Chapitre 4 :Étude de fonctions - TL

$\bullet\ $Montrer qu'une droite est un axe de symétrie d'une courbe ;
 
$\bullet\ $Trouver l'équation d'une asymptote oblique lorsqu'elle existe ;
 
$\bullet\ $Étudier et représenter $f$ telle que $f(x)\left\lbrace\begin{array}{rcl} \dfrac{ax^{2}+bx+c}{dx^{2}+\mathrm{e}x+f} \end{array} \ ;\ ax^{3}+bx^{2}+cx+d\right\rbrace$

$\bullet\ $Résoudre des équations, des inéquations, des systèmes d'équations et d'inéquations du premier degré ou du second degré.

Pré-requis :

$\bullet\ $Fonction numérique $1er$ ;
 
$\bullet\ $Dérivabilité.
 
Supports didactiques :
 
$\bullet\ $Mon cours de dérivabilité de $1er L$ ;

$\bullet\ CIAM 1ère L$ ;
 
$\bullet\ $ Dimathème Terminale $A1 $et $A2$
 

2. Définition

2. Branches paraboliques

IV. Étude et représentation graphique d'une fonction

$\bullet\ $Exemple
 
Déroulement du cours

Rappels

1. Activité
 
$(O\;,I\;,J)$ est un repère orthonormé et $f$ est la fonction définie par $f(x)=x^{2} $

1. Recopier et compléter tableau suivant :

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x&-3&-2&-1&0&1&2&3\\ \hline f(x)&&&&&&\\ \hline \end{array}$

2. Placer dans le repère $(O\;,I\;,J)$ tous les points $M\begin{pmatrix} x\\ f(x) \end{pmatrix}$ du tableau puis les relier par  une courbe.

2. Définition

La courbe représentative d'une fonction $f$ ou la représentation graphique de $f$ dans un repère  $(O\;,I\;,J)$ est l'ensemble des points de coordonnées $\begin{pmatrix} x\\ f(x) \end{pmatrix}$

Elle est notée $C_{f}$
 
II. Parité et éléments de symétrie

1. Parité d'une fonction
 
Définitions

$\bullet\  $Une fonction $f$ est paire si  pour tout $x\in D_{f}$ alors  $-x\in D_{f}$ et $f(-x)=f(x)$

$\bullet\ $Une fonction $f$ est impaire si pour tout $x\in D_{f}$  alors $-x\in D_{f}(-x)=-f(x)$

$\bullet\ $Exemple : Étudions la parité des fonctions suivantes définies par $f(x)=x^{2}$ et $-f(x)$
 
2. Éléments de symétrie :  

Soit $f$  une fonction et $C_{f}$ sa courbe dans un repère orthonormé $(O\;,\ I\;, J)$, $a$ et $b$ des nombres réels.
 
$\bullet\ $La droite $(D)\ :\ x=a$ est un axe de symétrie de $C_{f}$ si pour tout $x\in D_{f}$ alors $2a-x\in D_{f}$ et $f(2a-x)-(x)=0$

Exemple : Soit $f(x)=x^{2}-4x+7$ et $(D)\ :\ x=2$

Montrons que la droite $(D)$ est un axe de symétrie de $C_{f}$
 
$\bullet\ I\begin{bmatrix} a\\ b \end{bmatrix}$ est centre de symétrie de $C_{f}$ si pour tout $x\in D_{f}$ alors $2a-x\in D_{f}$ et  $f(2a-x)+f(x)=2b$

 Soit $f(x)=\dfrac{x^{2}+x-6}{x-1}$ montrons que le point $I(1\ ;\ 3)$ et le centre de symétrie de $C_{f}$

III. Branches infinies

1. Asymptotes

$\bullet\ $Asymptote verticale :

Soit $a$ est un nombre réel

Si $\lim\limits_{x\longrightarrow\;,\alpha^{+}}f(x)=\infty$ ou $\lim\limits_{x\longrightarrow\, \alpha^{-}}f(x)=\infty$ alors la droite d'équation $x=\alpha$ est une asymptote verticale de $C_{f}$

Exemple

$f(x)=\dfrac{2x+1}{-x+1}$
 
1. Calculons $\lim\limits_{x\longrightarrow\, 1^{+}}f(x)$ et $\lim\limits_{x\longrightarrow\, 1^{-1}}f(x)$
 
2. En déduire que $C_{f}$ admet une asymptote que l'on précisera.
 
$\bullet\ $Asymptote horizontale

Si $\lim\limits_{x\longrightarrow\, \infty}f(x)=b$ où $b$ est un réel alors la droite d'équation $y=b$ est une asymptote horizontale de $C_{f}$

Exemple

$f(x)=\dfrac{-3x^{2}+2x+1}{x^{2}-2x+3}$

1. Calculons $\lim\limits_{x\longrightarrow\,-\infty}f(x)$
 
2. En déduire que $C_{f}$ admet une asymptote en $-\infty$ que l'on précisera.
 
$\bullet\ $Asymptote oblique :
 
Soit $f$ une fonction et $(D)$ la droite d'équation $y=ax+b$

Si $\lim\limits_{x\longrightarrow\,\infty}f(x)-(ax+b)=0$ alors $(D)$ est une asymptote oblique de $C_{f}$ en $\infty$

Exemple

$f(x)=\dfrac{x^{2}-4x+7}{x-1}$ et $(D)\ :\ y=x-3$

Montrons que $(D)$ est une asymptote oblique de $C_{f}$ en $+\infty$

2. Bronches paraboliques

$\bullet\ $Si $\lim\limits_{x\longrightarrow\,\infty}f(x)=\infty$ et si $\lim\limits_{x\longrightarrow\,\infty}\dfrac{f(x)}{x}=0$ alors l'axe des abscisses est une branche parabolique de $C_{f}$ en $\infty$

$\bullet\ $Si $\lim\limits_{x\longrightarrow\,\infty}f(x)=\infty$ et si $\lim\limits_{x\longrightarrow\,\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\infty$ alors l'axe des ordonnées est une branche parabolique de $C_{f}$ en $\infty$

Exemple

$f(x)=-x^{2}+2x-1$

Calculer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition.

Étude et représentation graphique de fonctions

1. Exemple

$f(x)=\dfrac{x^{2}+x-6}{x-1}$

1.a. Déterminer $D_{f}$
 
b. Calculer les limites de $f$ aux bornes de $D_{f}.$

En déduire l'existence d'une asymptote de $C_{f}$
 
2. Étudier les variations de $f.$

3. Dresser le tableau de variation de $f.$
 
4. a. Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que  pour tout $x\in D_{f}$ on a : $x(x)=ax+b+\dfrac{c}{x-1}$

b. Montrer que $(D)\ :\ y=x+2$ est une asymptote oblique de $C_{f}$

c. Étudier les positions relatives de $C_{f}$ et $(D)$
 
5.a. Déterminer les abscisses des points d'intersection de $C_{f}$ avec l'axe des abscisses.

b. Tracer les asymptotes puis $C_{f}$ dans un repère orthonormé