Bac Maths, S Polynésie 13 mars 2023

Épreuve d'enseignement de spécialité

Exercice 1

Thème : probabilités

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.
 
Les utilisateurs de vélo d'une ville sont classés en deux catégories disjointes :
 
  ceux qui utilisent le vélo dans leurs déplacements professionnels; 
 
 ceux qui utilisent le vélo uniquement pour leurs loisirs.
 
Un sondage donne les résultats suivants :
 
 21% des utilisateurs ont moins de 35 ans.
 
Parmi eux, 68% utilisent leur vélo uniquement pour leurs loisirs alors que les autres l'utilisent
 
dans leurs déplacements professionnels ; 
 
 parmi les 35 ans ou plus, seuls 20% utilisent leur vélo dans leurs déplacements professionnels,
 
les autres l'utilisent uniquement pour leurs loisirs.
 
On interroge au hasard un utilisateur de vélo de cette ville.
 
Dans tout l'exercice on considère les évènements suivants :
 
 J : « la personne interrogée a moins de 35 ans » ; 
 
 T : « la personne interrogée utilise le vélo dans ses déplacements professionnels » ; 
 
J et T sont les évènements contraires de J et T.
 

Partie A

1. Calculer la probabilité que la personne interrogée ait moins de 35 ans et utilise son vélo dans ses déplacements professionnels.
 
On pourra s'appuyer sur un arbre pondéré.
 
2. Calculer la valeur exacte de la probabilité de T.
 
3. On considère à présent un habitant qui utilise son vélo dans ses déplacements professionnels.
 
Démontrer que la probabilité qu'il ait moins de 35 ans est 0.30 à 102 près.

Partie B

Dans cette partie, on s'intéresse uniquement aux personnes utilisant leur vélo dans leurs déplacements professionnels.
 
On admet que 30% d'entre elles ont moins de 35 ans.
 
On sélectionne au hasard parmi elles un échantillon de 120 personnes auxquelles on va soumettre un questionnaire supplémentaire.
 
On assimile la sélection de cet échantillon à un tirage aléatoire avec remise.
 
On demande à chaque individu de cet échantillon son âge.
 
X représente le nombre de personnes de l'échantillon ayant moins de 35 ans.
 
Dans cette partie, les résultats seront arrondis à 103 près.
 
1. Déterminer la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par X.
 
2. Calculer la probabilité qu'au moins 50 utilisateurs de vélo parmi les 120 aient moins de 35 ans.

Exercice 2

Thème : géométrie dans l'espace

1. espace est muni d'un repère orthonormée (O ; i,j,k).
 
On considère.
 
 d1 a droite passant par le point H(2 ; 3 ; 0) et de vecteur directeur u(111) ;
 
 d2 la droite de représentation paramétrique :
 
{x=2k3y=k où k décrit R.z=5
 
Le but de cet exercice est de déterminer une représentation paramétrique d'une droite δ qui soit perpendiculaire aux droites d1 et d2.
 
1.a. Déterminer un vecteur directeur u de la droite d2.
 
b. Démontrer que les droites d1 et d2 ne sont pas parallèles.
 
c. Démontrer que les droites d1 et d2 ne sont pas sécantes.
 
d. Quelle est la position relative des droites d1 et d2 ?
 
2.a. Vérifier que le vecteur w(123) est orthogonal à u et à v.
 
On admet qu'une équation cartésienne de ce plan est :
5x+4yz22=0
 
Démontrer que l'intersection du plan P et de la droite d2 est le point M(3 ; 3; 5)
 
3. Soit ∆ la droite de vecteur directeur w passant par le point M.
 
Une représentation paramétrique de δ est donc donnée par :
 
{x=t+3y=2r+3 où r décrit R.z=3r+5
 
a. Justifier que les droites δ et d1 sont perpendiculaires en un point L dont on déterminera les coordonnées.
 
b. Expliquer pourquoi la droite δ est solution du problème posé.

Exercice 3

Thème : fonction exponentielle, algorithmique

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.
 
Chaque réponse doit être justifiée.
 
Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
 
1. Affirmation : La fonction f définie sur R par f(x)=exx est convexe.
 
2. Affirmation : L'équation (2ex6)(ex+2)=0 admet ln(3) comme unique solution dans R.
 
3. Affirmation : 
limx+ees1exx=0
 
4. Soit f la fonction définie sur R par f(x)=(6x+5)e3x et F la fonction définie sur R par :
 
F(x)=(2x+1)e3x+4.
 
Affirmation : F est la primitive de f sur R qui prend la valeur 5 quand x=0.
 
5. On considère la fonction mystère définie ci-dessous qui prend une liste L de nombres en paramètre.
 
On rappelle que 1 en (L) représente la longueur de la liste L.
def mystère (L):S=0for irange (l en (L)):return S/1 en (L)
 
Affirmation : L'exécution de mystère ([1,9,9,5,0,3,6,12,0,5]) renvoie 50.

Exercice 4

Thème : suites, fonctions

Soit (un) la suite définie par u0=1 et, pour tout entier naturel n :
un+1=0.9un0.3
 
1.a. Démontrer par récurrence que, pour tout nN,un=2×0.9n3.
 
b. En déduire que pour tout nN,3<un1.
 
c. Démontrer que la suite (un) est strictement décroissante.
 
d. Démontrer que la suite (un) converge et préciser sa limite.
 
2. On se propose d'étudier la fonction g définie sur ]3 ; 1] par :
g(x)=ln(0.5x+1.5)x
 
a. Justifier toutes les informations données par le tableau de variations de la fonction g (limites, variations, image de 1)
x321||g(2)Variation de g||||1
 
b. En déduire que l'équation g(x)=0 a exactement une solution que l'on notera α et dont on donnera un encadrement d'amplitude 103
 
3. Dans la suite de l'exercice, on considère la suite (vn) définie pour tout εN, par :
vn=ln(0.5un+1.5).
 
a. En utilisant la formule donnée à la question 1.a., démontrer que la suite v est arithmétique de raison ln(0.9).
 
b. Soit n un entier naturel.
 
Démontrer que un=vn si, et seulement si g(un)=0.
 
c. Démontrer qu'il n'existe aucun rang kN pour lequel uk=α.
 
d. En déduire qu'il n'existe aucun rang kkN pour lequel vk=uk.

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