Bac Maths D, Togo 2018

Exercice 1

1. a) Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $(E)\ :\ Z^{2}+2Z+2+0.$

On désigne par $z_{1}$ la solution de $(E)$ dont la partie imaginaire est négative et par $z_{2}$ l'autre solution.        

b) dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé $\left(O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v}\right)$ d'unité graphique $2\,cm$, on considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $z_{1}$, $z_{2}$ et $z_{3}=\sqrt{3}-1.$             

Placer les points $A$, $B$ et $C.$        

c) Déterminer le module et l'argument du nombre complexe $z=\dfrac{z_{3}−z_{1}}{z_{2}−z_{1}}$

d) En déduire la nature du triangle $ABC.$

2. Trouver les fonctions numériques $f$, deux fois dérivables telle que : $$f''(x)+2f'(x)+2f(x)=0$$ , où $f'$ et $f''$ désignent les dérivées première et seconde de $f.$

3. On considère l'équation différentielle : $(1)\quad :\ y''+by'+cy=0$ où $a$, $b$ et $c$ sont des entiers naturels appartenant à l'ensemble ${1\;,\ 2\;,\ 3\;,\ 4\;,\ 5\;,\ 6}.$

On dispose de trois urnes contenant chacune $6$ boules identiques numérotées de $1$ à $6.$

On tire au hasard une boule de chaque urne et on note le numéro de la boule tirée.

La première urne donne la valeur $a$, la deuxième celle de $b$ et la troisième urne la valeur de $c.$
         
a) on suppose que $b=c=2a.$

Soient les fonctions $$F\ :\ x\rightarrow(A\cos x+B\sin x)\mathrm{e}^{-x}$$ où $A$ et $B$ sont des nombres réels.

Justifier que les fonctions $F$ sont les solutions de l'équation (1).
         
b) Déterminer l'ensemble des triplets $(a\ ;\ b\ ;\ c)$ pour que $F$ soient solutions de (1).

c) Montrer que la probabilité pour qu'on ait le triplet $(1\;,\ 2\;,\ 2)$ est égale à $\dfrac{1}{216}.$

d) Déterminer la probabilité pour que $F$ soient solutions de (1).

Exercice 2 

Soit $\left(I_{n}\right)n\in\mathbb{N}$ la suite définie par : $$I_{n}=\int_{0}^{1}(1-u)^{n}\sqrt{u}\mathrm{d}u.$$

1. a) Démontrer que $\forall\,n\in\mathbb{N}\;,\ I_{n}\geq 0.$

b) Démontrer que $$\forall\,n\in\mathbb{N},\ I_{n+1}-I_{n}=\int_{0}^{1}(1-u)^{n}u^{\dfrac{3}{2}}\mathrm{d}u$$ et en déduire le sens de variation de la suite $\left(I_{n}\right)n\in\mathbb{N}.$

2. Montrer que la suite $\left(I_{n}\right)$ est convergente.

3. a) Vérifier que la dérivée de la fonction $u\rightarrow u^{\dfrac{3}{2}}$ sur $[0\ ;\ 1]$ est la fonction $u\rightarrow\dfrac{3}{2}\sqrt{u}.$

b) Calculer $I_{0}$ et $I_{1}.$        
      
c) En utilisant la question 1.b, démontrer à l'aide d'une intégration par partie, que $$I_{n}=\dfrac{2n+5}{2n+2}I_{n+1}.$$  

4. a) En déduire l'expression de $I_{n}$ en fonction de $I_{0}$ et de $n.$     

b) Calculer $I_{4}.$

Exercice 3 Problème

Partie A  

On considère une fonction $g$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par $$g(x)=(x-1)\mathrm{e}^{x-1}-1$$

1. a) Justifier que la limite de $g$ en $-\infty$ est $-1.$

b) Déterminer la limite de $g$ en $+\infty.$    

2. a) Démontrer que, pour tout $x\in\mathbb{R}$, on a $g'(x)=x\mathrm{e}^{x-1}.$          

b) Étudier le sens de variation de $g$ et dresser son tableau de variation.   

3. a) Démontrer que l'équation $g(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$ appartenant à $\left]\dfrac{3}{2}\ ;\ 2\right[$           

b) Vérifier que $\alpha\in]1.56\ ;\ 1.57[.$

Partie B

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par $$f(x)=(x-2)\mathrm{e}^{x-1}-x+1.$$

On désigne par $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé $\left(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}\right)$, unité graphique : $2\,cm.$

1. Déterminer les limites de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty.$

2. a) Démontrer que $f$ est une primitive de $g$ sur $\mathbb{R}.$
 
b) Étudier le sens de variation de $f$ et dresser son tableau de variation.

3. a) Démontrer que la droite d'équation $(D)$ d'équation $y=-x+1$ est asymptote à la courbe de $f$ en $-\infty.$

b) Étudier les positions relatives de $(\mathcal{C})$ et $(D).$

4. Démontrer que $(\mathcal{C})$ admet en $+\infty$ une branche parabolique dont on précisera la  direction.

5. Déterminer une équation à la tangente $(T)$ à $(\mathcal{C})$ au point d'abscisses $-1.$      

6. Démontrer que $f(\alpha)=2-\alpha-\dfrac{1}{\alpha-1}$
 
7. Montrer que $f(\alpha)$ est négative.

8. En déduire que l'équation $f(x)=0$ admet exactement deux solutions strictement positives.  

9. Tracer $(D)$, $(T)$ et $(\mathcal{C}).$
 
10. Soit $\lambda$ un élément de $]-\infty\ ;\ 2[$ et $\mathcal{A}(\lambda)$ l'aire en $cm^{2}$ de la partie du plan délimitée par la droite $(D)$ d'équation $y=-x+1$ et les droites d'équations $x=\lambda$ et $x=2.$

a) A l'aide d'une intégration par partie, calculer $\mathcal{A}(\lambda).$

b) Déterminer la limite de $\mathcal{A}(\lambda)$ lorsque $\lambda$ tend vers $-\infty.$

Partie C

Soit $h$ la restriction de $f$ à l'intervalle $]-\infty\ ;\ \alpha[.$

1. Démontrer que $h$ est une bijection réciproque sur un intervalle $J$ à préciser.  

2. Soit $h^{-1}$ la bijection réciproque de $h.$

a) Préciser l'ensemble de dérivabilité de $h^{-1}$, puis dresser son tableau de variation.

b) Construire la courbe $(\mathcal{C'})$ de $h^{-1}$ dans le même repère que $(\mathcal{C}).$