Correction Exercice probabilité - TL
Exercice 1
Énoncé :
Dans une classe, 80% des élèves aiment les SVT, 20% aiment les maths, et 15% aiment les deux.
On cherche à déterminer :
1. La proportion d’élèves qui aiment **les SVT mais pas les maths**.
2. La proportion d’élèves qui aiment **les maths mais pas les SVT**.
3. La proportion d’élèves qui **n’aiment ni les SVT ni les maths**.
4. La proportion d’élèves qui aiment **au moins l’une des deux matières**.
Données :
- \( P(S) = 0{,}80 \) (SVT)
- \( P(M) = 0{,}20 \) (Maths)
- \( P(S \cap M) = 0{,}15 \) (Les deux)
1. SVT mais pas maths :
\[
P(S \cap \overline{M}) = P(S) - P(S \cap M) = 0{,}80 - 0{,}15 = 0{,}65 \Rightarrow \frac{13}{20}
\]
2. Maths mais pas SVT :
\[
P(M \cap \overline{S}) = P(M) - P(S \cap M) = 0{,}20 - 0{,}15 = 0{,}05 \Rightarrow \frac{1}{20}
\]
3. Ni SVT ni maths :
\[
P(\overline{S} \cap \overline{M}) = 1 - P(S \cup M) = 1 - \left[P(S) + P(M) - P(S \cap M)\right]
= 1 - (0{,}80 + 0{,}20 - 0{,}15) = 1 - 0{,}85 = 0{,}15 \Rightarrow \frac{3}{20}
\]
4. Au moins l'une des deux matières :
\[
P(S \cup M) = P(S) + P(M) - P(S \cap M) = 0{,}80 + 0{,}20 - 0{,}15 = 0{,}85 \Rightarrow \frac{17}{20}
\]
Exercice 2 : Probabilités dans un jury de professeurs
Pour résoudre ces problèmes de probabilité, on utilise les combinatoires (choix sans ordre et sans remise). Le total de professeurs est :
- 7 de français
- 2 de philosophie
- 6 d'anglais
→ Total : \( 7 + 2 + 6 = 15 \)
→ Jury de 5 professeurs à choisir
Le nombre total de jurys possibles est :
\[
\binom{15}{5}
\]
A. Probabilité d’avoir 2 profs d’anglais et 3 de français
On calcule le nombre de façons de choisir :
- 2 professeurs d’anglais parmi 6 : \(\binom{6}{2}\)
- 3 professeurs de français parmi 7 : \(\binom{7}{3}\)
→ Nombre de jurys correspondants :
\[
\binom{6}{2} \cdot \binom{7}{3}
\]
→ Probabilité :
\[
P_A = \frac{\binom{6}{2} \cdot \binom{7}{3}}{\binom{15}{5}} = \frac{15 \cdot 35}{3003} = \frac{525}{3003} \approx 0{,}1748
\]
B. Probabilité que tous les profs soient de la même discipline
Cas possibles :
- 5 profs de français : \(\binom{7}{5}\)
- 5 profs de philosophie : impossible, il y en a seulement 2
- 5 profs d’anglais : \(\binom{6}{5}\)
Donc :
\[
\text{Cas favorables} = \binom{7}{5} + \binom{6}{5} = 21 + 6 = 27
\]
→ Probabilité :
\[
P_B = \frac{27}{\binom{15}{5}} = \frac{27}{3003} \approx 0{,}009
\]
C. Probabilité d’avoir autant de profs d’anglais que de philosophie
Les profs de philosophie sont au nombre de 2 maximum, donc les seuls cas où anglais = philo sont :
Cas 1 : 0 anglais, 0 philo → tous français → \(\binom{7}{5}\)
Cas 2 : 1 anglais, 1 philo → 3 français
\[
\binom{6}{1} \cdot \binom{2}{1} \cdot \binom{7}{3} = 6 \cdot 2 \cdot 35 = 420
\]
Cas 3 : 2 anglais, 2 philo → 1 français
\[
\binom{6}{2} \cdot \binom{2}{2} \cdot \binom{7}{1} = 15 \cdot 1 \cdot 7 = 105
\]
→ Total cas favorables :
\[
\binom{7}{5} + 420 + 105 = 21 + 420 + 105 = 546
\]
→ Probabilité :
\[
P_C = \frac{546}{3003} \approx 0{,}1818
\]
Résumés des probabilités :
- A (2 anglais, 3 français) : environ 17,5 %
- B (même discipline) : environ 0,9 %
- C (autant anglais que philo) : environ 18,2 %
Exercice 3 : Tirages dans une urne
On commence par établir les bases :
L’urne contient :
- 5 boules blanches
- 3 boules noires
- 2 boules rouges
→ Total : 10 boules
1ère épreuve : tirage simultané de 3 boules
Nombre total de tirages possibles (sans ordre) :
\[
\binom{10}{3} = 120
\]
A. Tirage unicolore
Un tirage unicolore signifie 3 boules de la même couleur.
Cas 1 : 3 blanches : \(\binom{5}{3} = 10\)
Cas 2 : 3 noires : \(\binom{3}{3} = 1\)
Cas 3 : 3 rouges : impossible, car seulement 2 rouges
→ Cas favorables : \(10 + 1 = 11\)
Probabilité A :
\[
P_A = \frac{11}{120} \approx 0{,}0917
\]
B. Exactement 2 boules blanches
On veut 2 blanches et une non-blanche (soit noire, soit rouge).
Deux cas :
- 2 blanches + 1 noire : \(\binom{5}{2} \cdot \binom{3}{1} = 10 \cdot 3 = 30\)
- 2 blanches + 1 rouge : \(\binom{5}{2} \cdot \binom{2}{1} = 10 \cdot 2 = 20\)
→ Cas favorables : \(30 + 20 = 50\)
Probabilité B :
\[
P_B = \frac{50}{120} = \frac{5}{12} \approx 0{,}4167
\]
C. Ne pas obtenir de boule noire
→ On tire 3 boules parmi les 7 non-noires (5 blanches + 2 rouges) :
\[
\binom{7}{3} = 35
\]
Probabilité C :
\[
P_C = \frac{35}{120} \approx 0{,}2917
\]
2ème épreuve : tirage successif de 3 boules sans remise
On va raisonner avec des probabilités conditionnelles.
D. 2 blanches suivies d’1 rouge
Ce tirage est ordonné : blanche → blanche → rouge
\[
P_D = \frac{5}{10} \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{2}{8} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 2}{10 \cdot 9 \cdot 8} = \frac{40}{720} = \frac{1}{18} \approx 0{,}0556
\]
E. Obtenir 2 blanches et 1 rouge (dans n’importe quel ordre)
On énumère les 3 ordres possibles :
1. BBR
2. BRB
3. RBB
Calculons chaque :
- BBR (déjà fait) = \(\frac{1}{18}\)
- BRB :
\[
\frac{5}{10} \cdot \frac{2}{9} \cdot \frac{4}{8} = \frac{40}{720} = \frac{1}{18}
\]
- RBB :
\[
\frac{2}{10} \cdot \frac{5}{9} \cdot \frac{4}{8} = \frac{40}{720} = \frac{1}{18}
\]
→ Total : \(3 \cdot \frac{1}{18} = \frac{1}{6} \approx 0{,}1667\)
Exercice 4 : Tirages avec remise
Abdou a :
- 5 paires noires → 10 chaussures noires
- 3 paires vertes → 6 chaussures vertes
- 2 paires rouges → 4 chaussures rouges
→ Total = 10 + 6 + 4 = 20 chaussures
Il tire 2 chaussures au hasard, sans distinction gauche/droite (elles sont indiscernables au toucher).
1. Probabilité d’avoir deux chaussures de même couleur
On cherche les façons de tirer 2 chaussures de même couleur, parmi :
- Noires : \(\binom{10}{2} = 45\)
- Vertes : \(\binom{6}{2} = 15\)
- Rouges : \(\binom{4}{2} = 6\)
→ Cas favorables : \(45 + 15 + 6 = 66\)
→ Cas possibles : \(\binom{20}{2} = 190\)
Probabilité 1 :
\[
P_1 = \frac{66}{190} \approx 0{,}3474
\]
2. Probabilité d’avoir deux chaussures de couleurs différentes
Deux chaussures, couleurs différentes :
→ Total cas possibles : \(\binom{20}{2} = 190\)
→ Cas favorables = \(190 - 66 = 124\)
Probabilité 2 :
\[
P_2 = \frac{124}{190} \approx 0{,}6526
\]
3. Probabilité d’avoir deux chaussures qu’il ne peut pas porter
Il ne peut pas porter les deux chaussures si :
- Ce sont deux chaussures de couleurs différentes, ou
- Ce sont deux chaussures de même couleur, mais même pied (ex. deux gauches ou deux droites).
Puisque les chaussures sont indiscernables au toucher, on suppose qu’il peut porter un paire uniquement si ce sont deux chaussures de même couleur et de pieds opposés.
Donc : il peut porter uniquement si c’est une vraie paire.
On suppose qu’il y a une chaussure gauche et une droite pour chaque paire.
→ Donc pour chaque couleur :
- Noires : 5 gauches, 5 droites → \(\text{paires possibles} = 5 \cdot 5 = 25\)
- Vertes : 3 gauches, 3 droites → \(3 \cdot 3 = 9\)
- Rouges : 2 gauches, 2 droites → \(2 \cdot 2 = 4\)
→ Total paires réelles possibles = \(25 + 9 + 4 = 38\)
Donc probabilité de pouvoir porter les chaussures (réelle paire) :
\[
P_4 = \frac{38}{190} = 0{,}2
\]
Donc probabilité de ne pas pouvoir porter :
\[
P_3 = 1 - P_4 = 1 - 0{,}2 = 0{,}8
\]
4. Probabilité que les chaussures soient portables (vraie paire)
Réponse ci-dessus : 0,2 ou 20 %
Exercice 6 : Tirages de poissons
Analysons chaque question étape par étape.
L’aquarium contient :
- 5 poissons rouges
- 3 poissons bleus
- 2 poissons verts
→ Total = 10 poissons
1. Tirage simultané de 3 poissons
Nombre total de tirages possibles :
\[
\binom{10}{3} = 120
\]
A. Tirage unicolore
3 poissons de même couleur :
- 3 rouges : \(\binom{5}{3} = 10\)
- 3 bleus : \(\binom{3}{3} = 1\)
- 3 verts : impossible (seulement 2)
→ Cas favorables : \(10 + 1 = 11\)
Probabilité A :
\[
P_A = \frac{11}{120} \approx 0{,}0917
\]
B. Exactement 2 poissons rouges
→ 2 rouges + 1 non-rouge (bleu ou vert)
- 2 rouges + 1 bleu : \(\binom{5}{2} \cdot \binom{3}{1} = 10 \cdot 3 = 30\)
- 2 rouges + 1 vert : \(\binom{5}{2} \cdot \binom{2}{1} = 10 \cdot 2 = 20\)
→ Cas favorables : \(30 + 20 = 50\)
Probabilité B :
\[
P_B = \frac{50}{120} = \frac{5}{12} \approx 0{,}4167
\]
C. Ne pas obtenir de poisson vert
On tire 3 parmi les 8 non-verts (rouges + bleus = 5 + 3 = 8)
→ Cas favorables : \(\binom{8}{3} = 56\)
Probabilité C :
\[
P_C = \frac{56}{120} \approx 0{,}4667
\]
D. Obtenir au plus 2 poissons rouges
C’est le complément de “3 rouges” :
- \(\binom{5}{3} = 10\)
→ Cas défavorables = 10
→ Cas favorables = \(120 - 10 = 110\)
Probabilité D :
\[
P_D = \frac{110}{120} = \frac{11}{12} \approx 0{,}9167
\]
E. Ne pas obtenir de vert et exactement un bleu
→ Seulement rouges et bleus (8 poissons)
→ On veut 1 bleu + 2 rouges :
\[
\binom{3}{1} \cdot \binom{5}{2} = 3 \cdot 10 = 30
\]
Probabilité E :
\[
P_E = \frac{30}{120} = 0{,}25
\]
2. Tirage successif sans remise de 3 poissons
Utilisons les probabilités conditionnelles
F. Obtenir 2 rouges et 1 vert (ordre indifférent)
On examine les 3 cas d’ordre :
Cas 1 : R R V
\[
\frac{5}{10} \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{2}{8} = \frac{40}{720} = \frac{1}{18}
\]
Cas 2 : R V R
\[
\frac{5}{10} \cdot \frac{2}{9} \cdot \frac{4}{8} = \frac{40}{720} = \frac{1}{18}
\]
Cas 3 : V R R
\[
\frac{2}{10} \cdot \frac{5}{9} \cdot \frac{4}{8} = \frac{40}{720} = \frac{1}{18}
\]
→ Total : \(3 \cdot \frac{1}{18} = \frac{1}{6} \approx 0{,}1667\)
G. Obtenir au moins un poisson rouge
Complément de l’événement “aucun rouge”
→ donc tous bleus ou verts : 3 bleus, 2 verts → 5 poissons
\[
\text{Cas sans rouge} = \binom{5}{3} = 10
\]
Probabilité complémentaire :
\[
P(\text{au moins un rouge}) = 1 - \frac{10}{\binom{10}{3}} = 1 - \frac{10}{120} = \frac{110}{120} = \frac{11}{12} \approx 0{,}9167
\]
H. Tirage tricolore (rouge, bleu, vert)
On tire un de chaque couleur → ordre indifférent
Nombres de façons :
\[
\binom{5}{1} \cdot \binom{3}{1} \cdot \binom{2}{1} = 5 \cdot 3 \cdot 2 = 30
\]
Mais comme l’ordre compte dans un tirage successif, on multiplie par le nombre de permutations possibles des 3 poissons : \(3! = 6\)
→ Cas favorables = \(30 \cdot 6 = 180\)
Nombre total de tirages successifs :
\[
10 \cdot 9 \cdot 8 = 720
\]
Probabilité H :
\[
P_H = \frac{180}{720} = \frac{1}{4} = 0{,}25
\]
Exercice 7 : Tirages de poissons (sexe et couleur)
Analysons la situation :
Aquarium :
- 7 poissons bleus → dont 1 femelle, donc 6 mâles
- 5 poissons jaunes → dont 3 femelles, donc 2 mâles
- Total poissons = 7 + 5 = 12
1. Nombre total de tirages possibles
On tire successivement sans remise 3 poissons.
Donc, nombre total de tirages ordonnés :
\[
12 \times 11 \times 10 = 1320
\]
2. Calcul des probabilités
On analyse chaque événement.
A. Tous les poissons du même sexe
Deux cas :
- 3 mâles : il y a \(6 + 2 = 8\) mâles
- 3 femelles : il y a \(1 + 3 = 4\) femelles
Cas favorables :
- 3 mâles : \(8 \cdot 7 \cdot 6 = 336\)
- 3 femelles : \(4 \cdot 3 \cdot 2 = 24\)
→ Total = \(336 + 24 = 360\)
Probabilité A :
\[
P_A = \frac{360}{1320} = \frac{3}{11} \approx 0{,}2727
\]
B. 2 poissons jaunes et 2 mâles exactement
On tire 3 poissons → mais on nous parle de 2 jaunes et 2 mâles
→ Donc l'un des jaunes est mâle, l’autre femelle, et le 3e poisson est d’une autre couleur (bleu) et mâle.
Configuration possible :
- 1 jaune mâle
- 1 jaune femelle
- 1 bleu mâle
Comptons les combinaisons possibles (en tenant compte de l’ordre) :
- Choisir 1 jaune mâle (2 choix)
- Choisir 1 jaune femelle (3 choix)
- Choisir 1 bleu mâle (6 choix)
Nombre de sélections :
\[
2 \cdot 3 \cdot 6 = 36
\]
Nombre de permutations des 3 poissons : \(3! = 6\)
→ Cas favorables : \(36 \cdot 6 = 216\)
Probabilité B :
\[
P_B = \frac{216}{1320} = \frac{18}{110} = \frac{9}{55} \approx 0{,}1636
\]
C. 3 poissons de même couleur
Deux couleurs possibles : bleu ou jaune
- 3 bleus : \(\binom{7}{3} = 35\)
- 3 jaunes : \(\binom{5}{3} = 10\)
Mais ici on veut un tirage ordonné, donc pour chaque combinaison, \(3! = 6\) ordres.
→ Cas favorables = \((35 + 10) \cdot 6 = 270\)
Probabilité C :
\[
P_C = \frac{270}{1320} = \frac{9}{44} \approx 0{,}2045
\]
D. Même couleur et même sexe
On explore toutes les possibilités :
Bleus mâles : 6 poissons
→ \(\binom{6}{3} = 20\) combinaisons
→ En tenant compte de l’ordre : \(20 \cdot 6 = 120\)
Bleues femelles : 1 → impossible
Jaunes mâles : 2 → impossible pour 3 poissons
Jaunes femelles : 3
→ \(\binom{3}{3} = 1\) combinaison
→ Ordres = \(1 \cdot 6 = 6\)
→ Total cas favorables = \(120 + 6 = 126\)
Probabilité D :
\[
P_D = \frac{126}{1320} = \frac{21}{220} \approx 0{,}0955
\]
E. Aucun femelle, exactement 1 jaune
Interprétation :
- Tous mâles
- Un seul jaune mâle
- Deux bleus mâles
Répartition :
- 1 jaune mâle (2 choix)
- 2 bleus mâles (choisis parmi 6) → \(\binom{6}{2} = 15\)
→ Sélections : \(2 \cdot 15 = 30\)
→ Ordres : \(30 \cdot 6 = 180\)
Probabilité E :
\[
P_E = \frac{180}{1320} = \frac{3}{22} \approx 0{,}1364
\]
Exercice 8 : Tirages de nombres
Traiterons ces deux exercices séparément et en détail.
Exercice 1 : Tirage de 3 nombres parmi 1 à 50
On tire simultanément 3 nombres distincts parmi 1 à 50.
1. Nombre total de tirages possibles
\[
\binom{50}{3} = \frac{50 \times 49 \times 48}{3 \times 2 \times 1} = 19600
\]
2a. Probabilité qu'aucun multiple de 5 ne soit tiré
Multiples de 5 entre 1 et 50 :
\(5, 10, 15, \dots, 50\) → \(\frac{50}{5} = 10\) nombres
→ Donc, 40 nombres non multiples de 5
→ Nombre de tirages sans multiples de 5 :
\[
\binom{40}{3} = \frac{40 \times 39 \times 38}{6} = 9880
\]
Probabilité (aucun multiple de 5) :
\[
P_A = \frac{9880}{19600} = \frac{247}{490} \approx 0{,}5041
\]
2b. Probabilité d'au moins un multiple de 5
C’est le complément de (a) :
\[
P_B = 1 - P_A = 1 - \frac{247}{490} = \frac{243}{490} \approx 0{,}4959
\]
Exercice 9 : Pochettes de timbres
Le marchand a :
- 10 timbres sénégalais
- 20 timbres mauritaniens
- 15 timbres gambiens
→ Total : 45 timbres
Il constitue des pochettes de 4 timbres
1. Pochettes avec 4 timbres d’un même pays
Trois cas :
- Sénégalais : \(\binom{10}{4} = 210\)
- Mauritaniens : \(\binom{20}{4} = 4845\)
- Gambiens : \(\binom{15}{4} = 1365\)
Total :
\[
210 + 4845 + 1365 = 6420
\]
Exercice 11 : Tirages de boules
1. Tirage unique de deux boules
Données :
- 6 boules blanches (B)
- 4 boules noires (N)
- Total : 10 boules
Le tirage consiste à prélever 2 boules simultanément. On suppose que tous les tirages sont équiprobables, donc on travaille avec des combinaisons (ordre non important).
Nombre total de tirages possibles :
\[
\binom{10}{2} = \frac{10 \times 9}{2} = 45
\]
Événement A : « deux boules blanches »
\[
\binom{6}{2} = \frac{6 \times 5}{2} = 15
\]
\[
P(A) = \frac{15}{45} = \frac{1}{3}
\]
Événement B : « deux boules noires »
\[
\binom{4}{2} = \frac{4 \times 3}{2} = 6
\]
\[
P(B) = \frac{6}{45} = \frac{2}{15}
\]
Événement C : « deux boules de couleurs différentes »
Cela correspond à tirer 1 blanche et 1 noire :
\[
\binom{6}{1} \times \binom{4}{1} = 6 \times 4 = 24
\]
\[
P(C) = \frac{24}{45} = \frac{8}{15}
\]
Somme des probabilités :
\[
P(A) + P(B) + P(C) = \frac{1}{3} + \frac{2}{15} + \frac{8}{15}
= \frac{5}{15} + \frac{2}{15} + \frac{8}{15} = \frac{15}{15} = 1
\]
La somme est bien 1.
2. Deux tirages successifs avec remise
Chaque tirage est indépendant car les boules sont remises dans l'urne.
Rappel :
Un succès = tirer deux boules blanches lors d’un tirage.
D'après la question 1, on sait :
\[
P(\text{succès}) = \frac{1}{3} \quad \text{et donc} \quad P(\text{échec}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}
\]
On fait deux tirages successifs, indépendants.
a. Probabilité d’obtenir deux succès :
\[
P(\text{succès au 1er}) \times P(\text{succès au 2ᵉ}) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9}
\]
b. Probabilité d’obtenir un seul succès :
Deux cas :
- Succès au 1er et échec au 2ᵉ : \(\frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{9}\)
- Échec au 1er et succès au 2ᵉ : \(\frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{9}\)
\[
P(\text{1 seul succès}) = \frac{2}{9} + \frac{2}{9} = \frac{4}{9}
\]
c. Probabilité de n’obtenir aucun succès :
\[
P(\text{échec au 1er}) \times P(\text{échec au 2ᵉ}) = \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{9}
\]
Somme des probabilités :
\[
\frac{1}{9} + \frac{4}{9} + \frac{4}{9} = \frac{9}{9} = 1
\]
La somme est également 1.
Exercice 12 : Tirages de jetons pour former des mots
L’urne contient 7 jetons :
\[
\{S, N, G, H, O, E, R\}
\]
Les voyelles sont : O et E
→ donc 2 voyelles sur les 7 lettres.
1. Tirages avec remise – mots de 5 lettres
On tire 5 lettres successivement avec remise, donc chaque tirage a 7 possibilités.
Le nombre total de mots possibles de 5 lettres (avec répétition et ordre) est :
\[
7^5 = 16807
\]
1.a. Mot commençant par une voyelle
Il y a 2 voyelles (O, E).
Pour le 1er tirage (la 1re lettre), on veut une voyelle : 2 choix
Les 4 lettres suivantes peuvent être n'importe lesquelles parmi les 7 :
\[
7^4 = 2401
\]
Donc nombre de mots commençant par une voyelle :
\[
2 \times 7^4 = 2 \times 2401 = 4802
\]
Probabilité :
\[
P = \frac{4802}{16807}
\]
1.b. Mot commençant par S, finissant par R, et contenant exactement une voyelle
Contraintes :
- 1re lettre : S (1 choix)
- 5e lettre : R (1 choix)
- Le mot contient exactement une voyelle, placée entre les positions 2 à 4.
Donc :
Étapes :
- Positions 2, 3, 4 doivent contenir exactement une voyelle.
- On choisit 1 position parmi ces 3 pour y mettre la voyelle : \( \binom{3}{1} = 3 \)
- Cette voyelle peut être O ou E → 2 choix
- Les 2 autres positions parmi 2,3,4 (qui ne contiennent pas la voyelle) doivent contenir une consonne parmi les 5 : \(5 \text{ choix chacune} = 5 \times 5 = 25\)
Donc, nombre total de mots :
\[
1 \text{ (S)} \times 3 \text{ (positions de la voyelle)} \times 2 \text{ (voyelles)} \times 25 \text{ (consonnes)} \times 1 \text{ (R)} = 150
\]
Probabilité :
\[
P = \frac{150}{16807}
\]
2. Tirages sans remise – mots de 7 lettres
On tire les 7 jetons sans remise, donc on forme des permutations des 7 lettres.
\[
\text{Nombre total de mots} = 7! = 5040
\]
2.a. Mot commençant et finissant par une voyelle
Voyelles disponibles : O, E → 2 lettres
On veut des mots de 7 lettres qui commencent et finissent par une voyelle.
Étapes :
- Choisir 2 voyelles différentes (car sans remise) pour les 1re et 7e positions :
Il y a 2! = 2 façons de placer O et E en positions 1 et 7.
- Il reste 5 lettres à permuter parmi les 5 consonnes : S, N, G, H, R
→ 5! = 120
Donc, nombre de mots valides :
\[
2 \times 120 = 240
\]
Probabilité :
\[
P = \frac{240}{5040} = \frac{1}{21}
\]
2.b. Probabilité de former le mot SENGHOR
Le mot SENGHOR contient exactement les 7 lettres de l'urne.
Donc il fait partie des 7! = 5040 permutations possibles.
Il n’y a qu’une seule façon d’obtenir exactement "SENGHOR".
Probabilité :
\[
P = \frac{1}{5040}
\]
Exercice 13 : Tirages de boules avec chiffres
Traçons chaque question pas à pas :
Données :
- Boules rouges (R) portant le chiffre 0 : 2 boules
- Boules noires (N) portant le chiffre 1 : 3 boules
- Boules vertes (V) portant le chiffre 2 : 6 boules
Total de 11 boules
Mais ce qui compte dans cette épreuve, c’est le chiffre porté : 0, 1 ou 2.
Le tirage est soit avec remise, soit sans remise selon la question.
1. Tirage avec remise – 3 tirages successifs
1.a. Définir l’univers \(\Omega\)
Chaque tirage produit un chiffre parmi {0, 1, 2}.
On fait 3 tirages successifs avec remise, donc :
\[
\Omega = \{ (x_1, x_2, x_3) \mid x_i \in \{0, 1, 2\} \}
\]
Il s'agit de tous les triplets de chiffres (0, 1, 2).
Cardinal de \(\Omega\) :
\[
|\Omega| = 3^3 = 27
\]
2. Probabilités (tirage avec remise)
Avant de commencer, calculons les probabilités individuelles de tirer chaque chiffre :
- \( P(0) = \frac{2}{11} \)
- \( P(1) = \frac{3}{11} \)
- \( P(2) = \frac{6}{11} \)
Événement A : "exactement une boule portant le chiffre 0"
On veut 1 seul "0", les deux autres étant 1 ou 2.
Il y a \( \binom{3}{1} = 3 \) façons de placer le "0".
Soit par exemple : (0, x, y), (x, 0, y), (x, y, 0)
Les autres deux chiffres ne doivent pas être 0, donc chacun peut être 1 ou 2.
Nombre de combinaisons possibles :
\[
3 \times P(0) \times [P(1) + P(2)]^2
= 3 \times \frac{2}{11} \times \left(\frac{3+6}{11}\right)^2
= 3 \times \frac{2}{11} \times \left(\frac{9}{11}\right)^2
= 3 \times \frac{2}{11} \times \frac{81}{121}
= \frac{6 \times 81}{11 \times 121} = \frac{486}{1331}
\]
Événement B : "exactement 2 boules portant le chiffre 1"
Même logique.
- \( \binom{3}{2} = 3 \) façons de placer les deux "1"
- L’autre chiffre est ≠1, donc 0 ou 2
\[
3 \times \left(\frac{3}{11}\right)^2 \times \left(\frac{2+6}{11}\right)
= 3 \times \frac{9}{121} \times \frac{8}{11}
= \frac{216}{1331}
\]
Événement C : "3 boules portant le même chiffre"
Trois cas possibles : (0,0,0), (1,1,1), (2,2,2)
\[
P(0,0,0) = \left(\frac{2}{11}\right)^3 = \frac{8}{1331}
\quad
P(1,1,1) = \left(\frac{3}{11}\right)^3 = \frac{27}{1331}
\quad
P(2,2,2) = \left(\frac{6}{11}\right)^3 = \frac{216}{1331}
\]
Total :
\[
\frac{8 + 27 + 216}{1331} = \frac{251}{1331}
\]
Événement D : "exactement 2 noires"
Attention : c’est une formulation ambiguë, mais comme les noires portent le chiffre 1, c’est le même que B.
Donc :
\[
P(D) = P(B) = \frac{216}{1331}
\]
3. Même questions pour un tirage simultané (sans remise)
On tire 3 boules en une seule fois, sans remise.
3.a. Univers \(\Omega\)
On choisit 3 boules parmi les 11 sans ordre, mais pour chaque configuration, on regarde les chiffres portés.
Nombre total de tirages possibles (sans remise, sans ordre) :
\[
|\Omega| = \binom{11}{3} = 165
\]
Mais comme l'ordre n’est pas spécifié, il est souvent plus clair de considérer les combinaisons multiset de chiffres :
On doit compter les combinaisons valides où on tire 3 boules parmi les 11, selon leur couleur/chiffre.
A : exactement une boule portant 0
On veut 1 boule avec 0 (rouge), 2 autres boules portant ≠0 (donc chiffre 1 ou 2).
- Choisir 1 rouge parmi 2 : \( \binom{2}{1} = 2 \)
- Reste à choisir 2 boules parmi les 9 autres (noires et vertes), portant 1 ou 2 :
- Il y a \( \binom{9}{2} = 36 \)
\[
\text{Cas total} = 2 \times 36 = 72
\Rightarrow P = \frac{72}{165}
\]
B / D : exactement 2 boules portant le chiffre 1
Il y a 3 boules portant 1 (noires), donc on peut choisir 2 parmi 3 : \( \binom{3}{2} = 3 \)
La 3e boule doit porter un chiffre ≠1, donc 0 ou 2 → parmi les 8 autres boules :
- Choix : 3 × 8 = 24
\[
P = \frac{24}{165}
\]
C : 3 boules portant le même chiffre
Trois cas :
- Trois "0" : impossible, il y a seulement 2 boules rouges.
- Trois "1" : possible, il y a 3 noires → \( \binom{3}{3} = 1 \)
- Trois "2" : possible, il y a 6 vertes → \( \binom{6}{3} = 20 \)
Total cas : \(1 + 20 = 21\)
\[
P = \frac{21}{165}
\]
Résumé des probabilités (tirage sans remise)
| Événement | Probabilité |
||-|
| A : exactement une boule portant 0 | \( \frac{72}{165} \approx 0{,}436 \) |
| B / D : exactement 2 boules portant 1 | \( \frac{24}{165} \approx 0{,}145 \) |
| C : 3 boules portant même chiffre | \( \frac{21}{165} \approx 0{,}127 \) |
Exercice 14 : Test de sélection
Données :
- Il y a 10 questions indépendantes
- Chaque question a 3 choix de réponse (1 bonne + 2 mauvaises)
- Le candidat répond au hasard à chaque question
1. Probabilité de répondre correctement à une question
Il y a 1 bonne réponse parmi 3, donc :
\[
P(\text{bonne réponse}) = \frac{1}{3}
\]
2. Probabilité de donner les réponses exactes aux 10 questions
Les questions sont indépendantes, donc :
\[
P(\text{10 bonnes réponses}) = \left(\frac{1}{3}\right)^{10} = \frac{1}{3^{10}} = \frac{1}{59049}
\]
3. Probabilités spécifiques
a. Toutes les réponses sont fausses
Pour une seule question,
\[
P(\text{fausse réponse}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}
\]
Pour 10 questions :
\[
P(\text{10 fausses réponses}) = \left(\frac{2}{3}\right)^{10} = \frac{1024}{59049}
\]
b. Toutes les réponses sont exactes
C’est le même cas que (2) :
\[
P(\text{10 bonnes réponses}) = \frac{1}{59049}
\]
Exercice 15 : Baccalauréat histogéo
Données :
- Histoire : 15 chapitres, 11 étudiés.
- Géographie : 12 chapitres, 10 étudiés.
- Questions : 2 histoire, 2 géographie.
- Candidat ne traite qu'une question par discipline.
1. A : Ne sait traiter aucune question :
- Histoire : ne sait pas 4 chapitres.
- Géographie : ne sait pas 2 chapitres.
- P(A) = (4/15 × 3/14) × (2/12 × 1/11) ≈ 0,00086.
2. B : Sait traiter toutes les questions :
- P(B) = (11/15 × 10/14) × (10/12 × 9/11) ≈ 0,3571.
3. C : Sait traiter au moins une question :
- Complémentaire à A : 1 - 0,00086 ≈ 0,9991.
4. D : Sait traiter au moins une histoire et une géographie :
- P(au moins 1 histoire) = 1 - (4/15 × 3/14) ≈ 0,9429.
- P(au moins 1 géographie) = 1 - (2/12 × 1/11) ≈ 0,9848.
- P(D) ≈ 0,9429 × 0,9848 ≈ 0,9286.
Réponses :
1. ≈ 0,00086.
2. ≈ 0,3571.
3. ≈ 0,9991.
4. ≈ 0,9286.
Exercice 16 : Tirages de plaques "ORGANISME"
Données :
- Lettres : O, R, G, A, N, I, S, M, E (9 lettres).
- Voyelles : O, A, I, E (4).
- Consonnes : R, G, N, S, M (5).
1. Nombre de mots de 3 lettres :
- A(9,3) = 9 × 8 × 7 = 504.
2. Probabilités :
a. Trois consonnes :
- A(5,3) = 5 × 4 × 3 = 60.
- P = 60 / 504 ≈ 0,1190.
b. Trois voyelles :
- A(4,3) = 24.
- P = 24 / 504 ≈ 0,0476.
c. Au moins une voyelle :
- Complémentaire : aucune voyelle (trois consonnes) : 60.
- P = 1 - 60/504 ≈ 0,8810.
d. Mot "mer" :
- Un seul cas.
- P = 1 / 504 ≈ 0,0020.
e. Lettres du mot "mer" (dans n'importe quel ordre) :
- Permutations : 3! = 6.
- P = 6 / 504 ≈ 0,0119.
Réponses :
1. 504.
2. a. ≈ 0,1190 ; b. ≈ 0,0476 ; c. ≈ 0,8810 ; d. ≈ 0,0020 ; e. ≈ 0,0119.
Exercice 17 : Tirages de jetons
Données :
- 4 verts (2), 3 blancs (0), 1 bleu (0), 2 rouges (non spécifié).
- Total : 10 jetons.
1. Tirage d'un jeton :
a. Jeton vert :
- P = 4/10 = 0,4.
b. Numéro 0 :
- Blancs et bleu : 3 + 1 = 4.
- P = 4/10 = 0,4.
2. Tirage simultané de 3 jetons :
a. Tous verts :
- C(4,3) / C(10,3) = 4 / 120 ≈ 0,0333.
b. Au moins 2 verts :
- C(4,2) × C(6,1) + C(4,3) = 6 × 6 + 4 = 40.
- P = 40 / 120 ≈ 0,3333.
3. Tirages successifs sans remise :
a. Vert puis rouge puis blanc :
- P = (4/10) × (2/9) × (3/8) = 24 / 720 ≈ 0,0333.
b. Un seul jeton portant le numéro 0 :
- Numéro 0 : blancs et bleu (4 jetons).
- Numéro non 0 : verts et rouges (6 jetons).
- C(4,1) × C(6,2) = 4 × 15 = 60.
- P = 60 / 120 = 0,5.
Réponses :
1. a. 0,4 ; b. 0,4.
2. a. ≈ 0,0333 ; b. ≈ 0,3333.
3. a. ≈ 0,0333 ; b. 0,5.
Exercice 18 : Classement de lutteurs
Données :
- 8 lutteurs dont Bombardier Yékini et Tyson.
- Classement des 3 premiers.
1. Nombre de classements possibles :
- A(8,3) = 8 × 7 × 6 = 336.
2. Probabilités :
a. E : Bombardier parmi les 3 :
- Nombre de classements avec Bombardier : 3 × A(7,2) = 3 × 42 = 126.
- P(E) = 126 / 336 = 0,375.
b. F : Bombardier est premier :
- Bombardier premier, autres : A(7,2) = 42.
- P(F) = 42 / 336 = 0,125.
c. G : Tyson, Bombardier, Yékini dans le désordre :
- Permutations des 3 : 3! = 6.
- P(G) = 6 / 336 ≈ 0,0179.
Réponses :
1. 336.
2. a. 0,375 ; b. 0,125 ; c. ≈ 0,0179.
Exercice 19 : Tirages de jetons pour former des mots
Données :
- Jetons : A, T, E, H, M, U, X (7 lettres).
- Voyelles : A, E, U (3).
1. Tirages successifs avec remise (4 lettres) :
a. Nombre de mots :
- 7^4 = 2401.
b. Probabilités :
F : Commence par une consonne :
- Consonnes : T, H, M, X (4).
- P = 4/7 ≈ 0,5714.
G : Commence par M et une seule voyelle :
- Structure : M _ _ _ avec une voyelle parmi les 3 dernières positions.
- Nombre de cas :
- Voyelle en position 2 : M V C C → 3 × 4 × 4.
- Voyelle en position 3 : M C V C → 4 × 3 × 4.
- Voyelle en position 4 : M C C V → 4 × 4 × 3.
- Total : 3 × (3 × 16) = 144.
- P = 144 / 2401 ≈ 0,0600.
2. Tirages successifs sans remise (7 lettres) :
a. Nombre de mots :
- 7! = 5040.
b. Probabilités :
H : Commence et finit par une consonne :
- Consonnes : T, H, M, X (4).
- Première lettre : 4 choix.
- Dernière lettre : 3 choix.
- Autres lettres : 5! = 120.
- Total : 4 × 3 × 120 = 1440.
- P = 1440 / 5040 ≈ 0,2857.
G : Mot "MATHEUX" :
- Un seul cas.
- P = 1 / 5040 ≈ 0,0002.
Réponses :
1. a. 2401 ; b. F ≈ 0,5714 ; G ≈ 0,0600.
2. a. 5040 ; b. H ≈ 0,2857 ; G ≈ 0,0002.
Exercice 20 : Tirages de boules
Données :
- 4 rouges (R), 3 noires (N), 2 vertes (V).
- Total : 9 boules.
I. Tirages successifs avec remise :
1. Nombre de tirages de 2 boules :
- 9 × 9 = 81.
2. Probabilités :
A : Deux rouges :
- (4/9)^2 ≈ 0,1975.
B : Verte puis noire :
- (2/9) × (3/9) ≈ 0,0741.
C : Deux boules de même couleur :
- R : (4/9)^2 = 16/81.
- N : (3/9)^2 = 9/81.
- V : (2/9)^2 = 4/81.
- Total : 29/81 ≈ 0,3580.
D : Couleurs différentes :
- Complémentaire : 1 - 0,3580 ≈ 0,6420.
E : Trois rouges (incohérent avec 2 tirages) :
- Probablement une erreur dans l'énoncé.
II. Tirages simultanés de 3 boules :
1. Nombre de tirages :
- C(9, 3) = 84.
2. Probabilité d'au moins une verte :
- Complémentaire : aucune verte : C(7,3) = 35.
- P = 1 - 35/84 ≈ 0,5833.
Réponses :
I. 1. 81 ; 2. A ≈ 0,1975 ; B ≈ 0,0741 ; C ≈ 0, Exercice 1 : Probabilités dans une classe de Terminale
Données :
- 80% aiment les SVT.
- 20% aiment les maths.
- 15% aiment les SVT et les maths.
On peut représenter cela avec un diagramme de Venn.
1. Probabilité qu'un élève aime les SVT mais pas les maths :
- P(SVT seulement) = P(SVT) - P(SVT et maths) = 80% - 15% = 65%.
2. Probabilité qu'un élève aime les maths mais pas les SVT :
- P(Maths seulement) = P(Maths) - P(SVT et maths) = 20% - 15% = 5%.
3. Probabilité qu'un élève n'aime ni les SVT ni les maths :
- P(Ni SVT ni Maths) = 100% - P(SVT seulement) - P(Maths seulement) - P(SVT et Maths) = 100% - 65% - 5% - 15% = 15%.
Réponses :
1. 65% ou 0,65.
2. 5% ou 0,05.
3. 15% ou 0,15.
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