Concours d'entrée en $F_{1}A$ 2000

Exercice 1

 

Déterminer toutes les valeurs de l'entier naturel $n$ pour lesquelles $n+1\;,n+9\;,n+13$ et $n+15$ sont tous premiers. 

 

(On pourra utiliser la congruence modulo 5)

 

Exercice 2

 

soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés sur $\mathbb{R}$ et $F$ une application de $E$ sur $F$ qui vérifie: $\forall(x\;,y)\in E^{\supsetneq}\;,f(x+y)=f(x)+f(x)$

 

Montrer que si $f$ est continue à l'origine $O_{E}$ alors $f$ est linéaire.

 

Exercice 3

 

Pour tout réel $t$ on note $E_{(t)}$ la partie entier de $t.$

 

On considère la fonction de $f$ définie sue $[0\;,2\pi]$ par : $f(x)=\sin[xE\left(\dfrac{\pi}{x}\right)]$ si $x\in]0\;,2\pi]$ et $f(0)=0$

 

1. Étudier la continuité de $f$ en $0$

 

2. Résoudre dans $[0\;,2\pi]$ l'équation $E\left(\dfrac{\pi}{x}\right)=0$ puis l'équation $E\left(\dfrac{\pi}{x}\right)=k$ où $k$ est un entier naturel et non nul.

 

Expliciter $f$ les intervalles $]\dfrac{\pi}{3}\dfrac{\pi}{2}]$ et $]\dfrac{\pi}{2}\pi]$

 

Exercice 4

 

1. Pour tout entier naturel $n$ non nul on pose $U_{n}=\int_{\lim\limits_{0}^{+\infty}}\dfrac{|\sin t|}{t}dt$

 

Exercice 5

 

$\left(U_{n}\right)$ est une suite numérique ayant une limite quant $n$ tend vers l'infini,$P(n)$ une propriété à dépendant de l'entier naturel $n$

 

Pour démontrer que $[\left(U_{n}\right)\text{ converge }]\Rightarrow P(n)$

 

puis que $[\left(U_{n}\text{tend vers }+\infty\right)\Rightarrow\overline{P(n)}]\;,\overline{P(n)}$ étant la négation de la propriété $P(n)$

 

Le candidat a-t-il raison de procéder ainsi ? Justifier.

 

Exercice 6

 

1. Résoudre dans $2/7Z$ l'équation : $x^{2}+5=0$

 

2. Soient $O$ un point fixé du plan $(P)$ et $G$ l'ensemble des rotations $r_{n}$ de centre $O$ et d'angle $n\dfrac{2\pi}{7}\ ;\ n\in Z$

 

a. Montrer que $G={r_{n}\;, n\in{0\;,1\;,2\;,3\;,4\;,5\;,6}}$

 

b. Montrer que $G$ muni de la loi $o$ est un groupe abélien.

 

c. On pose $r_{n}-r_{m}=r_{nm}\;,n\;,m\in Z.$

 

Montrer que $(G\;,O)$ est un anneau commutatif.

 

d. Soit $f$ l'application de $Z$ dans $G$ définie par : $n\rightarrow\,f(n)=r_{n}$ Montrer que $f$ est un homonorphisme d'anneaux surjectif

 

e. Montrer que $G$ est isomoephe à $Z/7Z$, en déduire que $G$ est un corps 

 

3. On pose $h=r_{n^{2}}+7n+5$

 

Pour quelle valeurs de $n$, $h$ est-elle égale à l'identité ?

 

Exercice 7

 

Soit $f$ fonction numérique à variable réelle définie et continue sur $\mathbb{R}.$ 

 

Démontrer que l'ensemble des réels tels que $f(x)$ est non nul est un ouvert de $\mathbb{R}$ muni de la topologie usuelle