Bac maths - Homothétie

 

Soit $(\gamma)$ le cercle de centre $O$ et de rayon $R.$

 

$[AA']$ un diamètre fixé de $(\gamma)\;,\ P$ le milieu de $[OA'].$

 

Une droite $\delta$ distincte de la droite $(AA')$ et de la perpendiculaire en $P$ à $(AA')$ pivote autour de $P$ et coupe $(\Gamma)$ en $B$ et $C.$

 

1. Déterminer l'ensemble $E_{1}$ des milieux $M$ de $[BC]$ lorsque $\delta$ varie.

 

2. a. Soit $H$ le pied de la hauteur issue de $A$ dans le triangle $ABC$. La droite $(A'M)$ coupe $(AH)$ en $D.$

 

Déterminer l'ensemble $E_{2}$ des points $D$ lorsque $M$ décrit $E_{1}.$

 

b. Montrer que $A'BDC$ est un parallélogramme. 

   

En déduire que $D$ est l'orthocentre du triangle $ABC$.

 

3. La droite $(AM)$ coupe $(OD)$ en $I$.

 

Montrer que $$2\overrightarrow{IO}+\overrightarrow{ID}=\vec{0}$$ 

Que représente $I$ pour le triangle $ABC$ ?

 

Déterminer l'ensemble $E_{3}$ des points $I$ lorsque $M$ décrit $E_{1}.$

La construction est facile à réaliser et donne les résultats immédiatement y a plus qu'à les montrer.

1. $[BC]$ est une corde du cercle $\gamma$ donc $(OM)$ est orthogonal à $(BC)$ en $M$ ; le triangle $PMO$ est rectangle en $M$ donc $M$ décrit un cercle de diamètre $[OP]$ : c'est $E_{1}.$

 

2. a. Soit $h$ l'homothétie de centre $A'$ de rapport 2 : par $h\;;\ P$ a pour image $O$, $O$ a pour image $A$ et $M$ a pour image un point $K$ tel que $(OK)$ soit parallèle à $(PM)$ et $(OM)$ soit parallèle à $(AK).$

 

$(OM)$ est orthogonale à $(PM)$, donc $(AK)$ est orthogonale à $(PM)$, c'est la hauteur $(AH)$. Moralité $K$ est sur $(A'M)$ par construction et sur $(AH)$ comme image de $M$, c'est donc le point $D.$

 

Puisque $D$ est l'image de $M\;,\ D$ décrit l'image du cercle $E_{1}$ par $h$, soit le cercle $E_{2}$ de diamètre $[OA].$

 

b. Comme $h(M)=D$, on a $M$ au milieu de $[A'D]$ ; comme $M$ est au milieu de $[BC]$ par construction, les deux diagonales ont même milieu, $A'BDC$ est un parallélogramme.

 

Par conséquent $(A'B)$ est parallèle à $(CD)$ ; mais $[AA']$ est un diamètre du cercle $\gamma$ donc $(A'B)$ est orthogonale à $(AB)$ ainsi que $(CD).$ 

 

Conclusion $(CD)$ est une hauteur du triangle $ABC.$ 

 

Comme $D$ est déjà sur la hauteur $(AH)$, c'est bien l'orthocentre.

 

3. On peut utiliser simplement la relation d'Euler (dans un triangle le centre de gravité $G$, l'orthocentre $H$ et le centre du cercle circonscrit $O$ sont alignés et on a $$\overrightarrow{OH}=3\overrightarrow{OG}$$  

$O$ est le centre du cercle circonscrit, $D$ l'orthocentre et $I$ le centre de gravité, ce qui donne immédiatement le résultat. Sinon on utilise l'homothétie $h'$ de centre $A$, de rapport $\dfrac{2}{3}$ qui envoie $P$ sur $O\;,\ M$ sur $I$ et qui donne le même résultat.

 

Par $h'$ le cercle $E_{1}$ se transforme en cercle $E_{3}$ de diamètre $[OA'']$ où $A''$ est l'image de $O$ par $h'.$