Correction Série d'exercices : Fonctions Numériques - 1er L

Exercice 1: Déterminer le domaine de définition des fonctions

 1) \( f(x) = \dfrac{2x}{1 - x^{2}} \)
Le dénominateur ne doit pas être nul :
\[ 1 - x^{2} \neq 0 \Leftrightarrow (1-x)(1+x) \neq 0 \Leftrightarrow 1-x\neq 0 \text{ ou } 1+x\neq 0 \Leftrightarrow x \neq 1 \text{ ou } x \neq -1 \]
Domaine : \(\mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}\) ou \(]-\infty, -1[ \cup ]-1, 1[ \cup ]1, +\infty[\)

 2) \( f(x) = \dfrac{x^{2} - 9}{x^{3} + 2x^{2} - 3x} \)
Factorisons le dénominateur :
\[ x^{3} + 2x^{2} - 3x = x(x^{2} + 2x - 3) = x(x + 3)(x - 1) \]
Les valeurs interdites sont \(x = 0\), \(x = -3\), et \(x = 1\).
Domaine : \(\mathbb{R} \setminus \{-3, 0, 1\}\)

 3) \( f(x) = \sqrt{x^{2} - 5x + 4} \)
L'expression sous la racine doit être positive :
\[ x^{2} - 5x + 4 \geq 0 \]
Résolvons l'inéquation :
\[ x^{2} - 5x + 4 = 0 \implies x = 1 \text{ ou } x = 4 \]
Le trinôme est positif à l'extérieur des racines.
Domaine : \(]-\infty, 1] \cup [4, +\infty[\)

 4) \( f(x) = \dfrac{2x + 1}{\sqrt{x^{2} - 4}} \)
Le dénominateur doit être strictement positif :

    Pour étudier le signe de l'inéquation \( x^2 - 4 > 0 \), nous allons suivre les étapes suivantes :

     a. Résoudre l'équation associée :
    \[ x^2 - 4 = 0 \]  
    \[ x^2 = 4 \]  
    \[ x = \pm 2 \]  

    Les racines sont donc \( x = -2 \) et \( x = 2 \).

     b. Étudier le signe du trinôme \( x^2 - 4 \) :
    Le coefficient de \( x^2 \) est positif (\( a = 1 > 0 \)), donc la parabole est tournée vers le haut.  

    Le trinôme est :

•      négatif entre les racines,
•      positif à l'extérieur des racines.

     c. Tableau de signes :

    

    $$\begin{array}{|c|lcccccr|}
    \hline
    x&-\infty&&-2&&2&&+\infty\\
    \hline
    \text{Signe de }x^2 - 4 &&+&|&-&|&+&\\
    \hline
    \end{array}$$

     d. Solution de l'inéquation \( x^2 - 4 > 0 \) :
    On cherche où \( x^2 - 4 \) est strictement positif :

•      Avant \(-2\) : \( x \in ]-\infty, -2[ \)
•      Après \( 2 \) : \( x \in ]2, +\infty[ \)

     Conclusion :
    \[
    \boxed{ \mathcal{S} = \ ]-\infty, -2[ \ \cup \ ]2, +\infty[ }
    \]

\[ x^{2} - 4 > 0 \implies x < -2 \text{ ou } x > 2 \]
Domaine : \(]-\infty, -2[ \cup ]2, +\infty[\)

 5) \( f(x) = \dfrac{x - 1}{x^{2} + |x| - 2} \)
Le dénominateur ne doit pas s'annuler :
\[ x^{2} + |x| - 2 \neq 0 \]
Étudions les cas :

•  Si \(x \geq 0\) : \(x^{2} + x - 2 \neq 0 \implies x \neq 1\) (car \(x = -2\) est exclu).
•  Si \(x < 0\) : \(x^{2} - x - 2 \neq 0 \implies x \neq -1\) (car \(x = 2\) est exclu).

Domaine : \(\mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}\)

 6) \( f(x) = \dfrac{x\sqrt{x}}{1 - x} \)
Le numérateur impose \(x \geq 0\) (car \(\sqrt{x}\) est défini pour \(x \geq 0\)).
Le dénominateur impose \(x \neq 1\).
Domaine : \([0, 1[ \cup ]1, +\infty[\)

 7) \( f(x) = -2x^{3} + 3x^{2} - 5x + 1 \)
C'est un polynôme, défini sur \(\mathbb{R}\).
Domaine : \(\mathbb{R}\)

 8) \( f(x) = \dfrac{2x + 3}{x^{2} - 7x + 6} \)
Dénominateur :
\[ x^{2} - 7x + 6 = (x - 1)(x - 6) \neq 0 \implies x \neq 1, 6 \]
Domaine : \(\mathbb{R} \setminus \{1, 6\}\)

 9) \( f(x) = \sqrt{-5x^{2} + 4x + 1} \)
L'expression sous la racine doit être positive :
\[ -5x^{2} + 4x + 1 \geq 0 \]

    Pour résoudre l'inéquation \(-5x^2 + 4x + 1 \geq 0\), nous allons suivre les étapes suivantes :

     a. Résoudre l'équation associée :
    \[
    -5x^2 + 4x + 1 = 0
    \]
    Calculons le discriminant \(\Delta\) :
    \[
    \Delta = b^2 - 4ac = 4^2 - 4(-5)(1) = 16 + 20 = 36
    \]
    Les racines sont :
    \[
    x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-4 \pm 6}{-10}
    \]
    \[
    x_1 = \frac{-4 + 6}{-10} = \frac{2}{-10} = -0.2
    \]
    \[
    x_2 = \frac{-4 - 6}{-10} = \frac{-10}{-10} = 1
    \]

     b. Étudier le signe du trinôme \(-5x^2 + 4x + 1\) :
    Le coefficient de \(x^2\) est négatif (\(a = -5 < 0\)), donc la parabole est tournée vers le bas.  

    Le trinôme est :
     positif entre les racines,
     négatif à l'extérieur des racines.

     c. Tableau de signes :

    $$\begin{array}{|c|lcccccr|}
    \hline
    x&-\infty&&-0,2&&1&&+\infty\\
    \hline
    \text{Signe de }-5x^2 + 4x + 1 &&-&|&+&|&+&\\
    \hline
    \end{array}$$

     d. Solution de l'inéquation \(-5x^2 + 4x + 1 \geq 0\) :
    On cherche où \(-5x^2 + 4x + 1\) est positif ou nul :

•      Entre \(-0.2\) et \(1\) : \( x \in [-0.2, 1] \)

     Conclusion :
    \[
    \boxed{ \mathcal{S} = \left[ -0.2, 1 \right] }
    \]

Le trinôme est positif entre les racines.
Domaine : \([-0.2, 1]\)

 10) \( f(x) = \dfrac{1 - 2\sqrt{x - 1}}{x - 2} \)
Conditions :
1. \(x - 1 \geq 0 \implies x \geq 1\),
2. \(x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2\).
Domaine : \([1, 2[ \cup ]2, +\infty[\)

 11) \( f(x) = \dfrac{1 - 2x}{x^{2} + 1} \)
Le dénominateur \(x^{2} + 1\) ne s'annule jamais.
Domaine : \(\mathbb{R}\)

 12) \( f(x) = \sqrt{\dfrac{x - 2}{x + 5}} \)
L'expression sous la racine doit être positive :
\[ \dfrac{x - 2}{x + 5} \geq 0 \]
Étudions le signe :

•  Numérateur : \(x - 2 \geq 0 \implies x \geq 2\),
•  Dénominateur : \(x + 5 > 0 \implies x > -5\).

Donc :

•    Si \(x > -5\) : \(\dfrac{x - 2}{x + 5} \geq 0 \implies x \geq 2\),
•    Si \(x < -5\) : \(\dfrac{x - 2}{x + 5} \geq 0\) (car numérateur et dénominateur sont négatifs).

Domaine : \(]-\infty, -5[ \cup [2, +\infty[\)

Exercice 2: Étudier la parité des fonctions

 1) \( f(x) = \dfrac{1}{(x - 1)^{2}} \)
Calculons \(f(-x)\) :
\[ f(-x) = \dfrac{1}{(-x - 1)^{2}} = \dfrac{1}{(x + 1)^{2}} \neq f(x) \text{ et } \neq -f(x) \]
Conclusion : Ni paire, ni impaire.

 2) \( f(x) = \dfrac{1}{x^{2} - 1} \)
\[ f(-x) = \dfrac{1}{(-x)^{2} - 1} = \dfrac{1}{x^{2} - 1} = f(x) \]
Conclusion : Paire.

 3) \( f(x) = \dfrac{x^{3} - 2x}{x^{2} + 1} \)
\[ f(-x) = \dfrac{(-x)^{3} - 2(-x)}{(-x)^{2} + 1} = \dfrac{-x^{3} + 2x}{x^{2} + 1} = -\dfrac{x^{3} - 2x}{x^{2} + 1} = -f(x) \]
Conclusion : Impaire.

 4) \( f(x) = \dfrac{\sqrt{1 - x^{2}} - 1}{x} \)
\[ f(-x) = \dfrac{\sqrt{1 - (-x)^{2}} - 1}{-x} = \dfrac{\sqrt{1 - x^{2}} - 1}{-x} = -\dfrac{\sqrt{1 - x^{2}} - 1}{x} = -f(x) \]
Conclusion : Impaire.

 5) \( f(x) = \sqrt{2x^{2} + 1} \)
\[ f(-x) = \sqrt{2(-x)^{2} + 1} = \sqrt{2x^{2} + 1} = f(x) \]
Conclusion : Paire.

 6) \( f(x) = \sqrt{2x^{2} + |x| - 3} \)
\[ f(-x) = \sqrt{2(-x)^{2} + |-x| - 3} = \sqrt{2x^{2} + |x| - 3} = f(x) \]
Conclusion : Paire.

 7) \( f(x) = \dfrac{|x|}{x^{2} + 1} \)
\[ f(-x) = \dfrac{|-x|}{(-x)^{2} + 1} = \dfrac{|x|}{x^{2} + 1} = f(x) \]
Conclusion : Paire.

Exercice 3: Montrer que la droite donnée est axe de symétrie pour la fonction

 1) Axe \(x = -1\) pour \( f(x) = \dfrac{x^{2} + 2x - 2}{2x^{2} + 4x + 3} \)
Pour montrer que \(x = -1\) est un axe de symétrie, il faut vérifier que :
\[ f(-1 + h) = f(-1 - h) \quad \forall h \in \mathbb{R} \]
Calculons :
\[ f(-1 + h) = \dfrac{(-1 + h)^{2} + 2(-1 + h) - 2}{2(-1 + h)^{2} + 4(-1 + h) + 3} = \dfrac{1 - 2h + h^{2} - 2 + 2h - 2}{2(1 - 2h + h^{2}) - 4 + 4h + 3} = \dfrac{h^{2} - 3}{2h^{2} + 1} \]
\[ f(-1 - h) = \dfrac{(-1 - h)^{2} + 2(-1 - h) - 2}{2(-1 - h)^{2} + 4(-1 - h) + 3} = \dfrac{1 + 2h + h^{2} - 2 - 2h - 2}{2(1 + 2h + h^{2}) - 4 - 4h + 3} = \dfrac{h^{2} - 3}{2h^{2} + 1} \]
On a bien \(f(-1 + h) = f(-1 - h)\).
Conclusion : \(x = -1\) est un axe de symétrie.

 2) Axe \(x = 1\) pour \( f(x) = \dfrac{1}{x^{2} + 4x + 3} \)
Vérifions \(f(1 + h) = f(1 - h)\) :
\[ f(1 + h) = \dfrac{1}{(1 + h)^{2} + 4(1 + h) + 3} = \dfrac{1}{1 + 2h + h^{2} + 4 + 4h + 3} = \dfrac{1}{h^{2} + 6h + 8} \]
\[ f(1 - h) = \dfrac{1}{(1 - h)^{2} + 4(1 - h) + 3} = \dfrac{1}{1 - 2h + h^{2} + 4 - 4h + 3} = \dfrac{1}{h^{2} - 6h + 8} \]
On n'a pas \(f(1 + h) = f(1 - h)\).
Conclusion : \(x = 1\) n'est pas un axe de symétrie (il y a peut-être une erreur dans l'énoncé).

Exercice 4: Montrer que le point donné est centre de symétrie pour la fonction

 1) \( I\left(2, -\dfrac{2}{3}\right) \) pour \( f(x) = \dfrac{2x(x - 3)}{3(x - 1)} \)
Pour montrer que \(I\) est un centre de symétrie, il faut vérifier que :
\[ f(2 + h) + f(2 - h) = 2 \times \left(-\dfrac{2}{3}\right) = -\dfrac{4}{3} \]
Calculons :
\[ f(2 + h) = \dfrac{2(2 + h)(2 + h - 3)}{3(2 + h - 1)} = \dfrac{2(2 + h)(h - 1)}{3(h + 1)} \]
\[ f(2 - h) = \dfrac{2(2 - h)(2 - h - 3)}{3(2 - h - 1)} = \dfrac{2(2 - h)(-h - 1)}{3(1 - h)} = \dfrac{2(2 - h)(h + 1)}{3(h - 1)} \]
En additionnant :
\[ f(2 + h) + f(2 - h) = \dfrac{2(2 + h)(h - 1)}{3(h + 1)} + \dfrac{2(2 - h)(h + 1)}{3(h - 1)} \]
Simplifions :
\[ = \dfrac{2}{3} \left[ \dfrac{(2 + h)(h - 1)}{h + 1} + \dfrac{(2 - h)(h + 1)}{h - 1} \right] \]
Mettons au même dénominateur :
\[ = \dfrac{2}{3} \left[ \dfrac{(2 + h)(h - 1)^{2} + (2 - h)(h + 1)^{2}}{(h + 1)(h - 1)} \right] \]
Développons :
\[ (2 + h)(h^{2} - 2h + 1) = 2h^{2} - 4h + 2 + h^{3} - 2h^{2} + h = h^{3} - 3h + 2 \]
\[ (2 - h)(h^{2} + 2h + 1) = 2h^{2} + 4h + 2 - h^{3} - 2h^{2} - h = -h^{3} + 3h + 2 \]
Ainsi :
\[ \text{Numerateur} = (h^{3} - 3h + 2) + (-h^{3} + 3h + 2) = 4 \]
Donc :
\[ f(2 + h) + f(2 - h) = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{4}{h^{2} - 1} \]
Cette expression n'est pas constante égale à \(-\dfrac{4}{3}\).
Conclusion : \(I\) n'est pas un centre de symétrie (il y a peut-être une erreur dans l'énoncé ou les calculs).

Exercice 5: Montrer que le point \(A\) est centre de symétrie de \(\mathcal{C}_{f}\)

 a) \( f(x) = (x + 1)^{3} + 1 \) avec \(A = (-1, 1)\)
Pour montrer que \(A\) est un centre de symétrie, il faut vérifier que :
\[ f(-1 + h) + f(-1 - h) = 2 \times 1 = 2 \]
Calculons :
\[ f(-1 + h) = ((-1 + h) + 1)^{3} + 1 = h^{3} + 1 \]
\[ f(-1 - h) = ((-1 - h) + 1)^{3} + 1 = (-h)^{3} + 1 = -h^{3} + 1 \]
Ainsi :
\[ f(-1 + h) + f(-1 - h) = (h^{3} + 1) + (-h^{3} + 1) = 2 \]
Conclusion : \(A\) est bien un centre de symétrie.

 b) \( f(x) = \dfrac{1}{x - 1} \) avec \(A = (1, 0)\)
Vérifions :
\[ f(1 + h) + f(1 - h) = \dfrac{1}{(1 + h) - 1} + \dfrac{1}{(1 - h) - 1} = \dfrac{1}{h} + \dfrac{1}{-h} = 0 \]
Or \(2 \times 0 = 0\).
Conclusion : \(A\) est bien un centre de symétrie.

Exercice 6: Montrer que la droite \((D)\) est axe de symétrie de \(\mathcal{C}_{f}\)

 a) \( f(x) = x^{2} - 4x - 1 \) avec \((D): x = 2\)
Pour montrer que \(x = 2\) est un axe de symétrie, vérifions :
\[ f(2 + h) = f(2 - h) \]
Calculons :
\[ f(2 + h) = (2 + h)^{2} - 4(2 + h) - 1 = 4 + 4h + h^{2} - 8 - 4h - 1 = h^{2} - 5 \]
\[ f(2 - h) = (2 - h)^{2} - 4(2 - h) - 1 = 4 - 4h + h^{2} - 8 + 4h - 1 = h^{2} - 5 \]
On a bien égalité.
Conclusion : \((D)\) est un axe de symétrie.

 b) \( f(x) = \dfrac{1}{x - 1} \) avec \((D): x = 1\)
Vérifions :
\[ f(1 + h) = \dfrac{1}{(1 + h) - 1} = \dfrac{1}{h} \]
\[ f(1 - h) = \dfrac{1}{(1 - h) - 1} = \dfrac{1}{-h} = -\dfrac{1}{h} \]
On n'a pas \(f(1 + h) = f(1 - h)\).
Conclusion : \((D)\) n'est pas un axe de symétrie (mais \(x = 1\) est une asymptote verticale).

Exercice 7: Calculer les limites

 a) \(\lim\limits_{x \to +\infty} (x^{3} - 2x^{2} - 3x - \sqrt{5})\)
Le terme dominant est \(x^{3}\).
Limite : \(+\infty\)

 b) \(\lim\limits_{x \to -\infty} \left[(3x^{2} + 3x + 1) \times (2x^{3} + 5x)\right]\)
Développons :
\[ (3x^{2})(2x^{3}) = 6x^{5} \text{ (terme dominant)} \]
Comme \(x \to -\infty\), \(6x^{5} \to -\infty\).
Limite : \(-\infty\)

 c) \(\lim\limits_{x \to -\infty} \left(2x - 3 + \dfrac{4}{x}\right)\)
Le terme dominant est \(2x\).
Limite : \(-\infty\)

 d) \(\lim\limits_{x \to +\infty} 3x^{3} \left(1 - \dfrac{1}{x}\right)\)
Développons :
\[ 3x^{3} - 3x^{2} \]
Le terme dominant est \(3x^{3}\).
Limite : \(+\infty\)

 e) \(\lim\limits_{x \to -\infty} -\dfrac{1}{2}x^{3}\)
Le terme \(x^{3} \to -\infty\), donc \(-\dfrac{1}{2}x^{3} \to +\infty\).
Limite : \(+\infty\)

 f) \(\lim\limits_{x \to 0} x\sqrt{x}\)
Pour \(x > 0\) :
\[ x\sqrt{x} = x^{3/2} \to 0 \]
Limite : \(0\)

 g) \(\lim\limits_{x \to 0} -\dfrac{6}{x^{2}}\)
Le dénominateur tend vers \(0^{+}\), donc la limite est \(-\infty\).
Limite : \(-\infty\)

 h) \(\lim\limits_{x \to +\infty} \left(\dfrac{1}{x} + 2x + 3\right)\)
Le terme dominant est \(2x\).
Limite : \(+\infty\)

 i) \(\lim\limits_{x \to 0} \left(\dfrac{1}{x} + 3x^{2} - 2\right)\)
Le terme \(\dfrac{1}{x}\) domine :

•  Si \(x \to 0^{+}\), \(\dfrac{1}{x} \to +\infty\),
•  Si \(x \to 0^{-}\), \(\dfrac{1}{x} \to -\infty\).

Limite : Pas de limite globale (dépend du côté).

 j) \(\lim\limits_{x \to +\infty} \left(3\sqrt{x} + x^{2}\right)\)
Le terme dominant est \(x^{2}\).
Limite : \(+\infty\)

 k) \(\lim\limits_{x \to 2} \left(\dfrac{3}{x - 2} + 5x + 7\right)\)
Le terme \(\dfrac{3}{x - 2}\) tend vers \(\pm\infty\) selon le côté :

•  Si \(x \to 2^{+}\), \(x - 2 \to 0^{+}\), donc \(\dfrac{3}{x - 2} \to +\infty\),
•  Si \(x \to 2^{-}\), \(x - 2 \to 0^{-}\), donc \(\dfrac{3}{x - 2} \to -\infty\).

Limite : Pas de limite globale.

 l) \(\lim\limits_{x \to -2} \left(\dfrac{-2}{x + 2} + \dfrac{1}{2}\right)\)
Le terme \(\dfrac{-2}{x + 2}\) tend vers \(\pm\infty\) selon le côté :

•  Si \(x \to -2^{+}\), \(x + 2 \to 0^{+}\), donc \(\dfrac{-2}{x + 2} \to -\infty\),
•  Si \(x \to -2^{-}\), \(x + 2 \to 0^{-}\), donc \(\dfrac{-2}{x + 2} \to +\infty\).

Limite : Pas de limite globale.

Exercice 8: Calculer les limites

 1. \(\lim\limits_{x \to -\infty} (x^{4} + 2x)\)
Le terme dominant est \(x^{4}\).
Limite : \(+\infty\)

 2. \(\lim\limits_{x \to +\infty} (x^{3} - x^{4})\)
Le terme dominant est \(-x^{4}\).
Limite : \(-\infty\)

 3. \(\lim\limits_{x \to +\infty} \left(\dfrac{-3}{x^{2} + 5}\right)\)
Le dénominateur tend vers \(+\infty\).
Limite : \(0\)

 4. \(\lim\limits_{x \to -\infty} \left(\dfrac{2x^{2} + 5x}{1 - 3x^{2}}\right)\)
Simplifions par \(x^{2}\) :
\[ \dfrac{2 + \dfrac{5}{x}}{\dfrac{1}{x^{2}} - 3} \]
En \(-\infty\), les termes en \(\dfrac{1}{x}\) tendent vers 0.
Limite : \(\dfrac{2}{-3} = -\dfrac{2}{3}\)

 5. \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x^{3}}{x^{2} + 3x + 5}\)
Simplifions par \(x^{3}\) :
\[ \dfrac{1}{\dfrac{1}{x} + \dfrac{3}{x^{2}} + \dfrac{5}{x^{3}}} \]
Le dénominateur tend vers 0.
Limite : \(+\infty\)

 6. \(\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{3} - 1}{x}\)
Directement :
\[ \dfrac{0 - 1}{0} \text{ n'existe pas (tend vers } -\infty) \]
Limite : \(-\infty\)

 7. \(\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{3 - x}{x^{2} - 2x + 3}\)
Calcul direct :
\[ \dfrac{3 - 1}{1 - 2 + 3} = \dfrac{2}{2} = 1 \]
Limite : \(1\)

 8. \(\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x - 1}{\sqrt{x} - 1}\)
Forme indéterminée \(0/0\). Multiplions par la quantité conjuguée :
\[ \dfrac{(x - 1)(\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} = \dfrac{(x - 1)(\sqrt{x} + 1)}{x - 1} = \sqrt{x} + 1 \to 2 \]
Limite : \(2\)

 9. \(\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{2 - \sqrt{x}}{4 - x}\)
Forme indéterminée \(0/0\). Multiplions par la quantité conjuguée :
\[ \dfrac{(2 - \sqrt{x})(2 + \sqrt{x})}{(4 - x)(2 + \sqrt{x})} = \dfrac{4 - x}{(4 - x)(2 + \sqrt{x})} = \dfrac{1}{2 + \sqrt{x}} \to \dfrac{1}{4} \]
Limite : \(\dfrac{1}{4}\)

 10. \(\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{-x^{3} + x}{x - 1}\)
Factorisons :
\[ -x^{3} + x = -x(x^{2} - 1) = -x(x - 1)(x + 1) \]
Ainsi :
\[ \dfrac{-x(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = -x(x + 1) \to -2 \]
Limite : \(-2\)

 11. \(\lim\limits_{x \to -1} \dfrac{2x^{2} + 5x + 3}{2(x + 1)}\)
Factorisons le numérateur :
\[ 2x^{2} + 5x + 3 = (2x + 3)(x + 1) \]
Donc :
\[ \dfrac{(2x + 3)(x + 1)}{2(x + 1)} = \dfrac{2x + 3}{2} \to \dfrac{1}{2} \]
Limite : \(\dfrac{1}{2}\)

 12. \(\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2} - 3x + 2}{(x - 2)^{2}}\)
Factorisons le numérateur :
\[ x^{2} - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) \]
Donc :
\[ \dfrac{(x - 1)(x - 2)}{(x - 2)^{2}} = \dfrac{x - 1}{x - 2} \]
En \(x \to 2\) :

•  Si \(x \to 2^{+}\), \(\dfrac{1}{0^{+}} = +\infty\),
•  Si \(x \to 2^{-}\), \(\dfrac{1}{0^{-}} = -\infty\).

Limite : Pas de limite globale.

 13. \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x + 2}\)
Simplifions :
\[ \dfrac{\sqrt{x^{2}(1 - \dfrac{1}{x^{2}})}}{x(1 + \dfrac{2}{x})} = \dfrac{|x|\sqrt{1 - \dfrac{1}{x^{2}}}}{x(1 + \dfrac{2}{x})} \]
Pour \(x > 0\), \(|x| = x\) :
\[ \dfrac{x \sqrt{1 - 0}}{x \times 1} = 1 \]
Limite : \(1\)

 14. \(\lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{\sqrt{x^{2} - 1}}{2x}\)
Simplifions :
\[ \dfrac{|x| \sqrt{1 - \dfrac{1}{x^{2}}}}{2x} \]
Pour \(x < 0\), \(|x| = -x\) :
\[ \dfrac{-x \sqrt{1 - 0}}{2x} = -\dfrac{1}{2} \]
Limite : \(-\dfrac{1}{2}\)

Exercice 9: Limite en \(+\infty\) et asymptote horizontale

a) \( f(x) = x + 2\sqrt{x} \)
Le terme dominant est \(x\).
Limite : \(+\infty\)
Asymptote : Aucune.

 b) \( f(x) = \dfrac{1}{x} - \sqrt{3x} \)
Le terme dominant est \(-\sqrt{3x}\).
Limite : \(-\infty\)
Asymptote : Aucune.

 c) \( f(x) = \dfrac{-1}{5x^{2} + 1} \)
Le dénominateur tend vers \(+\infty\).
Limite : \(0\)
Asymptote : \(y = 0\) (asymptote horizontale).

 d) \( f(x) = \dfrac{1}{x + 1} - 2 \)
Le terme \(\dfrac{1}{x + 1} \to 0\).
Limite : \(-2\)
Asymptote : \(y = -2\).

 e) \( f(x) = \dfrac{\dfrac{1}{x} - 3}{\dfrac{1}{x^{2}} + 1} \)
Simplifions :
\[ \dfrac{\dfrac{1 - 3x}{x}}{\dfrac{1 + x^{2}}{x^{2}}} = \dfrac{(1 - 3x)x}{1 + x^{2}} \]
En \(+\infty\) :
\[ \dfrac{-3x^{2} + x}{x^{2} + 1} \sim \dfrac{-3x^{2}}{x^{2}} = -3 \]
Limite : \(-3\)
Asymptote : \(y = -3\).

 f) \( f(x) = 2x^{3} - x^{2} + 4x + 1 \)
Le terme dominant est \(2x^{3}\).
Limite : \(+\infty\)
Asymptote : Aucune.