5$.

Donc :

•    Si $x > -5$ : $\dfrac{x - 2}{x + 5} \geq 0 \implies x \geq 2$,
•    Si $x < -5$ : $\dfrac{x - 2}{x + 5} \geq 0$ (car numérateur et dénominateur sont négatifs).

Domaine : $]-\infty, -5[ \cup [2, +\infty[$

Exercice 2: Étudier la parité des fonctions

 1) $f(x) = \dfrac{1}{(x - 1)^{2}}$
Calculons $f(-x)$ :
$$f(-x) = \dfrac{1}{(-x - 1)^{2}} = \dfrac{1}{(x + 1)^{2}} \neq f(x) \text{ et } \neq -f(x)$$
Conclusion : Ni paire, ni impaire.

 2) $f(x) = \dfrac{1}{x^{2} - 1}$
$$f(-x) = \dfrac{1}{(-x)^{2} - 1} = \dfrac{1}{x^{2} - 1} = f(x)$$
Conclusion : Paire.

 3) $f(x) = \dfrac{x^{3} - 2x}{x^{2} + 1}$
$$f(-x) = \dfrac{(-x)^{3} - 2(-x)}{(-x)^{2} + 1} = \dfrac{-x^{3} + 2x}{x^{2} + 1} = -\dfrac{x^{3} - 2x}{x^{2} + 1} = -f(x)$$
Conclusion : Impaire.

 4) $f(x) = \dfrac{\sqrt{1 - x^{2}} - 1}{x}$
$$f(-x) = \dfrac{\sqrt{1 - (-x)^{2}} - 1}{-x} = \dfrac{\sqrt{1 - x^{2}} - 1}{-x} = -\dfrac{\sqrt{1 - x^{2}} - 1}{x} = -f(x)$$
Conclusion : Impaire.

 5) $f(x) = \sqrt{2x^{2} + 1}$
$$f(-x) = \sqrt{2(-x)^{2} + 1} = \sqrt{2x^{2} + 1} = f(x)$$
Conclusion : Paire.

 6) $f(x) = \sqrt{2x^{2} + |x| - 3}$
$$f(-x) = \sqrt{2(-x)^{2} + |-x| - 3} = \sqrt{2x^{2} + |x| - 3} = f(x)$$
Conclusion : Paire.

 7) $f(x) = \dfrac{|x|}{x^{2} + 1}$
$$f(-x) = \dfrac{|-x|}{(-x)^{2} + 1} = \dfrac{|x|}{x^{2} + 1} = f(x)$$
Conclusion : Paire.

Exercice 3: Montrer que la droite donnée est axe de symétrie pour la fonction

 1) Axe $x = -1$ pour $f(x) = \dfrac{x^{2} + 2x - 2}{2x^{2} + 4x + 3}$
Pour montrer que $x = -1$ est un axe de symétrie, il faut vérifier que :
$$f(-1 + h) = f(-1 - h) \quad \forall h \in \mathbb{R}$$
Calculons :
$$f(-1 + h) = \dfrac{(-1 + h)^{2} + 2(-1 + h) - 2}{2(-1 + h)^{2} + 4(-1 + h) + 3} = \dfrac{1 - 2h + h^{2} - 2 + 2h - 2}{2(1 - 2h + h^{2}) - 4 + 4h + 3} = \dfrac{h^{2} - 3}{2h^{2} + 1}$$
$$f(-1 - h) = \dfrac{(-1 - h)^{2} + 2(-1 - h) - 2}{2(-1 - h)^{2} + 4(-1 - h) + 3} = \dfrac{1 + 2h + h^{2} - 2 - 2h - 2}{2(1 + 2h + h^{2}) - 4 - 4h + 3} = \dfrac{h^{2} - 3}{2h^{2} + 1}$$
On a bien $f(-1 + h) = f(-1 - h)$.
Conclusion : $x = -1$ est un axe de symétrie.

 2) Axe $x = 1$ pour $f(x) = \dfrac{1}{x^{2} + 4x + 3}$
Vérifions $f(1 + h) = f(1 - h)$ :
$$f(1 + h) = \dfrac{1}{(1 + h)^{2} + 4(1 + h) + 3} = \dfrac{1}{1 + 2h + h^{2} + 4 + 4h + 3} = \dfrac{1}{h^{2} + 6h + 8}$$
$$f(1 - h) = \dfrac{1}{(1 - h)^{2} + 4(1 - h) + 3} = \dfrac{1}{1 - 2h + h^{2} + 4 - 4h + 3} = \dfrac{1}{h^{2} - 6h + 8}$$
On n'a pas $f(1 + h) = f(1 - h)$.
Conclusion : $x = 1$ n'est pas un axe de symétrie (il y a peut-être une erreur dans l'énoncé).

Exercice 4: Montrer que le point donné est centre de symétrie pour la fonction

 1) $I\left(2, -\dfrac{2}{3}\right)$ pour $f(x) = \dfrac{2x(x - 3)}{3(x - 1)}$
Pour montrer que $I$ est un centre de symétrie, il faut vérifier que :
$$f(2 + h) + f(2 - h) = 2 \times \left(-\dfrac{2}{3}\right) = -\dfrac{4}{3}$$
Calculons :
$$f(2 + h) = \dfrac{2(2 + h)(2 + h - 3)}{3(2 + h - 1)} = \dfrac{2(2 + h)(h - 1)}{3(h + 1)}$$
$$f(2 - h) = \dfrac{2(2 - h)(2 - h - 3)}{3(2 - h - 1)} = \dfrac{2(2 - h)(-h - 1)}{3(1 - h)} = \dfrac{2(2 - h)(h + 1)}{3(h - 1)}$$
En additionnant :
$$f(2 + h) + f(2 - h) = \dfrac{2(2 + h)(h - 1)}{3(h + 1)} + \dfrac{2(2 - h)(h + 1)}{3(h - 1)}$$
Simplifions :
$$= \dfrac{2}{3} \left[ \dfrac{(2 + h)(h - 1)}{h + 1} + \dfrac{(2 - h)(h + 1)}{h - 1} \right]$$
Mettons au même dénominateur :
$$= \dfrac{2}{3} \left[ \dfrac{(2 + h)(h - 1)^{2} + (2 - h)(h + 1)^{2}}{(h + 1)(h - 1)} \right]$$
Développons :
$$(2 + h)(h^{2} - 2h + 1) = 2h^{2} - 4h + 2 + h^{3} - 2h^{2} + h = h^{3} - 3h + 2$$
$$(2 - h)(h^{2} + 2h + 1) = 2h^{2} + 4h + 2 - h^{3} - 2h^{2} - h = -h^{3} + 3h + 2$$
Ainsi :
$$\text{Numerateur} = (h^{3} - 3h + 2) + (-h^{3} + 3h + 2) = 4$$
Donc :
$$f(2 + h) + f(2 - h) = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{4}{h^{2} - 1}$$
Cette expression n'est pas constante égale à $-\dfrac{4}{3}$.
Conclusion : $I$ n'est pas un centre de symétrie (il y a peut-être une erreur dans l'énoncé ou les calculs).

Exercice 5: Montrer que le point $A$ est centre de symétrie de $\mathcal{C}_{f}$

 a) $f(x) = (x + 1)^{3} + 1$ avec $A = (-1, 1)$
Pour montrer que $A$ est un centre de symétrie, il faut vérifier que :
$$f(-1 + h) + f(-1 - h) = 2 \times 1 = 2$$
Calculons :
$$f(-1 + h) = ((-1 + h) + 1)^{3} + 1 = h^{3} + 1$$
$$f(-1 - h) = ((-1 - h) + 1)^{3} + 1 = (-h)^{3} + 1 = -h^{3} + 1$$
Ainsi :
$$f(-1 + h) + f(-1 - h) = (h^{3} + 1) + (-h^{3} + 1) = 2$$
Conclusion : $A$ est bien un centre de symétrie.

 b) $f(x) = \dfrac{1}{x - 1}$ avec $A = (1, 0)$
Vérifions :
$$f(1 + h) + f(1 - h) = \dfrac{1}{(1 + h) - 1} + \dfrac{1}{(1 - h) - 1} = \dfrac{1}{h} + \dfrac{1}{-h} = 0$$
Or $2 \times 0 = 0$.
Conclusion : $A$ est bien un centre de symétrie.

Exercice 6: Montrer que la droite $(D)$ est axe de symétrie de $\mathcal{C}_{f}$

 a) $f(x) = x^{2} - 4x - 1$ avec $(D): x = 2$
Pour montrer que $x = 2$ est un axe de symétrie, vérifions :
$$f(2 + h) = f(2 - h)$$
Calculons :
$$f(2 + h) = (2 + h)^{2} - 4(2 + h) - 1 = 4 + 4h + h^{2} - 8 - 4h - 1 = h^{2} - 5$$
$$f(2 - h) = (2 - h)^{2} - 4(2 - h) - 1 = 4 - 4h + h^{2} - 8 + 4h - 1 = h^{2} - 5$$
On a bien égalité.
Conclusion : $(D)$ est un axe de symétrie.

 b) $f(x) = \dfrac{1}{x - 1}$ avec $(D): x = 1$
Vérifions :
$$f(1 + h) = \dfrac{1}{(1 + h) - 1} = \dfrac{1}{h}$$
$$f(1 - h) = \dfrac{1}{(1 - h) - 1} = \dfrac{1}{-h} = -\dfrac{1}{h}$$
On n'a pas $f(1 + h) = f(1 - h)$.
Conclusion : $(D)$ n'est pas un axe de symétrie (mais $x = 1$ est une asymptote verticale).

Exercice 7: Calculer les limites

 a) $\lim\limits_{x \to +\infty} (x^{3} - 2x^{2} - 3x - \sqrt{5})$
Le terme dominant est $x^{3}$.
Limite : $+\infty$

 b) $\lim\limits_{x \to -\infty} \left[(3x^{2} + 3x + 1) \times (2x^{3} + 5x)\right]$
Développons :
$$(3x^{2})(2x^{3}) = 6x^{5} \text{ (terme dominant)}$$
Comme $x \to -\infty$, $6x^{5} \to -\infty$.
Limite : $-\infty$

 c) $\lim\limits_{x \to -\infty} \left(2x - 3 + \dfrac{4}{x}\right)$
Le terme dominant est $2x$.
Limite : $-\infty$

 d) $\lim\limits_{x \to +\infty} 3x^{3} \left(1 - \dfrac{1}{x}\right)$
Développons :
$$3x^{3} - 3x^{2}$$
Le terme dominant est $3x^{3}$.
Limite : $+\infty$

 e) $\lim\limits_{x \to -\infty} -\dfrac{1}{2}x^{3}$
Le terme $x^{3} \to -\infty$, donc $-\dfrac{1}{2}x^{3} \to +\infty$.
Limite : $+\infty$

 f) $\lim\limits_{x \to 0} x\sqrt{x}$
Pour $x > 0$ :
$$x\sqrt{x} = x^{3/2} \to 0$$
Limite : $0$

 g) $\lim\limits_{x \to 0} -\dfrac{6}{x^{2}}$
Le dénominateur tend vers $0^{+}$, donc la limite est $-\infty$.
Limite : $-\infty$

 h) $\lim\limits_{x \to +\infty} \left(\dfrac{1}{x} + 2x + 3\right)$
Le terme dominant est $2x$.
Limite : $+\infty$

 i) $\lim\limits_{x \to 0} \left(\dfrac{1}{x} + 3x^{2} - 2\right)$
Le terme $\dfrac{1}{x}$ domine :

•  Si $x \to 0^{+}$, $\dfrac{1}{x} \to +\infty$,
•  Si $x \to 0^{-}$, $\dfrac{1}{x} \to -\infty$.

Limite : Pas de limite globale (dépend du côté).

 j) $\lim\limits_{x \to +\infty} \left(3\sqrt{x} + x^{2}\right)$
Le terme dominant est $x^{2}$.
Limite : $+\infty$

 k) $\lim\limits_{x \to 2} \left(\dfrac{3}{x - 2} + 5x + 7\right)$
Le terme $\dfrac{3}{x - 2}$ tend vers $\pm\infty$ selon le côté :

•  Si $x \to 2^{+}$, $x - 2 \to 0^{+}$, donc $\dfrac{3}{x - 2} \to +\infty$,
•  Si $x \to 2^{-}$, $x - 2 \to 0^{-}$, donc $\dfrac{3}{x - 2} \to -\infty$.

Limite : Pas de limite globale.

 l) $\lim\limits_{x \to -2} \left(\dfrac{-2}{x + 2} + \dfrac{1}{2}\right)$
Le terme $\dfrac{-2}{x + 2}$ tend vers $\pm\infty$ selon le côté :

•  Si $x \to -2^{+}$, $x + 2 \to 0^{+}$, donc $\dfrac{-2}{x + 2} \to -\infty$,
•  Si $x \to -2^{-}$, $x + 2 \to 0^{-}$, donc $\dfrac{-2}{x + 2} \to +\infty$.

Limite : Pas de limite globale.

Exercice 8: Calculer les limites

 1. $\lim\limits_{x \to -\infty} (x^{4} + 2x)$
Le terme dominant est $x^{4}$.
Limite : $+\infty$

 2. $\lim\limits_{x \to +\infty} (x^{3} - x^{4})$
Le terme dominant est $-x^{4}$.
Limite : $-\infty$

 3. $\lim\limits_{x \to +\infty} \left(\dfrac{-3}{x^{2} + 5}\right)$
Le dénominateur tend vers $+\infty$.
Limite : $0$

 4. $\lim\limits_{x \to -\infty} \left(\dfrac{2x^{2} + 5x}{1 - 3x^{2}}\right)$
Simplifions par $x^{2}$ :
$$\dfrac{2 + \dfrac{5}{x}}{\dfrac{1}{x^{2}} - 3}$$
En $-\infty$, les termes en $\dfrac{1}{x}$ tendent vers 0.
Limite : $\dfrac{2}{-3} = -\dfrac{2}{3}$

 5. $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x^{3}}{x^{2} + 3x + 5}$
Simplifions par $x^{3}$ :
$$\dfrac{1}{\dfrac{1}{x} + \dfrac{3}{x^{2}} + \dfrac{5}{x^{3}}}$$
Le dénominateur tend vers 0.
Limite : $+\infty$

 6. $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{3} - 1}{x}$
Directement :
$$\dfrac{0 - 1}{0} \text{ n'existe pas (tend vers } -\infty)$$
Limite : $-\infty$

 7. $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{3 - x}{x^{2} - 2x + 3}$
Calcul direct :
$$\dfrac{3 - 1}{1 - 2 + 3} = \dfrac{2}{2} = 1$$
Limite : $1$

 8. $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x - 1}{\sqrt{x} - 1}$
Forme indéterminée $0/0$. Multiplions par la quantité conjuguée :
$$\dfrac{(x - 1)(\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} = \dfrac{(x - 1)(\sqrt{x} + 1)}{x - 1} = \sqrt{x} + 1 \to 2$$
Limite : $2$

 9. $\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{2 - \sqrt{x}}{4 - x}$
Forme indéterminée $0/0$. Multiplions par la quantité conjuguée :
$$\dfrac{(2 - \sqrt{x})(2 + \sqrt{x})}{(4 - x)(2 + \sqrt{x})} = \dfrac{4 - x}{(4 - x)(2 + \sqrt{x})} = \dfrac{1}{2 + \sqrt{x}} \to \dfrac{1}{4}$$
Limite : $\dfrac{1}{4}$

 10. $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{-x^{3} + x}{x - 1}$
Factorisons :
$$-x^{3} + x = -x(x^{2} - 1) = -x(x - 1)(x + 1)$$
Ainsi :
$$\dfrac{-x(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = -x(x + 1) \to -2$$
Limite : $-2$

 11. $\lim\limits_{x \to -1} \dfrac{2x^{2} + 5x + 3}{2(x + 1)}$
Factorisons le numérateur :
$$2x^{2} + 5x + 3 = (2x + 3)(x + 1)$$
Donc :
$$\dfrac{(2x + 3)(x + 1)}{2(x + 1)} = \dfrac{2x + 3}{2} \to \dfrac{1}{2}$$
Limite : $\dfrac{1}{2}$

 12. $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2} - 3x + 2}{(x - 2)^{2}}$
Factorisons le numérateur :
$$x^{2} - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$$
Donc :
$$\dfrac{(x - 1)(x - 2)}{(x - 2)^{2}} = \dfrac{x - 1}{x - 2}$$
En $x \to 2$ :

•  Si $x \to 2^{+}$, $\dfrac{1}{0^{+}} = +\infty$,
•  Si $x \to 2^{-}$, $\dfrac{1}{0^{-}} = -\infty$.

Limite : Pas de limite globale.

 13. $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x + 2}$
Simplifions :
$$\dfrac{\sqrt{x^{2}(1 - \dfrac{1}{x^{2}})}}{x(1 + \dfrac{2}{x})} = \dfrac{|x|\sqrt{1 - \dfrac{1}{x^{2}}}}{x(1 + \dfrac{2}{x})}$$
Pour $x > 0$, $|x| = x$ :
$$\dfrac{x \sqrt{1 - 0}}{x \times 1} = 1$$
Limite : $1$

 14. $\lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{\sqrt{x^{2} - 1}}{2x}$
Simplifions :
$$\dfrac{|x| \sqrt{1 - \dfrac{1}{x^{2}}}}{2x}$$
Pour $x < 0$, $|x| = -x$ :
$$\dfrac{-x \sqrt{1 - 0}}{2x} = -\dfrac{1}{2}$$
Limite : $-\dfrac{1}{2}$

Exercice 9: Limite en $+\infty$ et asymptote horizontale

a) $f(x) = x + 2\sqrt{x}$
Le terme dominant est $x$.
Limite : $+\infty$
Asymptote : Aucune.

 b) $f(x) = \dfrac{1}{x} - \sqrt{3x}$
Le terme dominant est $-\sqrt{3x}$.
Limite : $-\infty$
Asymptote : Aucune.

 c) $f(x) = \dfrac{-1}{5x^{2} + 1}$
Le dénominateur tend vers $+\infty$.
Limite : $0$
Asymptote : $y = 0$ (asymptote horizontale).

 d) $f(x) = \dfrac{1}{x + 1} - 2$
Le terme $\dfrac{1}{x + 1} \to 0$.
Limite : $-2$
Asymptote : $y = -2$.

 e) $f(x) = \dfrac{\dfrac{1}{x} - 3}{\dfrac{1}{x^{2}} + 1}$
Simplifions :
$$\dfrac{\dfrac{1 - 3x}{x}}{\dfrac{1 + x^{2}}{x^{2}}} = \dfrac{(1 - 3x)x}{1 + x^{2}}$$
En $+\infty$ :
$$\dfrac{-3x^{2} + x}{x^{2} + 1} \sim \dfrac{-3x^{2}}{x^{2}} = -3$$
Limite : $-3$
Asymptote : $y = -3$.

 f) $f(x) = 2x^{3} - x^{2} + 4x + 1$
Le terme dominant est $2x^{3}$.
Limite : $+\infty$
Asymptote : Aucune.