Chapitre 9 : Dénombrement-Probabilité - TL

 

$\bullet\ $Restituer une suite à $p$ éléments distincts ou non.

$\bullet\ $Calculer le nombre de suites à $p$ éléments distincts ou non.

$\bullet\ $Restituer une partie à $p$ éléments.

$\bullet\ $Calculer le nombre de paries à  $p$ éléments.

$\bullet\ $Calculer la probabilité d'un événement dans le cas d'équiprobabilité.

Pré-requis :

$\bullet\ $Notion d'ensemble.

Supports didactiques :  

$\bullet\ $Programme sénégalais.

Plan du chapitre
 
I. Dénombrement

1. Notion d'ensemble fini
 
a. Exemple  

b. Remarque

2. Parties d'un ensemble
 
a. Définition

b. Intersection de deux ensembles  

c. Réunion de deux ensembles

d. Complémentaire d'une partie d'un ensemble

3. Outils de dénombrement

a. p-listes

i. Définition et exemple  

ii. Propriété  

iii. Tirages successifs avec remise

b. Arrangement

i. Définition et exemple
 
ii. Propriété  

iii.Tirages successifs sans remise

c. Combinaison

i. Définition et exemple
 
ii.Propriété  

iii.Tirages simultanés

4. Exercice d'application

1. Expérience aléatoire et univers  

a. Exemple

b. Éventualité d'une épreuve

c. Événement d'une épreuve

i. Remarque
 
iii. Évènement « $A$ et $B$ » ; événement « $A$ ou $B$ »
               
iv. Évènement  contraire

2. Notion de probabilité

i.Hypothèse d'équiprobabilité

ii. Propriété
 
iii. Remarque
 
iv. Propriétés

Exercice d'application $\text{(Bac }2013)$
 
1. Notion d'ensemble fini

$\bullet\ $Un ensemble est une réunion d'objets distincts.

Chaque objet de l'ensemble est appelé
élément de l'ensemble.

Il est souvent noté par une lettre majuscule.

$\bullet\ $Lorsque $E$ désigne un ensemble, le nombre d'éléments de $E$ est dit cardinal de $E$ et est noté $\text{card }(E)$
 
a. Exemple  

Soit $E$, l'ensemble des lettres du nom de famille « fall ».
 
$\bullet\ $Les éléments de $E$ sont les lettres : $f$ ; a et $l.$

On note $\begin{array}{rcl} E&=&\left\lbrace f\ ;\ a\ ;\ l\right\rbrace\\&=&\left\lbrace f\ ;\ l\ ;\ a\right\rbrace\\&=&\left\lbrace a\ ;\ l\ ;\ f\right\rbrace\\&=&\ldots \end{array}$

$\bullet\ $Le cardinal de $E$ est $E$ donc on a $\text{card }(E)=3$

$\bullet\ f$ est un élément de $E$ donc on écrit $f\in E$

$\bullet\ b$ n'est pas un élément de $E$ donc on écrit $\ no in E$

b. Remarque

Par convention, un ensemble qui ne contient aucun élément est dit ensemble vide et est noté $\emptyset$

On  a donc $\text{card}\left(\emptyset\right)=0$

Par exemple l'ensemble $E$ des élèves de la $TL2  B$  de $2018$ du lycée de Ndondol ayant pour nom de famille « fall » est l'ensemble vide.

2. Parties d'un ensemble
 
a. Définition et exemple

Un ensemble $A$ est une partie (ou sous-ensemble) d'un ensemble $E$ si tous les éléments de $A$ sont aussi des éléments de $E.$

Dans ce cas, on écrit $A \subset E.$

Soit $E$ l'ensemble des élèves du lycée de Ndondol et $A$ l'ensemble des élèves de la $TL2 B$

$A$ est une partie de $E$ car tous les élèves de $TL2 B$ sont aussi des élèves du lycée de Ndondol.
 
b. Intersection de deux ensembles
 
L'intersection de deux parties $A$ et $B$ d'un ensemble $E$ est la partie de $E$ notée $A\cap B$
 
constituée des éléments communs à $A$ et à $B.$
 
Si $A$ et $B$ n'ont aucun élément en commun alors  et on dit que $A$ et $B$ sont disjoints.
 
c. Réunion de deux ensembles

La réunion de deux parties $A$ et $B$ d'un ensemble $E$ est la partie de $E$ notée $A\cup B$ constituée des éléments qui sont : soit dans $A$ seulement, soit dans $B$ seulement, soit dans  $A\cap B$

On a les propriétés suivantes :

$\bullet\ \text{card}\left(A\cup B\right)=\text{card }(A)+\text{card }(B)-\text{card}\left(A\cap B\right)$

$\bullet\ $Si $A$ et $B$ sont disjoints alors la propriété devient $\text{card }\left(A \cup B\right)=\text{card }(A)+\text{card}(B)$

d. Complémentaire d'une partie d'un ensemble

Le complémentaire d'une partie $A$ d'un ensemble $E$ dans $E$ est la partie de $E$ notée $A$,
constituée des éléments de $E$ qui ne sont pas dans $A$
 
Par exemple si $E$ est l'ensemble des professeurs du lycée de Ndondol et $A$, l'ensemble des professeurs mariés du lycée de Ndondol alors le complémentaire de $A$ dans $A$ est $A$, l'ensemble des professeurs célibataires du lycée de Ndondol.
 
On a les propriétés suivantes :

$\bullet\ A\cap \overline{A}=\emptyset$

$\bullet\ A\cup\overline{A}=E$
 
$\bullet\ \text{card}(A)+\text{card}\left(\overline{A}\right)=\text{card}(E)$

3. Outils de dénombrement

a. p-liste

i. Définition et exemple
 
Soit $E$ un ensemble de cardinal $n$ et $p$ un entier naturel tel que $p\geq 1$

Une $p$-liste d'éléments de $E$ est une suite ordonnée de $p$ éléments distincts ou non de $E.$
 
Par exemple si $E=\left\lbrace f\ ;\ a\ ;\ l\right\rbrace$ alors

$\bullet\ (f\ ;\ f)$ ;

$(f\ ;\ a)$ ;

$(a\ ;\ f)$ ;

$(f\ ;\ l)$ ;

$(l\ ;\ f)$ ;

$(a\ ;\ a)$ ;

$(a\ ;\ l)$ ;

$(l\ ;\ a)$ et

$(l\ ;\ l)$ sont les $2$-listes d'éléments de $E$

$\bullet\ (f\ ;\ f\ ;\ a)$ ;

$(f\ ;\ a\ ;\ l)$ ;

$(a\ ;\ a\ ;\ a)$ sont des $3$-listes d'éléments de $E$

$\bullet\ (f\ ;\ a\ ;\ l)$ est une $4$- liste d'éléments de $E.$

iii. Propriété

sont Le nombre de $p$-listes d'éléments pris parmi n éléments d'un ensemble est $n^{p}$
 
Par exemple, si $E=\left\lbrace f\ ;\ a\ ;\ l\right\rbrace$ alors :

$\bullet\ $Le nombre de $2$listes d'éléments de $E$ est $3^{2}=9$
 
$\bullet\ $Le nombre de $3$-listes d'éléments de $E$ est $3^{3}=27$

$\bullet\ $Le nombre de $4$-listes d'éléments de $E$ est $3^{4}=81$
 
iii. Tirages successifs avec remise
les $2$-listes
 
Tirer successivement avec remise $p$ éléments parmi $n$ éléments d'un ensemble $E$  donné consiste à les tirer un à un mais en notant puis en remettant à chaque fois l'élément tiré avant de tirer le suivant.

A la fin des $p$ tirages successifs, on obtient une suite ordonnée de $p$ éléments distincts ou non de $E$, c'est-à-dire une $p$-liste d'éléments de $E$
 
Ainsi le nombre de tirages successifs avec remise de $p$ éléments pris parmi $n$ éléments d'un ensemble donné est $n^{p}$
 
b. Arrangement

i. Définition et exemple  

Soit $E$ un ensemble de cardinal $n$ et $p$ un entier naturel tel que $1\leq p\leq n$

Un arrangement de $p$ éléments de $E$ est une suite ordonnée de $p$ éléments distincts de $E.$
 
Par exemple si $E=\left\lbrace f\ ;\ a\ ;\ l\right\rbrace$  alors
 
$\bullet\ $ $(f\ ;\ a)$ ; $(a\ ;\ f)$ ; $(f\ ;\ l)$ ; $(l\ ;\ f)$ ; $(a\ ;\ l)$  sont les arrangements de $2$ éléments de $E$
 
$\bullet\ $ $(f\ ;\ l\ ;\ a)$ ; $(f\ ;\ a\ ;\ l)$ ; $(a\ ;\ l\ ;\ f)$ sont des arrangements de $3$ éléments de $E$
 
ii. Propriété
 
Le nombre d'arrangements de $p$ éléments pris parmi $n$ éléments d'un ensemble, noté $A_{n}^{p}\text{on lit }A n p)$ est le produit des $p$ entiers consécutifs dont le plus grand est $n$ Par exemple, si $E=\left\lbrace f\ ;\ a\ ;\ l\right\rbrace$  alors :
 
$\bullet\ $Le nombre d'arrangements de $2$ éléments de $E$ est $A_{3}^{2}=3\times 2=6$

$\bullet\ $Le nombre d'arrangements de $3$ éléments de $E$ est $A_{3}^{3}=3\times 2\times 1$

iii. Tirages successifs sans remise
 
Tirer successivement sans remise $p$ éléments  parmi $n$ éléments d'un ensemble $E$ donné consiste à les tirer un à un mais en notant puis en écartant à chaque fois l'élément tiré avant de tirer le suivant.

A la fin des $p$ tirages successifs, on obtient une suite ordonnée de $p$ éléments distincts de $E$, c'est-à-dire un arrangement de $p$ éléments de $E$

Ainsi le nombre de tirages successifs sans remise de $p$ éléments pris parmi $n$ éléments d'un ensemble donné est $A_{n}^{p}$

c. Combinaison

i. Définition et exemple  

Soit $E$ un ensemble de cardinal $n$ et $p$ un entier naturel tel que $0\leq p\leq n$

Une combinaison de $p$ éléments de $E$ est une partie de $E$ contenant $p$ éléments.

Par exemple si $E=\left\lbrace f\ ;\ a\ ;\ l\right\rbrace$ alors

$\bullet\ \left\lbrace f\right\rbrace\ ;\ \left\lbrace\right\rbrace$ et $\left\lbrace l\right\rbrace$ sont les combinaisons d'un élément de $E$

$\bullet\ \left\lbrace f\ ;\ a \right\rbrace$ ;

$\left\lbrace f\ ;\ l\right\rbrace$ et

$\left\lbrace f\ ;\ a\ ;\ l\right\rbrace$ sont les combinaisons de $2$ éléments de $E.$$

$\bullet\ E=\left\lbrace f\ ;\ a\ ;\ l\right\rbrace$ est la combinaison de $3$ éléments de $E$

ii. Propriété  

Le nombre de combinaisons de $p$ éléments pris parmi $n$ éléments d'un ensemble, noté

$C_{n}^{p}(\text{ on lit }C n p)$ est $C_{n}^{p}=\dfrac{A_{n}^{p}}{1\times 2\times 3\times\ldots\times p}$

Par exemple, si $E=\left\lbrace f\ ;\ a\ ;\ l\right\rbrace$  alors :
 
$\bullet\ $Le nombre de combinaisons de $2$ éléments de $E$ est $C_{3}^{2}=\dfrac{A_{3}^{2}}{1\times 2}=3$

$\bullet\ $Le nombre de combinaisons de $3$ éléments de $E$ est $C_{3}^{3}=\dfrac{A_{3}^{3}}{1\times 2\times 3}=1$

iii.  Tirages simultanés

Tirer simultanément $p$ éléments  parmi n$n$ éléments d'un ensemble E donné consiste à tirer les $p$ éléments d'un seul coup.

Ainsi on obtient une partie de $E$ contenant $p$ éléments c'est-à-dire une combinaison de $p$ éléments de $E$
 
Ainsi le nombre de tirages simultanés de $p$ éléments pris parmi $n$ éléments d'un ensemble
donné est $C_{n}^{p}$
 
Résumé

En dénombrement, si dans les objets à dénombrer, il y a :

$\bullet\ $de l'ordre et une possibilité de répétition d'éléments dans chaque objet alors on utilise les p-listes.

$\bullet\ $de l'ordre mais pas de répétition d'éléments dans aucun objet alors on utilise les
arrangements.
 
$\bullet\ $Pas d'ordre et pas de possibilité de répétition d'éléments dans aucun objet alors on
utilise les combinaisons.

4. Exercice d'application

1. M. Fall a oublié le mot de passe de son portable qui se trouve être un nombre entier de
$3$ chiffres choisis  parmi les chiffres de $0$ jusqu'à $9.$

Déterminer le nombre de mots de passe que M. Fall devra essayer s'il veut être sûr de décoder son téléphone.

2. Une association décide d'élire son bureau composé d'un président, d'un vice-président
et d'un trésorier.

Sachant que $10$ candidats se sont présentés et qu'il n'y a pas de cumul de poste, déterminer le nombre de bureaux possibles.

3. Le censeur décide de constituer un groupe de $10$ élèves en $TL2 B$ qui  compte $44$
élèves pour participer à la journée de nettoiement de l'école.

Déterminer toutes possibilités qui s'offrent au censeur.  

II. Probabilité

2. Expérience aléatoire et univers  

$\bullet\ $On dit qu'une expérience est aléatoire si on ne peut pas prédire avec certitude son résultat mais on peut décrire l'ensemble de tous ses résultats possibles.

Une expérience aléatoire est dite épreuve.

$\bullet\ $L'ensemble des résultats possibles d'une épreuve est appelé univers et est souvent
noté $\Omega$

d. Exemple

Quand on lance un dé cubique dont les faces sont numérotées de $1$ à $6$ puis on note le chiffre
apparu sur sa face supérieure, on a une épreuve dont l'univers $\Omega=\left\lbrace 1\ ;\ 2\ ;\ 3\ ;\ 4\ ;\ 5\ ;\ 6\right\rbrace$

e. Éventualité d'une épreuve

Dans une épreuve, on appelle éventualité, tout résultat possible de l'épreuve.

Par exemple dans l'épreuve ci-dessus $1\ ;\ 2\ ;\ 6\ldots$ sont des éventualités.

f. Événement d'une épreuve

Dans une épreuve d'univers $\Omega$, on appelle évènement, toute partie de $\Omega$ c'est-à-dire tout ensemble d'éventualités.

Par exemple dans l'épreuve ci-dessus d'univers $\Omega \left\lbrace 1\ ;\ 2\ ;\ 3\ ;\ 4\ ;\ 5\ ;\ 6\right\rbrace$ , « obtenir un chiffre pair » $=\left\lbrace 2\ ;\ 4\ ;\ 6\right\rbrace$  est un événement que l'on peut noter $A$, on a alors   $A=\left\lbrace 2\ ;\ 4\ ;\ 6\right\rbrace$   

Dans une épreuve :

i.Remarque

$\bullet\ $L'ensemble vide est un événement appelé évènement impossible.
 
$\bullet\ $L'univers $\Omega$ est un événement appelé évènement certain.

$\bullet\ $un événement contenant une seule éventualité est appelé évènement élémentaire. Par exemple, les événements  $\left\lbrace 1\right\rbrace$  ; $\left\lbrace 5\right\rbrace$  et  $\left\lbrace 4\right\rbrace$ sont des événements élémentaires de l'épreuve ci-dessus.
 
$\bullet\ $un événement est réalisé si on obtient comme résultat une de ses éventualités.
 
ii. Évènement « $A$ et $B$ » ; événement « $A$ ou $B$ »
 
Soient $A$ et $B$ deux événements dans une épreuve.

$\bullet\ $On appelle événement « $A$ et $B$ », l'événement $A\cap B$
 
$\bullet\ $Quand $A\cap B=\cap B=\emptyset$, on dit que $A$ et $B$ sont incompatibles

$\bullet\ $On appelle événement « $A$ ou $B$ », l'événement $A\cup B$

v. Évènement  contraire

Dans une épreuve d'univers $\Omega$, on appelle événement contraire d'un événement $A$, le complémentaire de $A$ dans $\Omega$

On le note $\overline{A}\ldots$ Par exemple dans l'épreuve ci-dessus d'univers  $\Omega=\left\lbrace 1\ ;\ 2\ ;\ 3\ ;\ 4\ ;\ 5\ ;\ 6\right\rbrace$,l'événement contraire de $A=\left\lbrace 2\ 4\ ;\ 6\right\rbrace$ est $\overline{A}=\left\lbrace 1\ ;\ 3\ ;\ 5\right\rbrace$  

3. Notion de probabilité

v. Hypothèse d'équiprobabilité

Dans une épreuve d'univers $\Omega=\left\lbrace e_{1}\ ;\ e_{2}\ ;\ \ldots\ ;\ e_{n}\right\rbrace$ en , on dit qu'il y a équiprobabilité si tous les événements élémentaires ont la même probabilité.

Dans les exercices, l'équiprobabilité est suggérée par des expressions comme : Dé parfait ; boules indiscernables au toucher ; pièce équilibrée, cartes bien battues ; tirer au hasard $\ldots\ldots$

vi. Propriété

Dans une épreuve d'univers $\Omega$, s'il y a équiprobabilité alors la probabilité d'un événement $A$est le réel noté $P(A)$ défini par  $P(A)=\dfrac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)}$

vii. Remarque
 
$\bullet\ $La probabilité de l'événement impossible est$P(\emptyset)=0$

$\bullet\ $La probabilité de l'événement certain est $P(\Omega)=1$

$\bullet\ $La probabilité d'un événement $A$, $P(A)$ appartient à l'intervalle $[0\ ;\ 1]$
 
viii. Propriétés

$\bullet\ P\left(\overline{A}\right)=1-P(A)$ et $P(A)=1-P\left(\overline{A}\right)$

$\bullet\ $Si $A$ et $B$ sont incompatibles alors $P\left(A\cup B\right)=P(A)+P(B)$

$\bullet\ $Si $A$ et $B$ sont quelconques alors $P\left(A\cup B\right)=P(A)+P(B)-P\left(A\cap B\right)$

Exercice d'application( Bac $2013)$

En marge du sommet de l’$OCI$, un groupe de $12$ hommes d'affaires dont $5$ saoudiens, $4$ marocains et $3$ sénégalais s'étant réunis, décident d'élire un bureau composé d'un président, d'un vice-président et d'un secrétaire pour coordonner leurs activités.

Une personne ne peut pas cumuler deux fonctions.
 
1. Déterminer le cardinal de l'univers.

2.  Calculer la probabilité des événements suivants :

$A$ : « le bureau est composé de $3$ hommes de même nationalité »

$B$ : « le bureau est composé de $3$ hommes de nationalité différente »

$C$ : « un sénégalais est élu président »

$D$ : « un sénégalais et un saoudien prennent les postes de président et de vice président »