Bac blanc Maths S2 S2A S4 S5 2012
Exercice 1
La première contient $2$ stylos $2$ crayons et $1$ feutre.
La seconde contient $1$ stylo $2$ crayons et $3$ feutres.
On considère les évènements suivants :
$T_{1}$ « la première trousse a été choisie » ;
$T_{2}$ « la seconde trousse a été choisie » ;
$S$ « l'écolier a utilisé un stylo » ;
$C$ « l'écolier a utilisé un crayon » ;
$F$ « l'écolier a utilisé un feutre ».
1) L'écolier choisit dans un premier temps la première trousse et $y$ tire simultanément par hasard trois objets.
Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de crayon tiré.
a) déterminer les différente valeurs de $X$
b) Donner la loi de probabilité de $X$
c) Calculer l'espérance mathématique et l'écart-type de $X$
2) L'écolier choisit maintenant une des deux trousses au hasard et y tire un objet.
a) Calculer $P(S/T_{1})$ ;
$P(S/T_{2})$ ;
$P(S∩T_{1})$ et $P(S\cap T_{2})$
b) En déduire $P(S)$
3) L'écolier a utilisé un stylo, calculer la probabilité qu'il provienne de la seconde trousse.
Exercice 2
Soit $(\mathcal{C})$ la courbe de $f$ passant par le point $B(0\;;\ 3)$ et la tangente $(D)$ à la courbe $(\mathcal{C})$ en $B$ passe par le point $E(-1\;;\ 1).$
1) a) Par lecture graphique donner les valeurs de $f(0)$ ; $f'(0)$ et $f'(2)$
b) Donner le signe de $f'(x)$ sur $\mathbb{R}$
c) Donner le signe de $f(x)$ sur $\mathbb{R}$
2) En utilisant les résultats du 1) a) déterminer les valeurs de $a$ et $b$
Problème
Partie A
$g(x)=-1+\mathrm{e}^{x-1}+\ln x$ ou $ln$ désigne la fonction logarithme népérien et $\mathrm{e}$ est sa base.
1) a) Calculer la limite de la fonction $g$ en $0$, puis en $+\infty.$
b) Calculer $g(1).$
2) a) Étudier le sens de variation de la fonction $g$ et dresser son tableau de variation.
b) En déduire le signe de $g(x)$ suivant les valeur de $x.$
Partie B
$$f(x)=x(-2+\ln x)+\mathrm{e}^{x-1}.$$
On désigne par $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan rapporté au repère orthonormé $(O\;,\ \vec{i}\;;\ \vec{j}).$
On prendra pour unité de longueur $4\,cm.$
1) Calculer la limite de $f$ en $0$ et en $+\infty.$
2) Soit $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f.$
a) Pour tout $x$ de $]0\;;\ +\infty[$, calculer $f'(x)$ et en déduire les variations de $f.$
b) Dresser le tableau de variation de $f.$
3) Recopie et compléter le tableau suivant :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x&0.5&0.75&1&2\\ \hline f(x)& & & &\\ \hline \end{array}$$
On donnera les valeurs approchées de $f(x)$ à $0.1$ près par défaut.
4) Démontrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $]1\;;\ +\infty[.$
5) Tracer la partie de la courbe $(\mathcal{C})$ correspondant aux points dont l'abscisse appartient à l'intervalle $[0.5\;;\ 2].$
Partie C
$$h(x)=\dfrac{5}{4}+\dfrac{x^{2}}{2}\left(-\dfrac{5}{2}+\ln x\right).$$
a) Déterminer la fonction $h'(x)$ la fonction dérivée $h(x)$
b) En déduire une primitive $F$ de $f(x)$
2) Calculer en $cm^{2}$ l'aire du domaine du plan limité par la courbe $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses, les droites d'équations $x=0.5$ et $x=1$
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