Bac Maths D, Tchad 2015

Soit $P$ le polynôme défini par ∶ $P(z)=z^{3}-2(1+2\mathrm{i})z^{2}+7\mathrm{i}z+3(1-3\mathrm{i})$

1. Démontrer qu'il existe une imaginaire pure $z_{1}=\mathrm{i}b$ solution de l'équation $P(z)=0$

2. Déterminer le polynôme $Q$ tel que $P(z)=\left(Z-Z_{1}\right)Q(z)$

3. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $P(z)=0.$

1. Quelle est la probabilité de pouvoir constituer le drapeau du Tchad :

a) En prenant simultanément $3$ cubes ?

b) En prenant simultanément $4$ cubes ?

2. Quelle est la probabilité, en prenant successivement $3$ cubes l'un après l'autre sans remise, d'obtenir dans l'ordre le drapeau du Tchad ?

3. Quelle est la probabilité, en prenant successivement $3$ cubes l'un après l'autre avec remise, d'obtenir dans l'ordre le drapeau du Tchad ?

Soit $g$ la fonction définie sur $]0\;,\ +\infty[$ par ∶ $$g(x)=2+\dfrac{3}{x^{3}}-\dfrac{6\ln x}{x^{3}}$$
                                
1. Déterminer les limites de $g$ en $0$ et en $+\infty$

2. Étudier les variations de $g$ et dresser son tableau de variation et en déduire pour tout $x>0\;,\ g(x)>0$

Soit $f$ la fonction définie sur $]0\;,\ +\infty[$ par ∶ $$f(x)=2x+\dfrac{3\ln x}{x^{3}}$$
                                                                                                                             
On note $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ $($unité graphique : $2\,cm).$

1. a) Calculer la dérivée de $f$ et préciser sons sens de variation $($on remarquera que la dérivée première de $f$ donne $g).$

b) Calculer les limites de $f$ en $0$ et en $+\infty$

c) En déduire le tableau de variation de $f.$

2. a) Démontrer que la droite $(\mathcal{D})$ d'équation $y=2x$ est asymptote à la courbe de $f$ et préciser sa position par rapport à cette courbe.  

b) Préciser les ordonnées des points d'abscisses $0.5$ ; $1$ ; $2$ et $3.$

c) Démontrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique racine $\alpha\in[0.5\ ;\ 1]$  

3. Tracer $(\mathcal{C})$

4. Calculer l'aire du domaine plan compris entre la droite $(\mathcal{D})$ et la courbe $(\mathcal{C})$ et les droites d'équations : $x=1$ et $x=\mathrm{e}.$