Bac Maths D, Mali 2014
Exercice 1
(E) : z3+(√3−i)z2+(1−z3)z−i=0
2. a) Déterminer le réel y tel que iy sois une solution de (E).
b) Déterminer les réels a et b tels que pour tout complexe z.
z3+(z3+(√3−i)z2+(1−√3i)z−i=(z−i)(z2+az+b)
3. a) Résoudre dans C l'équation (E′) : z2+√3z+1=0
b) En déduire les solutions de (E) sous forme algébrique et trigonométrique.
Exercice 2
Dans cet but, on a sélectionné un échantillon de 600 personnes réparties de manière aléatoire en trois groupe : 240 personnes dans le groupe A, 35% de l'échantillon dans le groupe B, et le reste dans le groupe C.
On a administré aux personnes du groupe A durant la période hivernale une dose journalière de ce médicament en le leur disant.
On a administré aux personnes du groupe B un placebo (c'est-à-dire un comprimé neutre, ne contenant aucun élément médicinal), tout en leur disant qu'il s'agissait d'un placebo.
Les résultats de l'étude sont recensés sur 600 fiches individuelles.
a) 28% des fiches signalent un traitement efficace.
Parmi celles-ci 72 fiches correspondent à des personnes du groupe B.
b) 75% des fiches correspondant aux personnes du groupe A ne signalent aucunes améliorations significatives.
1. Reproduire et compléter le tableau suivant :
Groupe AGroupe BGroupe CGroupe DNombres de fichessignalant un traitement efficaceNombre de fichene signalant aucuneamélioration significativeTOTAL240600$
2. a) On choisit une fiche au hasard parmi les 600.
On considère les évènements suivants :
E1 : « Il s'agit d'une fiche du groupe A ».
E2 : « Il s'agit d'une fiche signalant un traitement efficace »
E3 : « E1∩E2 »
E4 : « E1∩E2 »
Calculer les probabilités de ces quatre évènements.
b) On choisit au hasard une fiche du groupe B.
On considère l'évènement E5 :
« Il s'agit d'une fiche signalant un traitement efficace ».
Calculer la probabilité de l'évènement E5.
Le résultat sera arrondi à 10−2.
3. Pour chacun des groupes, donner les fréquences en pourcentage des fiches signalant un traitement efficace.
Exercice 3 Problème
L'objectif de l'exercice est l'étude de la croissance en taille de cette espèce en fonction de l'âge des crevettes.
Partie A
Age ti12345678(en nombre de semaine)Taille yi(exprimée en millimètre)
1. Soit G le point du nuage de points associé à ce tableau.
On considère la droite D passant par G et de coefficient directeur 6.14.
Déterminer une équation de la droite D.
2. On considère que la fonction affine représentée par la droite D traduit l'évolution de la taille en fonction de l'âge des crevettes avec les unités considérées.
Déterminer selon ce modèle la taille d'une crevette de 12 semaines.
3. On estime que l'espérance de vie d'une crevette Trachypenaeux en haute mer est de 3 années.
Calculer avec le modèle retenu, la taille atteint au bout de 3 ans.
Partie B
L(t)=87.5(1−e−0.12t)
1. a) Déterminer la limite de la fonction L en +∞ en donner une interprétation.
b) Déterminer la dérivée L′ de la fonction L.
c) Étudier les variations de la fonction L sur [0, +∞[.
2. a) Calculer, avec ce, la taille d'une crevette de trois ans.
b) Déterminer l'âge théorique d'une crevette de taille 80mm.
3. Tracer la courbe représentative de la fonction L sur l'intervalle [0;, +∞[ et la droite D de la Partie A dans le même repère.
On prendra pour unité graphique 1cm pour une semaine en abscisse et 1cm pour 10mm en ordonnée.
Donner une interprétation du graphique obtenu.
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