Contexte : Projet de construction de puits.

La commune de Kokoro a bénéficié de la construction d’un puits de grand
diamètre dans le cadre du programme d’adduction d’eau villageoise.

Il est prévu trois
enclos identiques à ériger aux points $A_{1}, A_{2}$ et $A_{3}$ pour la construction des kits d’outils
d’entretien des canaux d’évacuation des eaux usées et des kits de sauvetage.

Les points $A_{1}, A_{2}$ et $A_{3}$ sont les images respectives, dans le plan complexe muni d’un
repère orthonormé direct $(O; \vec{u},\vec{v} )$, des nombres complexes $a, b$ et $c$ vérifiant
$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} a −b &=& −5 + 2i\\ ab &=& −9 + 7i et \dfrac{a−c}{b−c }= i \text{avec} Im(a) > Im(−b). \end{array}\right.$$

Ces enclos sont à égale distance du puits.

L’enclos $A_{1}$ contient deux kits d’entretien et un kit de sauvetage ;

L’enclos $A_{2}$ contient deux kits d’entretien et deux kits de sauvetage ;

L’enclos $A_{3}$ contient $n$ kits d’entretien et deux kits de sauvetage ; $n$ étant un
entier naturel.

Les enclos $A_{1}, A_{2}$ et $A_{3}$ ont la même chance d’être choisis et dans chaque enclos

les kits ont également la même chance d’être choisis, par un sauveteur anonyme.

L’ingénieur en charge des travaux voudrait réaliser des maquettes avant de
commencer la construction des enclos et infrastructures relatives au puits.

Tâche : Tu participeras à la construction des maquettes en résolvant les trois
problèmes suivants.

Problème 1

1. (a) Justifie que $a$ et $−b$ sont solutions de l’équation $(E) ∶ z^{2} + (5 − 2i)z + 9 −7i = 0$.

(b) Résous l’équation $(E)$.

(c) Détermine $c$.

2. (a) Donne la nature du triangle $A_{1}A_{2}A_{3}$.

(b) Détermine l’affixe $d$ du centre du puits et la distance de ce puits aux enclos.

3. Un sauveteur anonyme choisit un enclos puis choisit un kit.

(a) Démontre que la probabilité $p$ pour que le sauveteur anonyme choisisse
un kit de sauvetage est : $p = \dfrac{5n+22}{18(n+2)}$.

(b) Détermine la valeur de $n$ pour que $p > \dfrac{1}{2}$.

Problème 2

Les enclos prévus pour la conservation des outils d’entretien et de sauvetage sont des
cubes $ABCDEFGH$ subdivisés en deux compartiments par l’ensemble $(P)$ des points
$M$ de l’espace tels que : $(\vec{MA} − \vec{ME}− 2\vec{MH}+ 2\vec{MD}). (\vec{MA} − 2\vec{MH} ) = 3$.

On désigne par $I$ le centre du carré $AEHD$ et par $N$ le barycentre des points pondérés $(A ; 1)$ et
$(H ; −2)$.

La serrure de l’enclos est placée au point $R$ de la droite $(BE)$ qui est le
projeté orthogonal du point $I$ sur la droite $(BE)$.

L’espace est muni d’un repère
orthonormé direct $(A ;\vec{AE},\vec{AB} ,\vec{AD})$.

4. Détermine les coordonnées des points $B, D, E , H, I$ et $N$ dans le repère
$(A ;\vec{AE},\vec{AB} ,\vec{AD})$.

5. (a) Démontre que $\vec{MA} −\vec{ME}− 2\vec{MH}+ 2\vec{MD} = 3(\vec{IA}−\vec{IE})$.

(b) Démontre que $M$ appartient à $(P)$ si et seulement si $\vec{EA}∙\vec{MN}= −1$.

(c) Détermine une équation cartésienne de $(P)$.

6. (a) Détermine une représentation paramétrique de la droite $(BE)$.

(c) Détermine les coordonnées du point $R$.

Problème 3

Les canaux d’évacuation des eaux usées sont, dans le plan muni d’un repère
orthonormé $(o′; \vec{u} , \vec{v})$, assimilable à la courbe $(\Gamma)$ de la fonction $f$ de $mathbb{R}$ vers $mathbb{R}$  définie
par : $$\left\lbrace\begin{array}{rcl} f(x) &= &ln(2 − |x|) si x ≤ 1\\ f(x) &=& u(1 − x) si x > 1,\text{où} u \text{est la solution, sur l’intervalle} ]0 ; +\infty[,\text{ de} \end{array}\right.$$

l’équation différentielle $(E′) ∶ x^{2}y′(x) + e^{1/x} = 0$ et qui vérifie $u(1) = e$.
Sur le domaine $(F)$, délimité par la courbe $(\Gamma)$, l’axe des abscisses et les droites
d’équation $x = 0$ et $x = 1$, est construit un puisard.

7. (a) Résous l’équation différentielle $(E′)$.

(b) Justifie que pour tout nombre réel strictement positif $x, u(x) = e^{1/x}$.

8. Soit $D$ l’ensemble de définition de la fonction $f$;

(a) Justifie que $D =] − 2 ; +\infty[$.

(b) Détermine les limites de $f$ aux bornes de $D$.

(c) Précise les asymptotes à la courbe $(\Gamma)$.

9. (a) Etudie la continuité de $f$ en $1$.

(b) Etudie la dérivabilité de $f$ en $1$ puis donne une interprétation géométrique
des résultats obtenus.

(c) Etudie la dérivabilité de $f$ en $0$ puis donne une interprétation géométrique
des résultats obtenus.

10. (a) Détermine la fonction dérivée de $f$ sur chacun des intervalles
suivants : $] − 2 ; 0[ ; ]0 ; 1[$ et $]1; +\infty[$.

(b) Etudie le sens de variation de la fonction $f$.

(c) Etablis le tableau de variation de $f$.

(d) Construis la courbe $(\Gamma)$ de la fonction $f$.

11. Détermine l’aire de la surface du domaine $(F)$,

BONNE COMPOSITION