Bac Maths D, Benin 2012

Un motocycliste assimilable à un point G est en mouvement rectiligne uniformément accéléré. Sur la grande voie empruntée, sont disposées de grandes plaques planes matérialisant des plans. l'espace $\mathcal{E}$ étant muni d'un repère orthonormé direct $(O\;,\ \overrightarrow{\mathrm{e_{1}}}\ ;\ \ \overrightarrow{\mathrm{e_{2}}}\ ;\ \ \overrightarrow{\mathrm{e_{3}}})$ une des plaques $(\mathbb{R})$ contient les points $A(1\ ;\ 0\ ;\ 3)$, $B(2\ ;\ 2\ ;\ 0)$ et $C(1\ ;\ 1\ ;\ 2).$ En un temps $t_{1}$, le mobile $G$ est un point $h(1\ ;\ 1\ ;\ 0)$ et au temps $t_{2}$, il est au point $F(2\ ;\ 0\ ;\ 1)$, $t_{1}\neq t_{2}.$ Voyant le motocycliste à vive allure, un passant se pose des questions :

"A cette allure, le motocycliste ne risque-t-il pas de percuter une des plaques ?"

"Pourrai-je alors joindre à temps les sapeurs-pompiers? Et seront-ils à temps sur les lieux ?"

Tu es invité(e) à répondre aux préoccupations du passant en résolvant les trois problèmes suivants :

1. Détermine une équation cartésienne du plan $(\mathcal{P})$ matérialisé par la plaque $(R).$

2. Justifie que la trajectoire du mobile G est représentée par la droite $(\Delta)$ de représentation paramétrique :
$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} x&=&\alpha+1\\ y&=&\alpha−1\ ;\ (\alpha\in\mathbb{R})\\ z&=&\alpha \end{array}\right\rbrace$$

3. Justifie que la droite $(\Delta)$ et le plan $(\mathcal{P})$ sont perpendiculaires.

4. Détermine les coordonnées du point $K$ où se produira éventuellement le choc entre le  mobile $G$ et la plaque matérialisant le plan $(\mathcal{P}).$

5. Calcule la distance à parcourir par le mobile $G$ depuis l'instant $t_{1}$ jusqu'au moment du choc éventuel.

Le choc s'est effectivement produit et a provoqué un incendie dont le passant a été témoin.

Le passant dispose de $5$ numéros des sapeurs-pompiers mais ce jour-là, $3$ des numéros étaient hors service. Le passant a composé au hasard un des numéros.

Les sapeurs-pompiers ont parcouru une distance $d$ (en dizaine de kilomètres) avant d'atteindre les lieux de l'accident. Le plan complexe étant muni du repère orthonormé direct $(O\;,\ \overrightarrow{\mathrm{e_{1}}}\ ;\ \ \overrightarrow{\mathrm{e_{2}}}).$

$\bullet\ $L'ensemble $(\Gamma)$ des points $M$ d'affixe $z$ telle que $\dfrac{z}{2+\mathbb{i}z}$ soit un nombre réel est un cercle $(\mathcal{C})$ privé d'un point ; par ailleurs la distance $d$ est le rayon du cercle $\mathcal{C}.$

$\bullet\ $L'angle de tir des jets d'eau ayant servi à éteindre l'incendie est celui de la similitude plane directe s laissant invariant $O$ et transformant le point $I$ d'affixe $2\mathrm{i}$ en le point $J$ d'affixe $–2+2\mathrm{i}.$

6. Calcule la probabilité pour que l'appel du passant tombe sur un numéro en service :

a) au premier essai.

b) au second essai sachant qu'il n'a pas repris le premier numéro essayé.

7. Détermine :

a) l'écriture complexe de $s.$

b) l'ensemble $\Gamma.$

8. Calcule :

a) l'angle de tir.

b) la distance $d.$

Pour se rendre sur les lieux, les sapeurs-pompiers doivent suivre un trajet matérialisant la courbe représentative $\left(\mathcal{C_{f}}\right)$ de la fonction : $f\ :\ \mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$

$x\rightarrow\ln|x^{2}−3x+2|$ dans le repère $(O\ ;\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$

9. a) Justifie que l'ensemble de définition de $f$ est $\mathbb{R}\setminus {1\ ;\ 2}.$

b) Étudie les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition.

(c) Étudie le sens de variation de $f.$

(d) Dresse le tableau de variation de $f.$

10. (a) Étudie les branches infinies de la courbe $\left(\mathcal{C_{f}}\right)$

(b) Construis $\left(\mathcal{C_{f}}\right).$