Bac Maths D, Niger 2015

 

1. Résoudre dans l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes, l'équation :

$$z^{4}+4\mathrm{i}z^{2}+12=0$$

 

2. Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé $\left(O\;,\ \vec{U}\;,\ \vec{V}\right)$ on considère les points $A$ et $B$ d'affixes respectives $1+\mathrm{i}$ et $\sqrt{3}-\mathrm{i}\sqrt{3}.$

 

Soit $S$ la similitude plane directe de centre $O$ qui transforme $A$ en $B.$

 

a) Déterminer $f$, l'application complexe associée à $S.$

 

b) Déterminer les éléments caractéristiques de $S.$

 

c) Soit $(D)$ la droite passant par $B$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{U}.$

 

Déterminer une équation de la droite $(D')$ image de la droite $(D)$ par $S.$

Une urne contient quatre boules roses, trois boules vertes et deux boules jaunes indiscernables au toucher. 

 

On tire simultanément trois boules de l'urne.

 

1. Déterminer la probabilité d'obtenir :

 

a) Les trois couleurs

 

b) Les deux boules jaunes

 

c) Au moins une boule jaune

 

2. Soit $X$ la variable aléatoire qui à tout tirage de trois boules associe le nombre de boules jaunes tirées.

 

a) Déterminer la loi de probabilité de $X.$

 

b) Calculer l'espérance mathématique et l'écart-type de $X.$

 

c) Définir la fonction de répartition de $X.$

A. On considère l'équation différentielle ∶ $$y''-2y'+y=2\mathrm{e}^{x+1}\quad (1).$$

 

1. Vérifier que la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

$$g(x)=x^{2}\mathrm{e}^{x+1}$$ est une solution de l'équation différentielle (1).

 

2. a) Démontrer qu'une fonction $h$ deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ est solution de (1) si et seulement si la fonction $h-g$ est solution de l'équation différentielle :

$$y''-2y'+y=0\quad (2)$$

 

b) Résoudre l'équation différentielle (2).

 

c) En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (1).

 

d) Trouver la solution de (1) vérifiant les conditions $h(0)=\mathrm{e}$ et $h'(0)=-2\mathrm{e}$

 

B. Le plan est muni d'un repère orthonormé $\left(O\;,\ \vec{I}\;,\ \vec{J}\right)$ $($unité : $1\,cm).$

 

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $$f(x)=(x^{2}-2x+1)\mathrm{e}^{x+1}$$ et $(\mathfrak{C})$ sa courbe représentative dans le repère $\left(O\;,\ \vec{I}\;,\ \vec{J}\right).$

 

1. Calculer la dérivée $f'$ de $f$ et dresser le tableau de variation de $f.$

 

2. Tracer la courbe $(\mathfrak{C})$ dans le repère orthonormé $\left(O\;,\ \vec{I}\;,\ \vec{J}\right)$

 

3. Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que la fonction $F$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $$F(x)=(ax^{2}+bx+c)\mathrm{e}^{x+1}\;,$$ soit une primitive de $f.$

 

4. Soit $\lambda$ un réel strictement négatif.

 

a) Calculer l'aire $\mathcal{A}(\lambda)$ de la partie du plan comprise entre la courbe $(\mathfrak{C})$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=\lambda$ et $x=0.$

 

b) Calculer la limite de $\mathcal{A}(\lambda)$ quand $\lambda$ tend vers $-\infty.$

 

C. Soit $g$ la restriction de $f$ à l'intervalle $[1\;,\ +\infty[.$

 

a) Montrer que $g$ est une bijection de l'intervalle $[1\;,\ +\infty[$ sur un intervalle $J$ que l'on précisera.

 

b) Tracer la courbe représentative $(\Gamma)$ de la réciproque de $g$ dans le même repère que $(\mathfrak{C}).$

 

5. Déterminer graphiquement le nombre de solutions de l'équation ∶ $f(x)=mx$, où $m$ est un paramètre réel non nul.