Bac Maths D, Cameroun 2012

Une maitresse a regroupé dans un tableau statistique les résultats d'une enquête portant sur le nombre de gâteaux consommés pendant la récréation par $200$ élèves d'une maternelle.
$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|} \hline \text{Modalités}&0&1&2&3&4\\ \hline \text{Effectifs}&10&&&35&\\ \hline \text{Effectifs cumulés}&10&&80&115&\\ \text{croissant}& & & & &\\
\hline \text{Fréquence}&&20&&17.5&\\ \text{en pourcentage}& & & & &\\\hline \end{array}$$

1. Quelles est la nature du caractère étudié ?

2. Recopier et compléter le tableau ci-dessus.

3. Quel est le mode de cette série statistique ?

4. Calculer la moyenne, la variance et l'écart-type de la série étudiée.     

1. Résoudre dans l'ensemble $\mathcal{C}$ des nombres complexes l'équation : $2z^{2}−2\mathrm{i}z−1=0.$

2. Le plan orienté étant rapporté à un repère orthonormé $\left(O\;,\ \overrightarrow{e_{1}}\;,\ \overrightarrow{e_{2}}\right)$ on considère les points $A$ et $B$ d'affixes respectives $\dfrac{-1+\mathrm{i}}{2}$ et $\dfrac{1+\mathrm{i}}{2}.$

Démontrer que $OAB$ est un triangle rectangle de sommet principal $O.$

3. On pose $Z=\dfrac{-1+\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}$
 
a) Écrire $Z$ sous la forme trigonométrique.
 
b) En déduire les racines cubiques de $Z$ sous la forme trigonométrique puis sous la forme algébrique.

Le problème comporte trois parties $A$, $B$ et $C.$

Soit la fonction numérique définie sur $]−1\ ;\ 0]$ par : $$f(x)=\ln(1-x^{2})-x.$$

On désigne par $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$ dans le plan rapporté à un repère orthonormé $($unité graphique $10\,cm).$

1. Déterminer la limite de $f$ à droite de $-1.$

Donner une interprétation graphique de ce résultat obtenu.

2. Étudier les variations de  et dresser son tableau de variation.

3. Donner le coefficient directeur de la tangente $(D)$ à $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse $0.$

4. Démontrer que l'équation $f(x)=0$ admet dans l'intervalle $]-0.72\ ;\ -0.71[$ une unique solution $\alpha.$

5. Tracer $(D)$ et $(\mathcal{C}).$

6. Tracer dans le même repère la courbe représentative de $|f(x)|.$

1. Vérifier l'égalité $$\int_{\alpha}^{0}(1-x^{2})\mathrm{d}x=\int_{\alpha}^{0}\ln(1+x)\mathrm{d}x+\int_{\alpha}^{0}\ln(1-x)\mathrm{d}x.$$

2. A l'aide des intégrations par partie, calculer en fonction de $\alpha$ les intégrales suivantes.
$$I=\int_{\alpha}^{0}\ln(1+x)\mathrm{d}x\quad\text{et}\quad J=\int_{\alpha}^{0}\ln(1-x)\mathrm{d}x.$$

On pourra remarquer que : $$\dfrac{x}{1+x}=1-\dfrac{1}{x+1}\quad\text{et}\quad\dfrac{x}{1-x}=-1+\dfrac{1}{x-1}$$

3. On désigne par $\mathcal{A}$ l'aire exprimée en $cm^{2}$ de la partie du plan délimitée par l'axe des abscisses, la courbe $(\mathcal{C})$, et les droites d'équations $x=\alpha$ et $x=0.$

Calculer $\mathcal{A}$ en fonction de $\alpha.$

On considère la suite $U$ à termes positifs définies sur $\mathbb{N^{\ast}}$ par  $U_{n+1}=2\sqrt{U_{n}}$ et $U_{0}=1.$

1. Calculer $u_{2}$ et $u_{3}.$

Donner les résultats sous la forme $2^{\lambda}$ où $\lambda$ est un réel.

2. Soit $\left(v_{n}\right)$ la suite définie par $v_{n}=\ln u_{n}$, $v_{0}=−2\ln 2.$

a) Montrer que $\left(v_{n}\right)$

b) est une suite géométrique.

c) Exprimer $\left(v_{n}\right)$ en fonction de $n.$

d) En déduire l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$ et calculer la limite de $u_{n}$ quand $n$ tend vers $+\infty.$