Baccalauréat S Antilles - Guyane 9 septembre 2020
Exercice 1
Commun à tout les candidats
Dans cet exercice, sauf mention contraire, les résultats seront arrondis au millième.
Les parties A, B et C peuvent être traitées de façon indépendante.
Partie A
Louise se rend au travail avec sa voiture.
Sa collègue Zoé ne possède pas de voiture.
Chaque matin, Louise propose donc à Zoé de l'emmener.
Quelle que soit la réponse de Zoé, Louise lui propose de la ramener le soir.
On se place un jour donné.
On dispose des informations suivantes :
∙ la probabilité que Louise emmène Zoé le matin est 0.55 ;
∙ si Louise a emmené Zoé le matin, la probabilité qu'elle la ramène le soir est 0.7 ;
∙ si Louise n'a pas emmené Zoé le matin,la probabilité qu'elle la ramène le soir est 0.24
On note M et S les événements suivants:
∙ M :« Louise emmène Zoé le matin » ;
∙ S :« Louise ramène Zoé le soir ».
1. Construire un arbre pondéré traduisant la situation.
2. Calculer P(M∩S)
Traduire ce résultat par une phrase.
3. Démontrer que la probabilité de l'événement S est égale à 0.493
4. On sait que Louise a ramené Zoé le soir.
Quelle est la probabilité que Louise l'ait emmenée le matin?
Partie B
Le temps de trajet de Louise, en minute, entre son domicile et son travail, peut être modélisé par une variable aléatoire X qui suit la loi normale d'espérance 28 et d'écart-type 5.
1. Calculer P(X≥25)
2. Calculer la probabilité que le temps de trajet soit compris entre 18 et 38 minutes.
3. Déterminer la durée d du trajet, arrondie à la minute, telle que P(X≥d)
4. Louise a maintenant trouvé un itinéraire plus rapide.
Désormais, le temps de trajet, en minute, peut être modélisé par une variable aléatoire Y qui suit la loi normale d'espérance 26 et d'écart-type δ
On sait que P(Y≥30)=0.1
Déterminer l'arrondi au centième de δ
Partie C
L'entreprise de Louise indique sur son site internet que 35% de ses salariés pratiquent le covoiturage.
Un sondage effectué au sein de l'entreprise montre que sur 254 salariés choisis au hasard, 82
pratiquent le covoiturage.
Ce sondage remet t-il en cause l'information publiée par l'entreprise sur son site internet?
Exercice 2
Commun à tous les candidats
La partie C est indépendante des parties A et B
Partie A
La fonction g est définie sur [0 ; +∞[ par g(x)=1−e−x
On admet que la fonction g est dérivable sur [0 ; +∞[. [0 ; +∞[
1. Déterminer la limite de la fonction g en +∞
2. Étudier les variations de la fonction g sur [0 ; +∞[ et dresser son tableau de variations.
Partie B
Dans cette partie, k désigne un réel strictement positif.
On considère la fonction f définie sur R par f(x)=(x−1)e−kx+1
On admet que la fonction f est dérivable sur R et on note f′ sa fonction dérivée.
Dans le plan muni d'un repère orthonormé (O ; I,J),on note Cf la courbe représentative de la fonction f.
Cette courbe est représentée ci-dessous pour une certaine valeur de k.
La tangente T à la courbe Cf
au point A d'abscisse 1 coupe l'axe des ordonnées en un point noté B.
1.a. Démontrer que pour tout réel x,
Partie C
b. Démontrer que l'ordonnée du point B est égale à g(k) où g est la fonction définie dans la
partie A
2. En utilisant la partie A, démontrer que le point B appartient au segment [0J]
Dans cette partie, on considère la fonction h définie sur R par
h(x)=(x−1)e−2x+1
On admet que la fonction h est dérivable sur R
On se place dans un repère orthonormé (O ;I,j)
On note Ch la courbe représentative de la fonction h et d la droite d'équation y=x
La courbe Ch et la droite d sont représentées sur l'annexe 1 à rendre avec la copie.
On admet que la courbe Ch est au-dessus de la droite d sur l'intervalle [0 ; 1[
Soit D le domaine du plan délimité par la courbe , la droite d et les droites verticales d'équations x=0 et x=1
Soit A l'aire de D exprimée en unité d'aire.
1.a. Sur l'annexe 1 à rendre avec la copie, hachure le domaine D et justifier que A=∫10[h(x)−x]dx
2.a. Démontrer que, pour tout réel x, h(x)−x=(1−x)(x−e−2x)
b. On admet que, pour tout réel x, e−2x≥1−2x
Démontrer que, pour tout réel x de l'intervalle [0 ; 1] h(x)−x≤2x−2x2
c. En déduire que A≥13
3. Soit H la fonction définie sur [0 ; 1] par H(x)=14(1−2x)e−2x+x
On admet que la fonction H est une primitive de la fonction h sur [0 ; 1]
Déterminer la valeur exacte de A
Exercice 3
Commun à tous les candidats
Dans le cube ABCOEFGH ci-dessous et reproduit en ANNEXE 2 à rendre avec la copie,on a placé les points M et N milieux respectifs des segments [AB] et [BC]
On se place dans le repère (A ; →AB,→AD,→AE)
1. Donner sans justifier les coordonnées des points H, Met N
2. On admet que les droites (CD) et (MN) sont sécantes et on note K leur point d'intersection.
a. Donner une représentation paramétrique de la droite (MN)
On admet qu'une représentation paramétrique de la droite (CD) est
{x=ty=1t∈Rz=0
b. Déterminer les coordonnées du point K
3. On admet que les points H, M, N définissent un plan et que la droite (CG) et le plan (HMN) sont sécants.
On note L leur point d'intersection.
a. Vérifier que le vecteur →n(2−23) est un vecteur normal au plan (HMN)
b. Déterminer une équation cartésienne du plan (HMN)
c. En déduire les coordonnées du point
4. Sur l'annexe 2 à rendre avec la copie, construire les points K et L puis la section du cube ABCDEFGH par le plan (HMN)
Exercice 4
Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse.
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée.
Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte.
Une absence de réponse n'est pas pénalisée.
1. Soit (un) la suite définie par u0=4 pour tout entier naturel n,un+1=−23un+1 et soit (vn) la suite définie par
pour tout entier naturel n,vn=un−23
Affirmation 1 : La suite (vn) est une suite géométrique.
2. Soit (wn) la suite définie par, pour tout entier naturel n non nul, wn=3+cos(n)n2
Affirmation 2 : La suite (wn) converge vers 0
3. On considère l'algorithme suivant :
U⟵5N⟵0Tant que U≤5000U⟵3×U−8N⟵N+1Fin Tant que
Affirmation 3 :
À la fin de l'exécution, la variable U contient la valeur 5000
4. On note C l'ensemble des nombres complexes.
On considère l'équation (E) d'inconnue z dans C (z−i)(z2+z√3+1)=0
Affirmation 4 : Toutes les solutions de l'équation (E) sont de module 1
5. On considère les nombres complexes zn définis par z0=2 et pour tout entier naturel n nn+1=2eiπ2zn$
On munit le plan complexe d'un repère orthonormé direct (0 ; →u,→v)
Pour tout entier naturel n, on note Mn le point d'affixe zn
Affirmation 5 : Pour tout entier naturel n, le point 0 est le milieu du segment [MnMn+2)
Exercice 4
Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
On considère l'équation (E) x2−5y2=1 où x et y sont des entiers naturels.
Partie A
On suppose que (x ; y) est un couple solution de l'équation (E)
1. x et y peuvent-ils avoir la même parité?
Justifier.
2. Démontrer que x et y sont premiers entre eux.
3. Soit k un entier naturel.
Recopier et compléter le tableau suivant
Reste de la division eu-01234clidienne de k par 5reste de la division eu- clidienne de k2 par 5
En déduire que x≡1[5] ou x≡4[5]
Partie B
Soit A la matrice (92049)
On considère les suites (xn) et (yn) définies par x0=1 et y0=0, et pour tout entier natureln, (xn+1yn+1)=A(xnyn)
1. Pour tout entier naturel n, exprimer xn+1 et yn+1 en fonction de xn et yn
2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, xn, yn est solution de l'équation (E)
3.a. Déterminer A2,puis en déduire x2 et y2
b. Soit P un entier naturel.
Démontrer que si yp est un multiple de 9 alors yp+2 est aussi un multiple de 9
c. En déduire que y2020 est un multiple de 9.
A Rendre avec la copie
Annexe 1 (exercice 2, partie C)
Annexe 2 (exercice 3)
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