Bac Maths D, Togo 2010

On considère un groupe de $16$ personnes parmi lesquelles $4$ ont une caractéristique $C.$ 

 

ces quatre personnes sont dites de types $C.$ 

 

on prend simultanément au hasard $5$ personnes dans ce groupe.  

 

1. Calculer la probabilité de chacun des évènements : 

 

$A$ : « n'avoir, parmi ces $5$ personnes ; aucune du type $C$ » 

 

$B$ : « avoir exactement une personne de type $C$ » 

 

$C$ : « avoir au moins deux  personnes de type $C$ » 

 

On donnera les résultats sous forme de fractions irréductibles. 

 

2. On constate après enquête que dans la population entière, la répartition est de des personnes de types $C$ est de $1$ sur $4.$ 

 

On estime que la population suffisamment nombreuse pour que le tirage de $n$ personnes soit assimilable à $n$ tirages successifs indépendants avec remise. 

 

On prend au hasard n personnes $(n\geq 2)$ et on désigne par $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de celles du type $C.$

 

a) Montrer que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. 

 

b) Calculer la probabilité $p(X=0)\ ;\ p(X=1).$ 

 

c) En déduire la probabilité $p_{n}$ d'avoir au moins deux personnes de type $C.$ 

 

d) Démontrer que $p_{n}\geq 0.9$ si et seulement si : 

$$\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n-1}\left(\dfrac{3+n}{4}\right)\leq 0.1.$$ 

 

e) On pose $$U_{n}=\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n-1}\left(\dfrac{3+n}{4}\right).$$

 

Comparer $\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}$et $1.$ 

 

Quel est le sens de variation de $\left(u_{n}\right)$ ? 

Le plan $(\mathcal{P})$ est rapporté à un repère orthonormé direct $\left(O\ ;\ \vec{u}\ ;\ \vec{v}\right).$

On désigne par $\mathcal{T}$ l'application de $(\mathcal{P})$ vers $(\mathcal{P})$ qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que : $$z'=(1+\mathrm{i})z-\mathrm{i}.$$

1. Montrer que $\mathcal{T}$ est la composée d'une rotation et d'une homothétie de rapport positif dont on donnera les éléments caractéristiques.

On note $\Omega$ le point invariant par $\mathcal{T}.$

Donner une mesure de l'angle orienté $\left(\overrightarrow{\Omega M}\ ;\ \overrightarrow{MM'}\right)$ en supposant $M\neq\Omega.$

2. a) Construire $M'$ image de $M$ par $\mathcal{T}$ où $M$ est un point donné distinct de $\Omega.$  

b) Déterminer l'image $(D')$ par $\mathcal{T}$ de la droite $(D)$ d'équation $y=x.$

Construire $(D').$

3. a) Montrer que qu'il existe un point $B$ du plan tel que distinct de $\Omega$ et un seul réel tel que les affixes $z_{0}$ et $z'_{0}$ de $B'$ $($image de $B$ par $\mathcal{T})$ soient liés par la relation  $z_{0}z'_{0}A=1.$

Placer les points $B$ et $B'$ dans le repère.            

b) Soit  $\Omega'$ le symétrique de $\Omega$ par rapport à $O.$

Montrer que les points $\Omega'$, $\Omega$ ; $B$ et $B'$ sont cocycliques.

Déterminer l'affixe du centre $G$ du cercle $(\Gamma)$ passant par les  points $\Omega'$, $\Omega$, $B$ et $B'.$

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :$$f(x)=1-x^{2}\mathrm{e}^{-x}$$

1. Étudier les variations de $f.$

2. Déduire de cette étude que l'équation $f(x)=0$ à une solution et une seule, notée $\alpha.$

Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près de $\alpha.$

3. Tracer la courbe $(\mathcal{C})$ représentative de $f$ dans un repère orthonormé $($unité graphique choisie est $2\,cm).$

Préciser s'il y a lieu, les tangente horizontales.  

4. a) Montrer que pour tout $x\geq 0\;,\ \mathrm{e}^{x}\geq 1.$

b) Soit $\lambda$ un réel positif.

Montrer que $$0\leq\int^{\lambda}_{0}x^{2}\mathrm{e}^{x}\mathrm{d}x\leq\dfrac{\gamma^{3}}{3}.$$

1. Vérifier que pour tout réel $x$, $f''(x)+2f'(x)+f(x)=-2\mathrm{e}^{-x}+1.$

Où $f'$ et $f''$ désignent la dérivée première et seconde de $f.$

2. On note $F$ la primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ qui s'annule pour $x=0.$

Donner la valeur explicite de $F(x)$ pour tout réel $x.$

3. a) Calculer l'aire $\mathcal{A}(\gamma)$ en $cm^{2}$ de la partie du plan limitée par la courbe $(\mathcal{C})$ et les droites d'équations $y=1$ ; $x=0$ et $x=\gamma$ où $\gamma$ est un réel positif.

b) Déterminer la limite de $\mathcal{A}(\gamma)$ lorsque $\gamma$ tend vers $+\infty.$

On se propose de résoudre l'équation différentielle du second ordre, de fonction inconnue $y$ $$\left(E_{1}\right)\ :\ y''+2y'+y=-2\mathrm{e}^{-x}+1$$

La fonction $f$ est solution de $\left(E_{1}\right)$, d'après la question B.1.

1. Résoudre l'équation $$\left(E_{2}\right)\ :\ y''+2y'+y=0.$$

2. La fonction $I$ étant une solution définie sur $\mathbb{R}$ de l'équation $\left(E_{2}\right)$, démontrer que $g + f$ est solution de l'équation $\left(E_{1}\right).$

Réciproquement, soit $h$ une solution  de $\left(E_{1}\right).$

Démontrer que $h-f$ est solution $d'\left(E_{2}\right).$

3. Déterminer la solution $\varphi$ de $\left(E_{1}\right)$ telle que $\varphi(0)=\varphi'(0)=0.$

Étant donné un réel $a$, on note $g_{a}I$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $$g_{a}(x)(-x^{2}+ax+a)\mathrm{e}^{-x}+1.$$

1. Montrer que les courbes $\left(\mathcal{C_{a}}\right)$ représentatives de $g_{a}$ passent toutes par un même point fixe $I.$

2. On suppose $a\neq −2.$

Démontrer alors que la fonction $g_{a}$ admet deux extrémums, dont l'un est obtenu pour $x=0.$

3. On note $M_{a}$ le point d'abscisse $a+2$ sur la courbe.

Lorsque $a$ varie, $M_{a}$ décrit une courbe.

Donner une équation cartésienne de la courbe.