Bac Maths D, Tunisie 2015
Exercice 1
On considère les points A(1, 1, 0), B(1, −1, 2), C(0, 1, 1) et D(1, 1, 4).
1. a) Montrer que A, B et C déterminent un plan qu'on notera (P).
b) Justifier que (P) est d'équation x+y+z−2=0.
c) Vérifier que D n'appartient pas au plan (P).
2. Soit G le cercle circonscrit au triangle ABC et H le milieu du segment ⦋AB⦌.
a) Montrer que le triangle ABC est rectangle en C ?
b) En déduire que H est le centre du cercle G.
c) Soit Δ la droite perpendiculaire au plan (P) passant par le point H.
Justifier qu'une représentation paramétrique de Δ est :
{x=1+αy=α;α∈Rz=1+α}
4. Soit M un point de Δ.
a) Justifier que MA=MB=MC.
b) Montrer qu'il existe un unique point I de Δ tel que IA=ID.
Donner ses coordonnées.
c) Déduire de ce qui précède, que les points A, B, C et D appartiennent à une même sphère (S) dont on précisera le centre et le rayon.
Exercice 2
1. Soit A l'affixe a=1+i√2
a) Montrer que A appartient à (C).
b) Placer A.
2. On considère dans C, l'équation (E) : z2−2i√3z−6i√2=0.
a) Montrer que le discriminant Δ de l'équation (E) est égale à 12a2.
b) En déduire que les solutions de l'équation (E) sont :
z1=√3[−1+i(1−√2)] et z2=√3[1+i(1+√2)]
3. On considère le point K d'affixe zk=i√3 et on désigne par M1 et M2 les points d'affixes respectives z1 et z2.
a) Vérifier que K est le milieu du segment [M1M2].
b) Montrer que z2−z1a=2√3.
En déduire que la droite [M1M2] est parallèle à la droite (OA).
c) Montrer que M1M2=6.
d) Placer le point K et construire alors les points M1M2.
Exercice 3
Le tableau ci-dessous sonne la capacité vitale C, exprimée en cm3, chez les hommes âgés de 40 ans en fonction de leur taille t exprimée en cm.
t (en cm)152156160166170174178180182C (en cm3)352536203710385039451035413041754220
1. a) Donner une valeur approchée à 10−5 près du coefficient de corrélation linéaire entre t et C.
b) Justifier que l'on peut procéder à un ajustement affine par la méthode des moindres carrés de la série (t ; C).
c) Donner une équation de la droite de régression de C en t.
(Les coefficients seront arrondis à 10−2 près).
d) Déduire de cet ajustement une estimation de la capacité vitale d'un homme âgé de 40 ans et de taille égale à 188cm ?
2. En fait, la capacité vitale C (exprimée en cm3) chez l'homme dépend de sa taille t (exprimée en cm) et de son âge g (exprimé en année).
De nombreuses expériences ont permis d'exprimer C en fonction de t et g selon la relation C=αt+βg+754, où α et β sont des constantes (ne dépendant pas de t et g).
a) Donner l'expression C pour g=40.
b) En déduire, en utilisant 1.c, les valeurs de α et β.
3. Estimer la capacité vital d'un homme âgé de 50 ans et mesurant 188cm.
Exercice 4
On désigne par G la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O, →i, →j).
1. a) Calculer limx→0+f(x), limx→+∞f(x), et limx→+∞f(x)−x.
b) En déduire que la courbe G admet deux asymptotes que l'on précisera.
c) Étudier la position de G par rapport à la droite Δ d'équation y=x.
2. a) Montrer que, pour tout réel x de I, f′(x)=(x2−1)+lnxx2.
b) Montrer que (x2−1) et lnx sont de même signe sur chacun des intervalles J=]0, 1[ et K=]1 +∞[.
c) En déduire le signe de f′(x) sur chacun des intervalles J et K.
d) Montrer que 1 est l'inique solution de l'équation f′(x)=0.
e) Dresser le tableau de variation de f.
3. a) Montrer que la courbe G admet une unique tangente D parallèle à la droite α.
Préciser les coordonnées du point B, point de contact de G et D.
b) Donner une équation de D.
4. Dans l'annexe ci-jointe (Figure 2), on a tracé relativement au repère (O, →i, →j) la droite Δ et la courbe (Γ) d'équation y=lnxx.
a) Soit le point A(1e ; 0)
Placer le point A et vérifier que A appartient à D.
b) Tracer la droite D et placer B.
c) Tracer la courbe G.
5. Soit A l'aire de la partie du plan limité par la courbe G, la droite α et les droites d'équations x=1e et x=e.
Calculer A.
Annexe à rendre avec la copie
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