Correction Exercices d'entrainement types Bac : Suite Numériques - TL

Exercice 1

1. Expression de $P_{n+1}$ en fonction de $P_n$ et nature de la suite :

Le prix augmente de 7% par an, donc :
$$P_{n+1} = P_n + 0.07 \times P_n = 1.07 \times P_n$$

La suite $(P_n)$ est donc une suite géométrique de raison $q = 1.07$ et de premier terme $P_0 = 75$.

2. Prix en 1972 et 1980 :

a. 1972 correspond à $n = 2$ :
$$P_2 = P_0 \times (1.07)^2 = 75 \times 1.1449 = 85.8675 \text{ F}$$

b. 1980 correspond à $n = 10$ :
$$P_{10} = P_0 \times (1.07)^{10}$$

Calcul de $(1.07)^{10}$ :
$$(1.07)^5 \approx 1.40255$$
$$(1.07)^{10} \approx (1.40255)^2 \approx 1.967$$
$$P_{10} \approx 75 \times 1.967 \approx 147.525 \text{ F}$$

3. Année où le prix dépasse 750 F :

On cherche $n$ tel que :
$$P_n > 750$$
$$75 \times (1.07)^n > 750$$
$$(1.07)^n > 10$$

En prenant le logarithme :
$$n \ln(1.07) > \ln(10)$$
$$n > \frac{\ln(10)}{\ln(1.07)} \approx \frac{2.302585}{0.067659} \approx 34.03$$

Donc $n = 35$, ce qui correspond à l'année $1970 + 35 = 2005$.

Exercice 2

A. Suite $(U_n)$ définie par $U_n = 1.05 U_{n-1} + 1000$ :

1. Démontrer que $(V_n)$ est géométrique :

On a $V_n = U_n + 20000$.

Calculons $V_{n+1}$ :
$$U_{n+1} = 1.05 U_n + 1000$$
$$V_{n+1} = U_{n+1} + 20000 = 1.05 U_n + 1000 + 20000 = 1.05 U_n + 21000$$
$$= 1.05 (U_n + 20000) = 1.05 V_n$$

Donc $(V_n)$ est géométrique de raison $q = 1.05$.

2. Expression de $V_n$ et $U_n$ :

$$V_n = V_0 \times (1.05)^n = (U_0 + 20000) \times (1.05)^n$$
$$U_n = V_n - 20000 = (U_0 + 20000) \times (1.05)^n - 20000$$

B. Application à la population électorale :

1. Population en février 2000 (n=5) :

Initialement $U_0 = 20000$.

$$U_5 = (20000 + 20000) \times (1.05)^5 - 20000$$
$$= 40000 \times 1.27628 - 20000 \approx 51051.2 - 20000 = 31051.2$$

La population est donc environ 31051 électeurs.

2. Nombre de votants avec 20% d'abstention :

80% des électeurs votent :
$$0.8 \times 31051 \approx 24841 \text{ votants}$$

Exercice 3

1. Calcul de $U_1, U_2, U_3$ :

$$U_0 = 9$$
$$U_1 = \frac{1}{3} \times 9 + 2 = 3 + 2 = 5$$
$$U_2 = \frac{1}{3} \times 5 + 2 \approx 1.666 + 2 = 3.666$$
$$U_3 = \frac{1}{3} \times 3.666 + 2 \approx 1.222 + 2 = 3.222$$

2. Suite $V_n = U_n - 3$ :

Montrons que $(V_n)$ est géométrique :
$$V_{n+1} = U_{n+1} - 3 = \frac{1}{3} U_n + 2 - 3 = \frac{1}{3} U_n - 1$$
$$= \frac{1}{3} (V_n + 3) - 1 = \frac{1}{3} V_n + 1 - 1 = \frac{1}{3} V_n$$

Donc $(V_n)$ est géométrique de raison $q = \frac{1}{3}$ et de premier terme $V_0 = U_0 - 3 = 6$.

3. Expression de $V_n$ et $U_n$ :

$$V_n = 6 \times \left( \frac{1}{3} \right)^n$$
$$U_n = V_n + 3 = 6 \times \left( \frac{1}{3} \right)^n + 3$$

4. Somme $S_n$ des $V_n$ :

$$S_n = V_0 + V_1 + \ldots + V_{n-1} = 6 \times \frac{1 - \left( \frac{1}{3} \right)^n}{1 - \frac{1}{3}} = 6 \times \frac{3}{2} \left(1 - \left( \frac{1}{3} \right)^n \right) = 9 \left(1 - \left( \frac{1}{3} \right)^n \right)$$

5. Somme $S'_n$ des $U_n$ :

$$S'_n = S_n + 3n = 9 \left(1 - \left( \frac{1}{3} \right)^n \right) + 3n$$

Exercice 4

1. Relation de récurrence et nature de la suite :

Si le concurrent gagne, son gain double :
$$U_{n+1} = 2 U_n$$

La suite $(U_n)$ est géométrique de raison 2 et de premier terme $U_1 = 25000$.

2. Expression de $U_n$ et calcul de $U_7$ :

$$U_n = 25000 \times 2^{n-1}$$
$$U_7 = 25000 \times 2^6 = 25000 \times 64 = 1600000 \text{ F}$$

3. Nombre de victoires pour atteindre 12 800 000 F :

$$25000 \times 2^{n-1} = 12800000$$
$$2^{n-1} = \frac{12800000}{25000} = 512$$
$$2^{n-1} = 2^9$$
$$n-1 = 9$$
$$n = 10$$

Exercice 5

1. Entreprise A :

a. Relation de récurrence et expression de $P_n$ :

Chaque mètre coûte 5000 F de plus que le précédent :
$$P_{n+1} = P_n + 5000$$

C'est une suite arithmétique de premier terme $P_1 = 50000$ et de raison $r = 5000$.

$$P_n = 50000 + (n-1) \times 5000 = 5000 n + 45000$$

b. Somme $S_n$ :

$$S_n = \frac{n}{2} (P_1 + P_n) = \frac{n}{2} (50000 + 5000 n + 45000) = \frac{n}{2} (5000 n + 95000) = 2500 n^2 + 47500 n$$

c. Profondeur pour 1 665 000 F :

$$2500 n^2 + 47500 n = 1665000$$
$$25 n^2 + 475 n - 16650 = 0$$
$$n^2 + 19 n - 666 = 0$$

Discriminant :
$$\Delta = 361 + 2664 = 3025 = 55^2$$
$$n = \frac{-19 \pm 55}{2}$$
Solution positive :
$$n = \frac{36}{2} = 18$$

2. Entreprise B :

a. Coût $C_n$ :

Le coût suit une suite géométrique de premier terme $C_1 = 10000$ et de raison $q = 1.2$.

$$C_n = 10000 \times (1.2)^{n-1}$$

b. Comparaison pour $n = 18$ :

- Entreprise A : $S_{18} = 1 665 000$ F.
- Entreprise B : $S_{18} = 10000 \times \frac{1.2^{18} - 1}{1.2 - 1}$.

Calcul de $1.2^{18}$ :
$$1.2^5 = 2.48832$$
$$1.2^{10} \approx 6.1917$$
$$1.2^{15} \approx 15.407$$
$$1.2^{18} \approx 26.623$$

$$S_{18} \approx 10000 \times \frac{26.623 - 1}{0.2} = 10000 \times 127.115 = 1 271 150 \text{ F}$$

Donc l'entreprise B est moins chère.

Exercice 6

1. Relation de récurrence et nature de la suite :

La population diminue de 5% par an :
$$P_{n+1} = P_n - 0.05 P_n = 0.95 P_n$$

La suite $(P_n)$ est géométrique de raison $q = 0.95$.

2. Expression de $P_n$ :

$$P_n = P_0 \times (0.95)^n$$

3. Année où $P_n < \frac{P_0}{2}$ :

$$(0.95)^n < 0.5$$
$$n \ln(0.95) < \ln(0.5)$$
$$n > \frac{\ln(0.5)}{\ln(0.95)} \approx \frac{-0.693}{-0.051} \approx 13.588$$

Donc $n = 14$, ce qui correspond à l'année $1989 + 14 = 2003$.

Exercice 7

1. Surface infestée :

a. Calcul de $U_1$ et $U_2$ :

Diminution de 8% par jour :
$$U_{n+1} = 0.92 U_n$$
$$U_1 = 0.92 \times 2000 = 1840 \text{ ha}$$
$$U_2 = 0.92 \times 1840 = 1692.8 \text{ ha}$$

b. Expression de $U_n$ :

$$U_n = 2000 \times (0.92)^n$$

c. Nombre de jours pour traiter la moitié :

$$2000 \times (0.92)^n = 1000$$
$$(0.92)^n = 0.5$$
$$n \ln(0.92) = \ln(0.5)$$
$$n \approx \frac{-0.693}{-0.0834} \approx 8.31$$

Donc $n = 9$ jours.

2. Pesticide :

a. Calcul de $P_2$ et $P_3$ :

Chaque jour, on ajoute 400 litres de plus que le jour précédent :
$$P_{n+1} = P_n + 400$$

Suite arithmétique de premier terme $P_1 = 1000$ et de raison $r = 400$.

$$P_2 = 1000 + 400 = 1400 \text{ L}$$
$$P_3 = 1400 + 400 = 1800 \text{ L}$$

b. Expression de $P_n$ :

$$P_n = 1000 + (n-1) \times 400 = 400 n + 600$$

c. Quantité totale après 20 jours :

$$S_{20} = \frac{20}{2} (P_1 + P_{20}) = 10 (1000 + 400 \times 20 + 600) = 10 (1000 + 8000 + 600) = 10 \times 9600 = 96000 \text{ L}$$

Coût :
$$96000 \times 1800 = 172 800 000 \text{ F}$$

Réponses :
1. a. $U_1 = 1840$ ha, $U_2 = 1692.8$ ha.
   b. $U_n = 2000 \times (0.92)^n$.
   c. 9 jours.
2. a. $P_2 = 1400$ L, $P_3 = 1800$ L.
   b. $P_n = 400 n + 600$.
   c. 96 000 L, coût 172 800 000 F.

Exercice 8

1. Production en 2001 et 2002 :

Baisse de 3% par an :
$$P_{n+1} = 0.97 P_n$$

$$P_0 = 1 200 000$$
$$P_1 = 0.97 \times 1 200 000 = 1 164 000 \text{ tonnes}$$
$$P_2 = 0.97 \times 1 164 000 \approx 1 129 080 \text{ tonnes}$$

2. Relation de récurrence :

$$P_{n+1} = 0.97 P_n$$

3. Nature de la suite :

La suite $(P_n)$ est géométrique de raison $q = 0.97$ et de premier terme $P_0 = 1 200 000$.

4. Expression de $P_n$ :

$$P_n = 1 200 000 \times (0.97)^n$$

5. Année où $P_n < 600 000$ :

$$(0.97)^n < 0.5$$
$$n \ln(0.97) < \ln(0.5)$$
$$n > \frac{\ln(0.5)}{\ln(0.97)} \approx \frac{-0.693}{-0.030459} \approx 22.76$$

Donc $n = 23$, ce qui correspond à l'année $2000 + 23 = 2023$.

 Exercice 9

1. Calcul de $U_2$ et $U_3$ :

$$U_1 = -2$$
$$U_2 = 3 \times (-2) + 3 = -6 + 3 = -3$$
$$U_3 = 3 \times (-3) + 3 = -9 + 3 = -6$$

2. Suite $V_n = U_n + \frac{3}{2}$ :

a. Calcul de $V_1$ et $V_2$ :

$$V_1 = -2 + \frac{3}{2} = -0.5$$
$$V_2 = -3 + \frac{3}{2} = -1.5$$

b. Montrer que $(V_n)$ est géométrique :

$$V_{n+1} = U_{n+1} + \frac{3}{2} = 3 U_n + 3 + \frac{3}{2} = 3 U_n + \frac{9}{2}$$
$$= 3 \left( U_n + \frac{3}{2} \right) = 3 V_n$$

Donc $(V_n)$ est géométrique de raison $q = 3$ et de premier terme $V_1 = -0.5$.

c. Expression de $V_n$ et $U_n$ :

$$V_n = -0.5 \times 3^{n-1}$$
$$U_n = V_n - \frac{3}{2} = -0.5 \times 3^{n-1} - 1.5$$

d. Divergence :

$3^{n-1}$ tend vers $+\infty$ quand $n \to +\infty$, donc $V_n \to -\infty$ et $U_n \to -\infty$.

Exercice 10

1. Calcul de $U_2$ et $U_3$ :

$$U_0 = -2$$
$$U_1 = \frac{3}{2} \times (-2) + 1 = -3 + 1 = -2$$
$$U_2 = \frac{3}{2} \times (-2) + 1 = -3 + 1 = -2$$
$$U_3 = \frac{3}{2} \times (-2) + 1 = -3 + 1 = -2$$

2. Suite $V_n = U_n + 2$ :

a. Calcul de $V_0$ et $V_1$ :

$$V_0 = -2 + 2 = 0$$
$$V_1 = -2 + 2 = 0$$

b. Montrer que $(V_n)$ est géométrique :

$$V_{n+1} = U_{n+1} + 2 = \frac{3}{2} U_n + 1 + 2 = \frac{3}{2} U_n + 3$$
$$= \frac{3}{2} (U_n + 2) = \frac{3}{2} V_n$$

Donc $(V_n)$ est géométrique de raison $q = \frac{3}{2}$ et de premier terme $V_0 = 0$.

c. Expression de $V_n$ et $U_n$ :

$$V_n = 0 \times \left( \frac{3}{2} \right)^n = 0$$
$$U_n = V_n - 2 = -2$$

3. Somme $S_n$ et $S'_n$ :

$$S_n = \sum_{k=0}^{n-1} V_k = 0$$
$$S'_n = \sum_{k=0}^{n-1} U_k = -2n$$

Exercice 11

1. Calcul de $U_2$ :

Augmentation de 5% par an :
$$U_1 = 25000$$
$$U_2 = 1.05 \times 25000 = 26250 \text{ F}$$

2. a. Relation de récurrence et nature de la suite :

$$U_{n+1} = 1.05 U_n$$

La suite $(U_n)$ est géométrique de raison $q = 1.05$ et de premier terme $U_1 = 25000$.

b. Expression de $U_n$ et calcul de $U_8$ :

$$U_n = 25000 \times (1.05)^{n-1}$$
$$U_8 = 25000 \times (1.05)^7$$

Calcul de $(1.05)^7$ :
$$(1.05)^2 = 1.1025$$
$$(1.05)^4 \approx 1.2155$$
$$(1.05)^7 \approx 1.407$$
$$U_8 \approx 25000 \times 1.407 \approx 35175 \text{ F}$$

3. Montant total des loyers sur 8 ans :

$$S_8 = 25000 \times \frac{1.05^8 - 1}{1.05 - 1}$$
$$1.05^8 \approx 1.477$$
$$S_8 \approx 25000 \times \frac{0.477}{0.05} = 25000 \times 9.54 = 238500 \text{ F}$$