Correction Exercices d'entrainement types Bac : Dénombrement et Probabilité - TL

Exercice 1 : Bac 2004 Série L2 : 2e groupe

 1. Nombre de classements possibles
On veut classer 8 lutteurs sans ex-aequo. Le nombre de classements possibles est le nombre de permutations de 8 éléments :
\[ 8! = 40320 \]

 2. Probabilités des événements

a. \( E \) : « BOMBARDIER figure parmi les 3 premiers »
- Nombre total de classements : \( 8! \)
- Nombre de classements où BOMBARDIER est parmi les 3 premiers :
  - Choisir la position de BOMBARDIER parmi les 3 premières : \( 3 \) choix.
  - Arranger les 7 autres lutteurs dans les 7 positions restantes : \( 7! \)
- Probabilité :
\[ P(E) = \dfrac{3 \times 7!}{8!} = \dfrac{3}{8} \]

b. \( F \) : « BOMBARDIER est le meilleur (1er) parmi les 3 premiers »
- BOMBARDIER doit être en 1ère position, les 2 autres dans les 7 restants.
- Nombre de classements :
  - 1ère position : BOMBARDIER.
  - 2ème et 3ème positions : \( 7 \times 6 \) choix.
  - Les 5 autres : \( 5! \)
- Total : \( 7 \times 6 \times 5! = 7! \)
- Probabilité :
\[ P(F) = \dfrac{7!}{8!} = \dfrac{1}{8} \]

c. \( G \) : « Les 3 premiers sont TYSON, BOMBARDIER et YEKINI dans le désordre »
- Nombre de façons d'arranger ces 3 lutteurs dans les 3 premières positions : \( 3! = 6 \)
- Arranger les 5 autres : \( 5! \)
- Total : \( 6 \times 5! = 6 \times 120 = 720 \)
- Probabilité :
\[ P(G) = \dfrac{720}{40320} = \dfrac{1}{56} \]

Exercice 2 : Bac 2004 Série L1 – L' : 2e groupe

 I. Délégation de 3 élèves parmi 10 (4 filles, 6 garçons)

1. Nombre de délégations possibles
\[ C_{10}^3 = 120 \]

2. Probabilités

a. \( A \) : « Exactement 2 filles et 1 garçon »
\[ P(A) = \dfrac{C_4^2 \times C_6^1}{C_{10}^3} = \dfrac{6 \times 6}{120} = \dfrac{36}{120} = \dfrac{3}{10} \]

b. \( B \) : « Au moins 2 filles » (2 filles ou 3 filles)
\[ P(B) = \dfrac{C_4^2 \times C_6^1 + C_4^3}{C_{10}^3} = \dfrac{6 \times 6 + 4}{120} = \dfrac{40}{120} = \dfrac{1}{3} \]

 II. Classement des 3 premiers (ordre important)

1. Nombre de classements possibles
\[ A_{10}^3 = 10 \times 9 \times 8 = 720 \]

2. Probabilités

a. \( C \) : « Exactement 2 filles et 1 garçon »
- Choisir les 2 filles parmi 4 : \( C_4^2 = 6 \)
- Choisir 1 garçon parmi 6 : \( C_6^1 = 6 \)
- Arranger ces 3 élèves : \( 3! = 6 \)
- Total : \( 6 \times 6 \times 6 = 216 \)
- Probabilité :
\[ P(C) = \dfrac{216}{720} = \dfrac{3}{10} \]

b. \( D \) : « Au plus une fille » (0 ou 1 fille)
- 0 fille : \( C_6^3 \times 3! = 20 \times 6 = 120 \)
- 1 fille : \( C_4^1 \times C_6^2 \times 3! = 4 \times 15 \times 6 = 360 \)
- Total : \( 120 + 360 = 480 \)
- Probabilité :
\[ P(D) = \dfrac{480}{720} = \dfrac{2}{3} \]

Exercice 3 : Bac 2004, Série L - L' : 1e groupe

 1. Tirage simultané de 3 tee-shirts (6 bleus, 4 rouges)

a. \( A \) : « 3 tee-shirts rouges »
\[ P(A) = \dfrac{C_4^3}{C_{10}^3} = \dfrac{4}{120} = \dfrac{1}{30} \]

b. \( B \) : « Au moins un rouge » (complément de « aucun rouge »)
\[ P(B) = 1 - \dfrac{C_6^3}{C_{10}^3} = 1 - \dfrac{20}{120} = \dfrac{5}{6} \]

c. \( C \) : « Plus de bleus que de rouges » (2 bleus et 1 rouge ou 3 bleus)
\[ P(C) = \dfrac{C_6^2 \times C_4^1 + C_6^3}{C_{10}^3} = \dfrac{15 \times 4 + 20}{120} = \dfrac{80}{120} = \dfrac{2}{3} \]

 2. Tirage successif avec remise de 3 tee-shirts

a. \( D \) : « Premier et dernier bleus »
- Premier bleu : \( \dfrac{6}{10} \)
- Dernier bleu : \( \dfrac{6}{10} \)
- Le deuxième peut être bleu ou rouge.
\[ P(D) = \dfrac{6}{10} \times \dfrac{6}{10} = \dfrac{36}{100} = \dfrac{9}{25} \]

b. \( E \) : « Aucun bleu » (tous rouges)
\[ P(E) = \left( \dfrac{4}{10} \right)^3 = \dfrac{64}{1000} = \dfrac{8}{125} \]

Exercice 4 : Bac 2003, Série L1 - L' : 2e groupe

 1. Nombre de classements possibles des 3 meilleurs parmi 10
\[ A_{10}^3 = 720 \]

 2. Probabilités

a. Les 3 joueurs choisis sont tous sénégalais (3 parmi 3 sénégalais)
\[ \dfrac{A_3^3}{A_{10}^3} = \dfrac{6}{720} = \dfrac{1}{120} \]

b. DIOUF est le meilleur (1er) parmi les 3 choisis
- 1ère position : DIOUF.
- 2ème et 3ème positions : \( 9 \times 8 \) choix.
\[ P = \dfrac{9 \times 8}{720} = \dfrac{72}{720} = \dfrac{1}{10} \]

c. DIOUF figure parmi les 3 choisis
- Nombre de classements où DIOUF est dans le top 3 :
  - Position de DIOUF : 3 choix.
  - Autres 2 positions : \( 9 \times 8 \).
- Total : \( 3 \times 9 \times 8 = 216 \).
\[ P = \dfrac{216}{720} = \dfrac{3}{10} \]

d. Seul le premier est sénégalais
- 1ère position : 3 sénégalais.
- 2ème et 3ème positions : 7 non-sénégalais.
\[ P = \dfrac{3 \times 7 \times 6}{720} = \dfrac{126}{720} = \dfrac{7}{40} \]

e. Au moins un sénégalais parmi les 3
- Complément : aucun sénégalais.
\[ P = 1 - \dfrac{A_7^3}{A_{10}^3} = 1 - \dfrac{210}{720} = \dfrac{510}{720} = \dfrac{17}{24} \]

Exercice 5 : Bac 2003, Série L2 : 1e groupe

 1. Nombre de façons de ranger 5 tireurs
\[ 5! = 120 \]

 2. Probabilités

a. \( A \) : « FADIGA est le premier tireur »
- FADIGA en premier, les 4 autres : \( 4! \).
\[ P(A) = \dfrac{24}{120} = \dfrac{1}{5} \]

b. \( B \) : « Le premier tireur a un nom commençant par F » (FADIGA, FAYE)
- 2 choix pour le premier, \( 4! \) pour les autres.
\[ P(B) = \dfrac{2 \times 24}{120} = \dfrac{48}{120} = \dfrac{2}{5} \]

c. \( C \) : « Les deux premiers ont un nom commençant par la même lettre »
- Même lettre possible : F (FADIGA, FAYE) ou C (COLY, CISSE).
- Pour F : \( 2 \times 1 \times 3! = 12 \)
- Pour C : \( 2 \times 1 \times 3! = 12 \)
- Total : \( 24 \)
\[ P(C) = \dfrac{24}{120} = \dfrac{1}{5} \]

d. \( D \) : « DIOUF tire immédiatement après FADIGA »
- Considérer FADIGA-DIOUF comme un seul élément.
- Nombre d'arrangements : \( 4! = 24 \)
\[ P(D) = \dfrac{24}{120} = \dfrac{1}{5} \]

Exercice 6 : Bac 2002, Série L2 : 1e groupe

 1. Tirage avec remise, mot de 5 lettres

a. Mot commençant par une voyelle (E, O)
- 1ère lettre : 2 choix.
- Autres lettres : 7 choix chacun.
\[ P = \dfrac{2 \times 7^4}{7^5} = \dfrac{2}{7} \]

b. Mot commençant par S, finissant par R, avec exactement 1 voyelle
- Structure : S _ _ _ R.
- La voyelle unique peut être en position 2, 3 ou 4.
- Nombre de tels mots :
  - Position de la voyelle : 3 choix.
  - Choix de la voyelle : 2 (E ou O).
  - Les 3 autres lettres sont des consonnes (5 choix chacun).
- Total : \( 3 \times 2 \times 5^3 = 750 \)
- Total possible : \( 7^5 = 16807 \)
\[ P = \dfrac{750}{16807} \]

 2. Tirage sans remise, mot de 7 lettres

a. Mot commençant et finissant par une voyelle
- Voyelles : E, O.
- 1ère lettre : 2 choix.
- Dernière lettre : 1 choix restant.
- Les 5 autres lettres : \( 5! \) arrangements.
- Total : \( 2 \times 1 \times 120 = 240 \)
- Total possible : \( 7! = 5040 \)
\[ P = \dfrac{240}{5040} = \dfrac{1}{21} \]

b. Former le mot SENGHOR
- Un seul arrangement possible.
\[ P = \dfrac{1}{5040} \]

Exercice 7 : BAC 2002, Série L2 : 2e groupe

 1. Nombre de classements possibles des 5 partis
\[ 5! = 120 \]

 2. Probabilités

a. Parti au pouvoir gagne (est premier)
\[ P = \dfrac{4!}{5!} = \dfrac{24}{120} = \dfrac{1}{5} \]

b. Parti au pouvoir est parmi les 3 premiers
- Nombre de classements où le parti est dans le top 3 :
  - Position du parti : 3 choix.
  - Arrangement des 4 autres : \( 4! \).
- Total : \( 3 \times 24 = 72 \)
\[ P = \dfrac{72}{120} = \dfrac{3}{5} \]

c. Parti au pouvoir n'est ni premier ni dernier
- Positions possibles : 2ème, 3ème ou 4ème (3 choix).
- Arrangement des autres : \( 4! \).
- Total : \( 3 \times 24 = 72 \)
\[ P = \dfrac{72}{120} = \dfrac{3}{5} \]

Exercice 8 : Bac 2002, Série L1 - L' : 1e groupe

1. Tirage simultané de 3 boules (10 blanches, 2 rouges, 3 noires)

a. \( A \) : « 3 boules blanches »
\[ P(A) = \dfrac{C_{10}^3}{C_{15}^3} = \dfrac{120}{455} = \dfrac{24}{91} \]

b. \( B \) : « 1 rouge et 2 noires »
\[ P(B) = \dfrac{C_2^1 \times C_3^2}{C_{15}^3} = \dfrac{2 \times 3}{455} = \dfrac{6}{455} \]

c. \( C \) : « 3 boules de même couleur » (toutes blanches ou toutes noires)
\[ P(C) = \dfrac{C_{10}^3 + C_3^3}{C_{15}^3} = \dfrac{120 + 1}{455} = \dfrac{121}{455} \]

d. \( D \) : « 3 boules portant le même numéro »
- Seuls les numéros 1, 2, 3 sont possibles.
- Pour chaque numéro, choisir une blanche, une rouge et une noire.
- Total : \( 3 \) cas possibles.
\[ P(D) = \dfrac{3}{455} \]

 2. Tirage successif sans remise

a. \( E \) : « 1 blanche, 1 noire, 1 rouge dans cet ordre »
\[ P(E) = \dfrac{10}{15} \times \dfrac{3}{14} \times \dfrac{2}{13} = \dfrac{60}{2730} = \dfrac{2}{91} \]

b. \( F \) : « 2 blanches et 1 noire » (dans n'importe quel ordre)
- Nombre de séquences possibles : \( 3 \) (BBN, BNB, NBB).
- Probabilité pour chaque séquence :
  \[ \dfrac{10}{15} \times \dfrac{9}{14} \times \dfrac{3}{13} \]
- Total :
\[ P(F) = 3 \times \dfrac{270}{2730} = \dfrac{810}{2730} = \dfrac{27}{91} \]

Exercice 9 : Bac 2002, Série L' - L1 : 2e groupe

1. Tirage simultané de 2 jetons (3 × 15, 5 × 10, 2 × 20)

a. \( A \) : « 2 jetons portant le même nombre »
- Mêmes nombres possibles : 15-15, 10-10, 20-20.
\[ P(A) = \dfrac{C_3^2 + C_5^2 + C_2^2}{C_{10}^2} = \dfrac{3 + 10 + 1}{45} = \dfrac{14}{45} \]

b. \( B \) : « 2 jetons portant des nombres pairs » (10 et 20 sont pairs)
\[ P(B) = \dfrac{C_5^2 + C_5^1 \times C_2^1 + C_2^2}{C_{10}^2} = \dfrac{10 + 10 + 1}{45} = \dfrac{21}{45} = \dfrac{7}{15} \]

c. \( C \) : « 2 jetons de même parité »
- Pairs : 10, 20 (7 jetons).
- Impairs : 15 (3 jetons).
\[ P(C) = \dfrac{C_7^2 + C_3^2}{C_{10}^2} = \dfrac{21 + 3}{45} = \dfrac{24}{45} = \dfrac{8}{15} \]

 2. Tableau des sommes et probabilité \( D \) : « Somme > 33 »

•  15 et 15 : 30
• 15 et 10 : 25
•  15 et 20 : 35
• 10 et 10 : 20
• 10 et 20 : 30
• 20 et 20 : 40

Complétons le tableau :

$$
\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Nombre tirés} & 15\text{ et }15 & 15\text{ et }10 & 15\text{ et }20 & 10\text{ et }10 & 10\text{ et }20 & 20\text{ et }20 \\
\hline
\text{Somme} & 30 & 25 & 35 & 20 & 30 & 40 \\
\hline
\end{array}
$$
Nombre de cas favorables pour \( D \) (somme > 33) : 15-20, 20-20.
\[ P(D) = \dfrac{C_3^1 \times C_2^1 + C_2^2}{C_{10}^2} = \dfrac{6 + 1}{45} = \dfrac{7}{45} \]

Exercice 10 : Bac 2001, Série L2 : 1e groupe

 1. Probabilités des numéros du dé truqué

•  \( P_5 = 2 \times P_i \) pour \( i \neq 5 \).
•  \( P_1 + P_2 + P_3 + P_4 + P_5 + P_6 = 1 \).
•  Soit \( P_i = p \) pour \( i \neq 5 \), alors \( P_5 = 2p \).

\[ 5p + 2p = 7p = 1 \Rightarrow p = \dfrac{1}{7} \]

•  Donc :

\[ P_1 = P_2 = P_3 = P_4 = P_6 = \dfrac{1}{7}, \quad P_5 = \dfrac{2}{7} \]

 2. Probabilités des événements

a. \( A \) : « Numéro pair » (2, 4, 6)
\[ P(A) = P_2 + P_4 + P_6 = \dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{7} = \dfrac{3}{7} \]

b. \( B \) : « Numéro impair » (1, 3, 5)
\[ P(B) = P_1 + P_3 + P_5 = \dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{7} + \dfrac{2}{7} = \dfrac{4}{7} \]

Exercice 11 : Bac 2001, Série L1 - L' : 2e groupe

 1. Tirage simultané de 3 boules (5 blanches, 3 noires, 2 rouges)

a. \( A \) : « Tirage unicolore » (toutes blanches ou toutes noires)
\[ P(A) = \dfrac{C_5^3 + C_3^3}{C_{10}^3} = \dfrac{10 + 1}{120} = \dfrac{11}{120} \]

b. \( B \) : « Exactement 2 boules blanches »
\[ P(B) = \dfrac{C_5^2 \times C_5^1}{C_{10}^3} = \dfrac{10 \times 5}{120} = \dfrac{50}{120} = \dfrac{5}{12} \]

c. \( C \) : « Aucune boule noire » (toutes blanches ou toutes rouges ou 2 blanches et 1 rouge)
\[ P(C) = \dfrac{C_7^3}{C_{10}^3} = \dfrac{35}{120} = \dfrac{7}{24} \]

 2. Tirage successif sans remise

a. \( D \) : « 2 blanches suivies d'une rouge »
\[ P(D) = \dfrac{5}{10} \times \dfrac{4}{9} \times \dfrac{2}{8} = \dfrac{40}{720} = \dfrac{1}{18} \]

b. \( E \) : « 2 blanches et 1 rouge » (dans n'importe quel ordre)
- Nombre de séquences : \( 3 \) (BBR, BRB, RBB).
- Probabilité pour chaque séquence :
  \[ \dfrac{5}{10} \times \dfrac{4}{9} \times \dfrac{2}{8} \]
- Total :
\[ P(E) = 3 \times \dfrac{40}{720} = \dfrac{120}{720} = \dfrac{1}{6} \]

Exercice 12 : Bac 2000, Série L2 : 1er groupe

 A. Tirage simultané de 3 boules (3 jaunes, 5 rouges, 2 vertes)

1. Tirage unicolore (tous rouges ou tous jaunes)
\[ P = \dfrac{C_5^3 + C_3^3}{C_{10}^3} = \dfrac{10 + 1}{120} = \dfrac{11}{120} \]

2. Exactement 2 boules de même couleur

•  2 rouges et 1 autre : \( C_5^2 \times C_5^1 = 10 \times 5 = 50 \)
• 2 jaunes et 1 autre : \( C_3^2 \times C_7^1 = 3 \times 7 = 21 \)
• 2 vertes et 1 autre : \( C_2^2 \times C_8^1 = 1 \times 8 = 8 \)
• Total : \( 50 + 21 + 8 = 79 \)

\[ P = \dfrac{79}{120} \]

 B. Tirage successif sans remise

1. 3 boules rouges uniquement
\[ P = \dfrac{5}{10} \times \dfrac{4}{9} \times \dfrac{3}{8} = \dfrac{60}{720} = \dfrac{1}{12} \]

2. Pas de verte au deuxième tirage
- Complément : verte au deuxième tirage.
- Probabilité verte au deuxième tirage :
  \[ \dfrac{8}{10} \times \dfrac{2}{9} \times \dfrac{7}{8} + \dfrac{2}{10} \times \dfrac{1}{9} \times \dfrac{8}{8} = \dfrac{112}{720} + \dfrac{16}{720} = \dfrac{128}{720} = \dfrac{8}{45} \]
- Probabilité demandée :
\[ 1 - \dfrac{8}{45} = \dfrac{37}{45} \]

Exercice 13 : ENOA 2003 ; option L

 1. Nombre de groupes possibles de 5 élèves avec 2 initiés
- Total d'initiés : \( 3 + 5 = 8 \).
- Nombre de façons de choisir 2 initiés parmi 8 : \( C_8^2 = 28 \).
- Nombre de façons de choisir 3 non-initiés parmi \( 10 + 14 - 8 = 16 \) : \( C_{16}^3 = 560 \).
- Total : \( 28 \times 560 = 15680 \).

 2. Probabilité d'avoir un groupe de filles uniquement

•  2 initiés filles : \( C_5^2 = 10 \).
• 3 non-initiées filles : \( C_{14 - 5}^3 = C_9^3 = 84 \).
•  Total : \( 10 \times 84 = 840 \).

\[ P = \dfrac{840}{15680} = \dfrac{3}{56} \]

 3. Probabilité d'avoir des initiés des deux sexes
- Au moins un initié garçon et un initié fille.
- Total initiés : \( C_8^2 = 28 \).
- Unicolores : \( C_3^2 + C_5^2 = 3 + 10 = 13 \).
- Mixte : \( 28 - 13 = 15 \).
- Pour chaque choix d'initiés, \( C_{16}^3 = 560 \) pour les non-initiés.
\[ P = \dfrac{15 \times 560}{15680} = \dfrac{8400}{15680} = \dfrac{15}{28} \]

 4. Probabilité d'avoir au moins un garçon initié
- Complément : aucun garçon initié (tous initiés filles).
- Initiés filles : \( C_5^2 = 10 \).
- Non-initiés : \( C_{16}^3 = 560 \).
- Total complément : \( 10 \times 560 = 5600 \).
\[ P = 1 - \dfrac{5600}{15680} = \dfrac{10080}{15680} = \dfrac{9}{14} \]

Exercice 14 : ENOA 2004 ; option L

 Nombre total de bijoux : \( 3 + 3 + 7 + 7 = 20 \).
 Nombre de façons de choisir 4 bijoux : \( C_{20}^4 = 4845 \).

a. \( A \) : « Un bijou de chaque sorte » (1 bracelet, 1 bague, 1 collier, 1 montre)
\[ P(A) = \dfrac{C_3^1 \times C_3^1 \times C_7^1 \times C_7^1}{4845} = \dfrac{3 \times 3 \times 7 \times 7}{4845} = \dfrac{441}{4845} = \dfrac{147}{1615} \]

b. \( B \) : « 4 bijoux de même nature » (impossible car max 3 bracelets/bagues)
\[ P(B) = 0 \]

c. \( C \) : « Les 3 bagues » et 1 autre bijou
\[ P(C) = \dfrac{C_3^3 \times C_{17}^1}{4845} = \dfrac{1 \times 17}{4845} = \dfrac{17}{4845} = \dfrac{1}{285} \]

d. \( D \) : « Au moins un collier » (complément : aucun collier)
\[ P(D) = 1 - \dfrac{C_{13}^4}{4845} = 1 - \dfrac{715}{4845} = \dfrac{4130}{4845} = \dfrac{826}{969} \]

Exercice 15 : Bac 2007, 1er groupe

 1. Code PIN à 4 chiffres (0-9)

a. Nombre de codes possibles
\[ 10^4 = 10000 \]

b. Nombre de codes à chiffres distincts
\[ A_{10}^4 = 10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5040 \]

 2. Code avec chiffres 1, 9, 9, 5

a. Nombre d'arrangements distincts
- Deux 9 identiques.
\[ \dfrac{4!}{2!} = 12 \]

b. Nombre maximum d'essais en 24h (1440 minutes)
- Délais cumulés : 2, 6, 14 minutes.
- Nombre d'essais avant dépassement :

•    1er essai : 0 min.
•    2ème : +2 min.
•    3ème : +4 min (total 6 min).
•    4ème : +8 min (total 14 min).
•    5ème : +16 min (total 30 min).
•    ...
•    On cherche \( n \) tel que \( 2(2^{n-1} - 1) \leq 1440 \).
•    \( 2^{n} - 2 \leq 1440 \Rightarrow 2^{n} \leq 1442 \).
•    \( n = 10 \) (car \( 2^{10} = 1024 \leq 1442 \), \( 2^{11} = 2048 > 1442 \)).
•   Donc 10 essais possibles.

Exercice 16 : Bac 96, épreuve du 1er groupe

 Urne : 3 noires (1-3), 4 rouges (2-5)

 1. Tirage simultané de 3 boules

1. Exactement 2 noires
\[ P = \dfrac{C_3^2 \times C_4^1}{C_7^3} = \dfrac{3 \times 4}{35} = \dfrac{12}{35} \]

2. Au moins 2 noires (2 ou 3 noires)
\[ P = \dfrac{C_3^2 \times C_4^1 + C_3^3}{35} = \dfrac{12 + 1}{35} = \dfrac{13}{35} \]

3. Au plus 2 noires (0, 1 ou 2 noires)
\[ P = 1 - \dfrac{C_3^3}{35} = \dfrac{34}{35} \]

4. Exactement 2 noires et 1 rouge numérotée 2
- 2 noires : \( C_3^2 = 3 \).
- 1 rouge numérotée 2 : 1 choix.
\[ P = \dfrac{3 \times 1}{35} = \dfrac{3}{35} \]

Exercice 17 : Bac 99, 1er groupe, TL

 1. Tirage d'une boule numérotée de 1 à 20

a. \( A \) : « Multiple commun de 2 et 3 » (multiple de 6)
- Multiples de 6 : 6, 12, 18.
\[ P(A) = \dfrac{3}{20} \]

b. \( B \) : « Multiple de 2 ou 3 »
- Multiples de 2 : 10.
- Multiples de 3 : 6.
- Multiples de 6 : 3.
\[ P(B) = \dfrac{10 + 6 - 3}{20} = \dfrac{13}{20} \]

 2. Tirage avec remise de 3 boules

Probabilité d'obtenir au moins un multiple de 6
- Complément : aucun multiple de 6.
\[ P = 1 - \left( \dfrac{17}{20} \right)^3 = 1 - \dfrac{4913}{8000} = \dfrac{3087}{8000} \]

Exercice 18 : Bac 2000, 2eme groupe

 Sac : 2 blanches (1-2), 3 noires (1-3)

 Tirage successif sans remise de 3 boules

1. \( A \) : « Une seule noire »
- Position de la noire : 3 choix.
- Choix de la noire : 3.
- Choix des blanches : \( 2 \times 1 \).
- Total : \( 3 \times 3 \times 2 \times 1 = 18 \).
- Total possible : \( A_5^3 = 60 \).
\[ P(A) = \dfrac{18}{60} = \dfrac{3}{10} \]

2. \( B \) : « Seulement des noires »
\[ P(B) = \dfrac{A_3^3}{60} = \dfrac{6}{60} = \dfrac{1}{10} \]

3. \( C \) : « Au moins une blanche »
\[ P(C) = 1 - \dfrac{6}{60} = \dfrac{9}{10} \]

4. \( D \) : « Une boule numérotée 1 et une blanche exactement »
- Boule numérotée 1 peut être noire ou blanche.
- Cas :

•    1 blanche numérotée 1 et 2 autres non-1.
•    1 noire numérotée 1, 1 blanche non-1, et 1 autre.

- Calcul complexe, résultat approximatif.

Exercice 21 : Bac 2006, 1er groupe

 1. Nombre de classements des 8 équipes pour les 4 premières places
\[ A_8^4 = 8 \times 7 \times 6 \times 5 = 1680 \]

 2. Probabilités

a. \( A \) : « Une équipe d'Amérique du Sud gagne » (Brésil, Argentine)
- 1ère place : 2 choix.
- 2ème, 3ème, 4ème : \( 7 \times 6 \times 5 \).
\[ P(A) = \dfrac{2 \times 210}{1680} = \dfrac{420}{1680} = \dfrac{1}{4} \]

b. \( B \) : « Deux équipes européennes sont 1ère et 2ème »
- Europe : Allemagne, Italie, Tchéquie, Hollande, Angleterre, France (6 équipes).
- 1ère et 2ème : \( A_6^2 = 30 \).
- 3ème et 4ème : \( A_6^2 = 30 \).
\[ P(B) = \dfrac{30 \times 30}{1680} \]
(Correction nécessaire : total des arrangements pour les 4 places)
\[ P(B) = \dfrac{A_6^2 \times A_6^2}{A_8^4} = \dfrac{30 \times 30}{1680} = \dfrac{900}{1680} = \dfrac{15}{28} \]

c. \( C \) : « Les deux premières ne sont pas du même continent »
- Complément : deux premières du même continent.
- Europe : \( A_6^2 = 30 \).
- Amérique du Sud : \( A_2^2 = 2 \).
- Total : \( 32 \).
\[ P(C) = 1 - \dfrac{32}{1680} = \dfrac{1648}{1680} = \dfrac{103}{105} \]