Bac Maths D, Mali 2013

1. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes les équations suivantes.

a) $Z^{2}-(1+\sqrt{2})Z+\sqrt{2}=0$

b) $Z+\dfrac{1}{Z}=1\quad Z+\dfrac{1}{Z}=\sqrt{2}$

2. Soit $P$ polynôme de la variable complexe $Z$ tel que :  

$P(Z)=Z^{4}-(1+\sqrt{2})^{3}+(2+\sqrt{2})^{2}-(1+\sqrt{2})Z+1.$  

a) Vérifier que pour tout $Z$ non nul on a :  

$\dfrac{P(Z)}{Z}=\left(Z+\dfrac{1}{Z}\right)^{2}-(1+\sqrt{2})\left(Z+\dfrac{1}{Z}\right)+\sqrt{2}$

b) En utilisant ce qui précède, résoudre l'équation $P(Z)=0.$

Dans une ville, il existe deux lycées, l'un des garçons et l'autre des filles, chaque lycée a une classe de $SBT_{1}$, une de $SBT_{2}$ et une de $SBT_{3}.$

Une bourse d'étude est offerte par la ville à six élèves pris parmi les élèves des six classes de terminales.

Pour cela on choisit les six meilleurs élèves de chaque classe, soit un total de $36$ élèves et les noms des six boursiers sont alors déterminés par tirages au sort parmi les $36$ élèves.

Calculer la probabilité suivante :

a) Pour que les $6$ boursiers soient les $$6$ élèves de la $SBT_{2}$ garçons.

b) Pour que les $6$ boursiers soient des élèves de la $SBT_{2}.$

c) Pour que les $6$ boursiers soient des filles.

d) Pour que les $6$ boursiers soient $3$ filles et $3$ garçons.

e) Pour que parmi les $6$ boursiers, il  ait moins de $3$ garçons.

1. Soit la fonction numérique $g$ définie sur $]0\ ;\ +\infty[$ par $g(x)=1 -x^{2}-\ln x$

a) Étudier le sens de variation de $g$ et calculer $g(1).$

b) En déduire le signe de $g(x).$

2. Soit $f$ la fonction numérique définie sur $]0\ ;\ +\infty[$ par : $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}+2-x$

a) Déterminer les limites de $f$ en $0$ et en $+\infty.$

b) Calculer $f'(x)$

c) Montrer que $f'(x)$ a le signe de $g(x)$

En déduire le tableau de variation des variations de $f.$

d) Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet deux solutions ; $x_{1}$ et $x_{2}$ ; donner en justifiant, un encadrement d'amplitude $0.1$ de chacune d'elle.

2. On note $(\mathcal{C})$ la représentation graphique de $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormal $(O\ ;\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ d'unité graphique $4\,cm.$

a) Montrer que la droite $(\mathcal{D})$ d'équation $y=-x+2$ est une asymptote à $(\mathcal{C}).$

b) Étudier la position de $(\mathcal{C})$ par rapport à $(\mathcal{D}).$

c) Déterminer les coordonnées du point $A$ de $(\mathcal{C})$ où la tangente est parallèle à $(\mathcal{D}).$

d) Tracer $(\mathcal{C})$ et $(\mathcal{D})$ dans le même repère $(O\ ;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$