Bac Maths D, Togo 2015

Le tableau suivant donne l'évolution de l'indice annuel des dépenses, exprimé en milliards de francs $CFA$, d'une compagnie multinationale pendant ces $10$ dernières années.
$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Année}&2006&2007&2008&2009&2010&2011&2012&2013&2014&2015\\ \hline \text{Numéro de}&&&&&&&&&&\\ \text{l'année }\left(x_{i}\right)&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\ \hline \text{Prix de la}&&&&&&&&&&\\ \text{tonne en dollar }\left(y_{i}\right)&36&45&40&58&70&64&80&95&100&108\\ \hline \end{array}$$

1. a) Représenter le nuage des points associé à la série statistique $\left(x_{i}\ ;\ y_{i}\right)$ dans un repère muni orthonormé d'unité $1\,cm$ pour une année en abscisse et $1\,cm$ pour $10$ milliards en ordonnés.

b) Calculer les coordonnées du point moyen $G$ puis le construire sur la figure précédente.    

2. a) Calculer à $10^{1}$ près, le coefficient de corrélation linéaire de la série $\left(x_{i}\ ;\ y_{i}\right).$

Un ajustement linéaire peut – il être envisagé ?

Justifier la réponse.    

b) Déterminer  par la méthode des moindres carrées l'équation de la droite $(D)$ de régression linéaire de $y$ en $x$ $($On donnera les coefficients à $10^{-3}$ près$).$

Représenter la droite $(D)$ dans repère précédent.

3. On suppose que l'évolution de l'indice se poursuit de la même façon dans les années à  venir.     

a) Donner une estimation en milliards de francs $CFA$ de l'indice annuel des dépenses de la compagnie en $2030.$     

b) En quelle année, l'indice annuel des dépenses de cette compagnie dépassera – t – il $300$ milliards de francs $CFA$ ?

1. On considère dans l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes, l'équation :  $$(E)\ ∶\ z\in\mathbb{C}\ ;\ z^{4}+(-5+3\mathrm{i})z^{3}+(8-9\mathrm{i})z^{2}+(-14+6\mathrm{i})z+10=0.$$        

a) Vérifier que $1$ et $\mathrm{i}$ sont des solutions évidentes de $(E).$

b) Résoudre l'équation $(E).$

2. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $\left(O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v}\right)$ on considère les points $A$, $B$, $C$ et $D$ d'affixes respectives $1$, $\mathrm{i}$, $1-3\mathrm{i}$, $3-\mathrm{i}.$

a) Placer ces points dans le repère.

b) Soit $S$ la similitude directe qui transforme $A$ en $C$ et $B$ en $D.$

b.1 Déterminer l'écriture complexe de $S.$

b.2 Donner les éléments caractéristiques de $S.$       

3. On considère la suite de points $M_{n}$ d'affixe $Z_{n}(n\in\mathbb{N}).$

Avec $Z_{0}=\mathrm{i}$ et $Z_{n+1}=−2\mathrm{i}Z_{n}+1-\mathrm{i}.$
 
a) Calculer $\dfrac{Z_{n+1}−\omega}{Z_{n}−\omega}$ où $\omega$ désigne l'affixe du centre $\Omega$ de la similitude $S.$
 
En déduire la nature du triangle $\Omega M_{n}M_{n+1}.$

b) Démontrer que la suite $\left(U_{n}\right)n\in\mathbb{N}$ définie par la relation : $U_{n}=\left|Z_{n+1}-Z_{n}\right|$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

c) Exprimer en fonction de $n$ la longueur  $$d_{n}=M_{0}M_{1}+M_{1}M_{2}\ldots+M_{n}M_{n+1}\ (n\geq 2).$$

I. On considère la fonction $I#$ de la variable réelle $x$ définie par :  $$g_{k}(x)=-2x+1+2\ln(kx)\;,$$ $k$ étant un paramètre réel non nul.

1. Déterminer, suivant les valeurs prises par $k$, l'ensemble de définition  $E_{k}$ de $g_{k}.$

2. Calculer les limites de $g_{k}$ aux bornes de $E_{k}$ pour $k>0$ et pour $k<0.$

3. Calculer la dérivée $g'_{k}$ de $g_{k}.$

4. Établir le tableau de variation de $g_{k}$ pour chaque cas.

5. a) Montrer que pour $k>2$ et pour $x\in]0\ ;\ +\infty[\;,\ g_{k}(x)>0.$

b) Montrer que pour $k<0$, l'équation $g_{k}(x)=0$ admet une solution négative unique $\alpha_{0}$ élément de l'intervalle $\left]-\infty\ ;\ \dfrac{1}{k}\right[$

c) Montrer que pour $0<k<2$, l'équation $g_{k}(x)=0$ admet exactement deux solutions positives $\alpha_{1}$ et $\alpha_{2}.$

d) En déduire le signe de $g_{2}(x).$      

II. Soit la fonction numérique $f_{k}$ de la variable $x$, définie par :
$$f_{k}(x)=\dfrac{1}{k}-\dfrac{\ln(kx)}{2x-1}\;,$$ $k$ étant un paramètre réel supérieur ou égal à $2$ ; on désigne par $\left(\mathcal{C}_{k}\right)$
sa représentation graphique dans le plan muni d'un repère $\left(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}\right).$

Unité graphique $1\,cm.$

1. Déterminer l'ensemble de définition $\mathfrak{D}_{k}$ de la fonction $f_{k}.$

2. a) Montrer que la fonction $f_{2}$ admet un prolongement par continuité en $\dfrac{1}{2}.$

On rappelle que $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\ln(h+1)}{h}=1$

b) Calculer aux bornes de $\mathfrak{D}_{k}$ les limites de $f_{k}.$  

3. a) Calculer la fonction dérivée $f'_{k}$ de $f_{k}$ et établir relation entre $f'_{k}(x)$ et $g_{k}(x)$ pour tout $x$ de $\mathfrak{D}_{k}.$            

b) Étudier le sens de variation de $f_{k}$ et dresser son tableau de variation pour $k=2$ et pour $k\neq 2.$     

4. Représenter $\left(\mathcal{C}_{2}\right)$ et $\left(\mathcal{C}_{4}\right)$ dans  un même repère ; (préciser les asymptotes à chacune de ces courbes)

III.  

1. a) A l'aide de $f_{2}$, montrer que : $$\forall\,x\in\left]\dfrac{1}{2}\ ;\ +\infty\right[\;,\ 0<\ln 2x<2x-1.$$

b) $n$ déduire que : $$\int_{1}^{2}\ln 2x\mathrm{d}x<2.$$
 
2. A l'aide du graphique de la partie II, montrer que : $$\dfrac{\ln6}{5}<\dfrac{1}{2}-\int_{2}^{3}f_{2}(x)\mathrm{d}x<\dfrac{2\ln 2}{3}$$