Bac Maths ES/L Antilles-Guyane 10 septembre 2019

Commun à tous les candidats

 

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.

Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.

Aucune justification n’est demandée.

Une bonne réponse rap-porte un point.

Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l’absence de réponse à une question ne rapportent ni n’enlèvent de point.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante.

1) L'équation $\ln5+l\ln(x+1)=1$ a pour solution :

a) $x=\mathrm{e}-6$

b) $x=-1$

c) $x=\dfrac{1}{5}\mathrm{e}-1$

d) $x=-0.5$

2) Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur l’intervalle $]0\ ;\ +\infty[$ par $f(x)=2\ln(x)-x$.

Le nombre $f'(2)$ est égal à :

a) $-1$

b) $0$

c) $2\ln2-2$

d) $2\ln2−1$

3) Le plus petit entier naturel $n$ solution de l'inéquation $2^{n}>175$ est  :

a) $n=\ln\left(\dfrac{175}{2}\right)$

b) $n=7$

c) $n=8$

d) $n=\ln175-\ln2$

4) Soit une fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle $[-3 \ ;\ -1]$.

On note $f'$ sa dérivée et $F$ une de ses primitives.

On sait que pour tout $x$ de l’intervalle $[-3 \ ;\ -1]$, $f'(x)>0$.

On peut affirmer que, sur l’intervalle $[-3 \ ;\ -1]$, la fonction $F$ est :

a) décroissante ;

b) strictement croissante ;

c) convexe ;

d) négative.

Candidats de E, S n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de L

 

Un grossiste en flacons de parfum souhaite étudier la qualité des flacons qu’il reçoit.

Il a reçu $1500$ flacons d’un certain modèle provenant de deux sites de production différents, le site $A$ et le site $B.$

Sur les $1500$ flacons de ce modèle reçus, $900$ proviennent du site $A$, les autres du site $B$.   

Les trois parties $A$, $B$ et $C$ sont indépendantes.

Si nécessaire,les résultats seront arrondis au millième.

Le grossistes’intéresse à l’aspect du flacon.

Parmi les flacons provenant du site $A$, $95\%$ ont un aspect conforme au cahier des chargestandis que $92\%$ des flacons provenant du site $B$ ont un aspect conforme.

Il prélève auhasardun des flacons qu’il areçuslorsde ladernièrelivraison.

On note :

$A$ l'évènement « Le flacon provient du site $A$ » ;

$B$ l'évènement « Le flacon ne provient du site B » ;

$C$ l'évènement « Le flacon a un aspect conforme au cahier descharges ».

1) Déterminer la probabilité que le flacon provienne du site $A$ etait un aspect conforme au cahier des charges.

2) Montrer que la probabilité que le flacon ait un aspect conforme au cahier des charges est $0.938.$

3) Le flacon prélevé se trouve avoir un aspect non conforme.

Déterminer la probabilité qu’il provienne du site $B$.

Le grossiste souhaite également étudier le volume de parfum contenu dans les flacons qu’il a reçus lors de la dernière livraison.

 

On considère qu’un flacon est correctement rempli s’il contient plus de98 ml de parfum.

On admet que le volume de parfum, exprimé en millilitre, contenu dans un flacon prélevé au hasard peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale d’espérance $= 100$ et d’écart type $σ = 1$. Déterminer la probabilité qu’un flacon prélevé au hasard soit correctement rempli.

Le producteur du site $A$ indique que le pourcentage de flacons «correctement remplis» est de $96%.$

 

Le grossiste contrôle uné chantillon de $120$ flacons prélevés au hasard dans la livraison du producteur du site $A$ et compte $18$ flacons qui ne sont pas correctement remplis. Le grossiste met alors en doute l’affirmation duproducteur. Comment peut-il justifier sacontestation?

Suite à des intempéries, un chasse-neige doit déblayer toutes les routes reliant les stations de son secteur.

 

On modélise ce secteur par le graphe ci-dessous dont les sommets représentent les différentes stations désignées par des lettres.

Les poids des arêtes sont les durées moyennes de parcours, en minute, du chasse-neige entre deux stations.

1) Le chasse-neige part de la station $G$.

Peut-il partir de cette station et y revenir en parcourant une et une seule fois chacune des routes, matérialisées parles arêtes decegraphe ?

2) Une saleuse doit de même parcourir l’ensemble des routes du secteur après déblaiement de la neige.

Elle est garée à la station $A$ et, après son travail, peut se garer dans n’importe quelle station.

Peut-elle parcourir une et une seule fois chacune des routes pour traiter l’ensemble du secteur ?

3) On appelle $M$ la matrice d’adjacence associée au graphe, les sommets étant rangés dans l'ordre alphabétique et on donne :
$$M^{4}=\begin{pmatrix}61&48&52&28&45&55&24\\48&44&41&21&42&45&20\\52&41&50&25&41&52&25\\28&21&25&15&20&24&10\\45&42&41&20&44&48&21\\55&45&52&24&48&61&28\\24&20&25&10&21&28&15\\ \end{pmatrix}$$
Interpréter dans le contexte de l’exercice le nombre $10$ figurant en caractère gras dans la matrice.

4) Déterminer, pour le chasse-neige, le chemin le plus rapide pour aller de la station $G$ à la station $D.$

On donnera le par cours trouvé ainsi que sa durée totale.

5) Le conducteur du chasse-neige part de la station $G$ et va directement à la station $A.$

Il apprend alors que la route allant de la station $E$ à la station $F$ est barrée.

Comment peut-il terminer son parcours au plus vite jusqu’à la station $D$ ?

Préciser le temps qu’il mettrait alors pour finir son parcours. Aucune justification n’est attendue ici.

Un particulier souhaite réaménager l’espace paysager de sa parcelle boisée comptant $10000$ arbres en $2018.$

 

Pour cela, il se fixe un plan progressif qui consiste à couper chaque année $20\%$ desarbreset àplanter $600$ nouveaux pieds d’arbre.

On modélise l’évolution du nombre d’arbres de cette parcelle par une suite $(u_{n})$ dans laquelle,

Pour tout entier naturel $n\;,\  u_{n}$ est le nombred’arbres de la parcelle en $2018+n$ , ainsi $u_{0} =10000$.

1. a. Calculer $u_{1}\ $ et $\ u_{2}.$

 

b. Justifier, pourtout entier naturel $n$, l’égalité $u_{n+1} = 0.8\times u_{n} +600$.

2. On définit la suite $(v_{n})$ par $v_{n} =u_{n} −3000$ pourtout entier naturel $n.$

a. Montrer que la suite $(v_{n})$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $v_{0}.$

b. Pourtout entier naturel $n$, exprimer $v_{n}$ en fonction de $n.$

c. En déduire que pour tout entier naturel $n\;,\  u_{n}=7000\times 0.8^{n}+3000.$

d. Si le réaménagement de cette parcelle se poursuit selon ce même modèle, que peut-on conjecturer à long terme concernant le nombre d’arbres de celle-ci ?

Le propriétaire de la parcelle souhaite conserver au moins $4000$ arbres sur sa parcelle.

 

Il cherche à déterminer l’année où il devra cesser son plan de réaménagement progressif.

1. On admet que la suite $(u_{n})$ est décroissante.

Dans les algorithmes ci-dessous, $U$ est un nombre réel et $N$ est un nombre entier.

Parmi ces algorithmes ci-dessous, un seul donne le nombre d’années nécessaires pour que le nombre d’arbres devienne inférieur ou égal à $4000$.

$$\boxed{U\leftarrow 10000\\N\leftarrow 0\\\text{Tant que }U\leq 4000\\\quad N\leftarrow N+1\\\quad U\leftarrow 0.8\times U+600\\\text{Fin Tant Que}}$$

algorithme 1

$$\boxed{U\leftarrow 10000\\N\leftarrow 0\\\text{Tant que }U>4000\\\quad N\leftarrow N+1\\\quad U\leftarrow 0.8^{N}\times U+600\\\text{Fin Tant Que}}$$

algorithme 2

$$\boxed{U\leftarrow 10000\\N\leftarrow 0\\\text{Tant que }U>4000\\\quad N\leftarrow N+1\\\quad U\leftarrow 0.8\times U+600\\\text{Fin Tant Que}}$$

algorithme 3

 

Indiquer pourquoi les algorithmes $1$ et $2$ ne conviennent pas.

 

2. Déterminer l’année au cours de laquelle le propriétaire devra cesser son plan de réaménagement.

On donne ci-dessous la courbe $\mathcal{C}$ représentative d’une fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle $[0\ ;\ 3].$

 

On note $f '$ la fonction dérivée de $f.$

La droite $\mathcal{D}$ est la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d’abscisse $0$ ; elle passe par le point $A$ de coordonnées $(0.5\ ;\ 1).$

La tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d’abscisse $1$ est parallèle àl’axe des abscisses.

 

 

Dans cette partie les réponses seront obtenues par lecture graphique.

 

1. Déterminer une équation de la droite $\mathcal{D}$

2. Donner la valeur de $f '(1).$

3. Proposer un intervalle sur lequel la fonction semble concave.

La fonction $f$ est définie sur l’intervalle $[0\ ;\ 3]$ par :
$$f (x) = 2xe^{−0.5x^{2}}.$$
1. On note $f '$ la fonction dérivée de $f$ sur l’intervalle $[0\ ;\ 3].$

a. Montrer que $f '(x) =(2−2x^{2})e^{−0.5x^{2}}.$

b. Étudier les variations de la fonction $f$  sur l’intervalle $[0\ ;\ 3]$ et dresser son tableau de variation.

2. On admet que la fonction F, définie par $F(x) = -2e^{−0.5x^{2}}$, est une primitive de $f$ sur l’intervalle $[0\ ;\ 3].$

En déduire la valeur moyenne de $f$ sur l’intervalle $[0\ ;\ 3]$ et en donner une valeur approchée au millième.

En Europe,les observateurs d’une maladie nécessitant une hospitalisation considère qu’ils peuvent modéliser par cette fonction $f$ l’évolution du nombre de lits occupés par des malades pendant les trois mois d’hiver.

 

Pour tout $x$ appartenant à l’intervalle $[0\ ;\ 3]$, $f (x)$ représente le nombre de lits occupés, exprimé en million, à l’instant $x$, exprimé en mois.

Un journal affirme que cet hiver :

$-\ $ le nombre de lits occupés lors du pic de la maladie a dépassé le million ;

$-\ $ le nombre moyen de lits occupés sur les trois mois a été d’environ $40\ 0000.$

Que dire de ces deux affirmations ?