Correction Série d'exercices : Étude de fonction - 1er L

Exercice 1

 1) a) Vérifier que $-2$ est une racine du polynôme $P$ et factoriser $P(x)$

Étape 1 : Vérification de la racine

On a $P(x) = -3x^3 - x^2 + 8x - 4$.

Pour vérifier que $-2$ est une racine, on calcule $P(-2)$ :
$$P(-2) = -3(-2)^3 - (-2)^2 + 8(-2) - 4 = -3(-8) - 4 - 16 - 4 = 24 - 4 - 16 - 4 = 0$$
Comme $P(-2) = 0$, $-2$ est bien une racine de $P$.

Étape 2 : Factorisation

Puisque $-2$ est une racine, on peut factoriser $P(x)$ par $(x + 2)$. Effectuons la division polynomiale ou utilisons la méthode de Horner.

Division polynomiale :

Divisons $P(x)$ par $(x + 2)$ :

1. $-3x^3 - x^2 + 8x - 4$ divisé par $x + 2$.

• Premier terme : $-3x^3 / x = -3x^2$
• Multiplier : $-3x^2 \times (x + 2) = -3x^3 - 6x^2$
• Soustraire : $(-3x^3 - x^2) - (-3x^3 - 6x^2) = 5x^2$
•  Descendre $8x$ : $5x^2 + 8x$

2. $5x^2 / x = 5x$

•  Multiplier : $5x \times (x + 2) = 5x^2 + 10x$
•  Soustraire : $(5x^2 + 8x) - (5x^2 + 10x) = -2x$
•  Descendre $-4$ : $-2x - 4$

3. $-2x / x = -2$

•  Multiplier : $-2 \times (x + 2) = -2x - 4$
•  Soustraire : $(-2x - 4) - (-2x - 4) = 0$

Donc :
$$P(x) = (x + 2)(-3x^2 + 5x - 2)$$

Factorisation du trinôme :

Factorisons $-3x^2 + 5x - 2$ :
$$-3x^2 + 5x - 2 = - (3x^2 - 5x + 2)$$
Recherche des racines :
$$\Delta = 25 - 24 = 1 \Rightarrow x = \frac{5 \pm 1}{6}$$
Donc $x_1 = 1$ et $x_2 = \frac{2}{3}$.

Ainsi :
$$-3x^2 + 5x - 2 = -3(x - 1)(x - \frac{2}{3}) = - (x - 1)(3x - 2)$$

Finalement :
$$P(x) = (x + 2)(- (x - 1)(3x - 2)) = - (x + 2)(x - 1)(3x - 2)$$

 b) Résoudre $P(x) = 0$ puis $P(x) \leq 0$

Équation $P(x) = 0$ :
$$- (x + 2)(x - 1)(3x - 2) = 0 \Rightarrow x = -2, x = 1, x = \frac{2}{3}$$

Inéquation $P(x) \leq 0$ :

Multiplions par $-1$ (en changeant le sens de l'inégalité) :
$$(x + 2)(x - 1)(3x - 2) \geq 0$$

Étudions le signe du produit :

•  Racines : $-2$, $\frac{2}{3}$, $1$
•  Tableau de signes :

$$\begin{array}{|c|lcccccr|}     \hline     x&-\infty&&-2&&\frac{2}{3}&&1&&+\infty\\     \hline     \text{Signe de }x + 2 &&-&|&+&|&+&|&+&\\     \hline     \text{Signe de }3x - 2 &&-&|&-&|&+&|&+&\\     \hline     \text{Signe de }x - 1 &&-&|&-&|&-&|&+&\\     \hline     \text{Signe de }(x + 2)(x - 1)(3x - 2) &&-&|&+&|&-&|&+&\\     \hline     \end{array}$$

Solution : $x \in [-2, \frac{2}{3}] \cup [1, +\infty[$

Exercice 2

 1) Calculer $P(3)$ et factoriser $P(x)$

Calcul de $P(3)$ :
$$P(3) = 6 \times 27 - 17 \times 9 - 3 - 6 = 162 - 153 - 3 - 6 = 0$$
Donc $3$ est une racine.

Factorisation :

Divisons $P(x)$ par $(x - 3)$ :

1. $6x^3 - 17x^2 - x - 6$ divisé par $x - 3$.

•  Premier terme : $6x^3 / x = 6x^2$
•  Multiplier : $6x^2 \times (x - 3) = 6x^3 - 18x^2$
•  Soustraire : $(6x^3 - 17x^2) - (6x^3 - 18x^2) = x^2$
•  Descendre $-x$ : $x^2 - x$

2. $x^2 / x = x$

•  Multiplier : $x \times (x - 3) = x^2 - 3x$
•  Soustraire : $(x^2 - x) - (x^2 - 3x) = 2x$
•  Descendre $-6$ : $2x - 6$

3. $2x / x = 2$

•  Multiplier : $2 \times (x - 3) = 2x - 6$
•  Soustraire : $(2x - 6) - (2x - 6) = 0$

Donc :
$$P(x) = (x - 3)(6x^2 + x + 2)$$

Factorisation complète :

Le discriminant de $6x^2 + x + 2$ est :
$$\Delta = 1 - 48 = -47 < 0$$
Donc pas de factorisation réelle supplémentaire.

 2) Résoudre $P(x) = 0$ et $P(x) \leq 0$

Équation $P(x) = 0$ :
$$(x - 3)(6x^2 + x + 2) = 0 \Rightarrow x = 3$$

Inéquation $P(x) \leq 0$ :

Le trinôme $6x^2 + x + 2$ est toujours positif ($\Delta < 0$ et coefficient dominant positif). Donc :
$$(x - 3) \times \text{positif} \leq 0 \Rightarrow x - 3 \leq 0 \Rightarrow x \leq 3$$

 3) Domaine de définition et simplification de $f(x)$

$$f(x) = \frac{P(x)}{x^2 - 5x + 6} = \frac{(x - 3)(6x^2 + x + 2)}{(x - 2)(x - 3)}$$

Domaine de définition :
Le dénominateur ne doit pas s'annuler :
$$x^2 - 5x + 6 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2 \text{ et } x \neq 3$$

Simplification :
$$f(x) = \frac{6x^2 + x + 2}{x - 2} \quad \text{pour } x \neq 3$$

Exercice 3

 1) a) Calculer $f(1)$ et factoriser $f(x)$

Calcul de $f(1)$ :
$$f(1) = 1 + 1 - 2 = 0$$

Factorisation :

Divisons $f(x) = x^3 + x - 2$ par $(x - 1)$ :

1. $x^3 + 0x^2 + x - 2$ divisé par $x - 1$.

•  Premier terme : $x^3 / x = x^2$
• Multiplier : $x^2 \times (x - 1) = x^3 - x^2$
•  Soustraire : $(x^3 + 0x^2) - (x^3 - x^2) = x^2$
• Descendre $x$ : $x^2 + x$

2. $x^2 / x = x$

•  Multiplier : $x \times (x - 1) = x^2 - x$
•  Soustraire : $(x^2 + x) - (x^2 - x) = 2x$
•  Descendre $-2$ : $2x - 2$

3. $2x / x = 2$

•  Multiplier : $2 \times (x - 1) = 2x - 2$
• Soustraire : $(2x - 2) - (2x - 2) = 0$

Donc :
$$f(x) = (x - 1)(x^2 + x + 2)$$

Factorisation complète :

Le discriminant de $x^2 + x + 2$ est :
$$\Delta = 1 - 8 = -7 < 0$$
Donc pas de factorisation réelle supplémentaire.

 b) Résoudre $f(x) = 0$

$$(x - 1)(x^2 + x + 2) = 0 \Rightarrow x = 1$$

Exercice 4

 1) Calculer $P(2)$ et factoriser $P(x)$

Calcul de $P(2)$ :
$$P(2) = -16 + 4 + 16 - 4 = 0$$

Factorisation :

Divisons $P(x) = -2x^3 + x^2 + 8x - 4$ par $(x - 2)$ :

1. $-2x^3 + x^2 + 8x - 4$ divisé par $x - 2$.

•  Premier terme : $-2x^3 / x = -2x^2$
•  Multiplier : $-2x^2 \times (x - 2) = -2x^3 + 4x^2$
•  Soustraire : $(-2x^3 + x^2) - (-2x^3 + 4x^2) = -3x^2$
•  Descendre $8x$ : $-3x^2 + 8x$

2. $-3x^2 / x = -3x$

•  Multiplier : $-3x \times (x - 2) = -3x^2 + 6x$
•  Soustraire : $(-3x^2 + 8x) - (-3x^2 + 6x) = 2x$
•  Descendre $-4$ : $2x - 4$

3. $2x / x = 2$

•  Multiplier : $2 \times (x - 2) = 2x - 4$
•  Soustraire : $(2x - 4) - (2x - 4) = 0$

Donc :
$$P(x) = (x - 2)(-2x^2 - 3x + 2)$$

Factorisation du trinôme :

Factorisons $-2x^2 - 3x + 2 = - (2x^2 + 3x - 2)$.

Recherche des racines :
$$\Delta = 9 + 16 = 25 \Rightarrow x = \frac{-3 \pm 5}{4}$$
Donc $x_1 = \frac{1}{2}$ et $x_2 = -2$.

Ainsi :
$$-2x^2 - 3x + 2 = -2(x - \frac{1}{2})(x + 2) = - (2x - 1)(x + 2)$$

Finalement :
$$P(x) = (x - 2)(- (2x - 1)(x + 2)) = - (x - 2)(2x - 1)(x + 2)$$

 2) Résoudre $P(x) = 0$ et $P(x) \geq 0$

Équation $P(x) = 0$ :
$$- (x - 2)(2x - 1)(x + 2) = 0 \Rightarrow x = -2, x = \frac{1}{2}, x = 2$$

Inéquation $P(x) \geq 0$ :

Multiplions par $-1$ :
$$(x - 2)(2x - 1)(x + 2) \leq 0$$

Étudions le signe du produit :

•  Racines : $-2$, $\frac{1}{2}$, $2$
•  Tableau de signes :

$$\begin{array}{|c|lcccccr|}     \hline     x&-\infty&&-2&&\frac{1}{2}&&2&&+\infty\\     \hline     \text{Signe de }x + 2 &&-&|&+&|&+&|&+&\\     \hline     \text{Signe de }2x - 1 &&-&|&-&|&+&|&+&\\     \hline     \text{Signe de }x - 2 &&-&|&-&|&-&|&+&\\     \hline     \text{Signe de }(x + 2)(2x - 1)(x + 2) &&-&|&+&|&-&|&+&\\     \hline     \end{array}$$

Solution : $x \in ]-\infty, -2] \cup [\frac{1}{2}, 2]$

 Exercice 5

Domaine de définition :

1. $f(x) = x^2 + 1$ : Définie sur $\mathbb{R}$.
2. $g(x) = \frac{2x + 1}{x - 2}$ : Définie pour $x \neq 2$, donc $D_g = \mathbb{R} \setminus \{2\}$.
3. $h(x) = \sqrt{x^2 - 4}$ : Définie pour $x^2 - 4 \geq 0 \Rightarrow x \leq -2$ ou $x \geq 2$, donc $D_h = ]-\infty, -2] \cup [2, +\infty[$.

Compositions :

1. $f \circ g(x) = f(g(x)) = \left(\frac{2x + 1}{x - 2}\right)^2 + 1$
   - Domaine : $x \neq 2$, donc $D_{f \circ g} = \mathbb{R} \setminus \{2\}$.

2. $f \circ h(x) = f(h(x)) = (\sqrt{x^2 - 4})^2 + 1 = x^2 - 4 + 1 = x^2 - 3$
   - Domaine : $D_h$, donc $D_{f \circ h} = ]-\infty, -2] \cup [2, +\infty[$.

3. $h \circ f(x) = h(f(x)) = \sqrt{(x^2 + 1)^2 - 4} = \sqrt{x^4 + 2x^2 + 1 - 4} = \sqrt{x^4 + 2x^2 - 3}$
   - Domaine : $x^4 + 2x^2 - 3 \geq 0$.
   Posons $y = x^2$ : $y^2 + 2y - 3 \geq 0$.
   Racines : $y = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2} \Rightarrow y = 1$ ou $y = -3$.
   Solution : $y \leq -3$ ou $y \geq 1$. Comme $y = x^2 \geq 0$, on a $x^2 \geq 1 \Rightarrow x \leq -1$ ou $x \geq 1$.
   Donc $D_{h \circ f} = ]-\infty, -1] \cup [1, +\infty[$.