Bac Maths 1er groupe S1 S3 2013

 

Exercice 1 (5 points) 

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $(O\;,\ \overrightarrow{OI}\;,\ \overrightarrow{OJ}).$
 
Soit $K$ le point du plan tel que $OIKJ$ soit un carré.
 
Soit $M$ un point quelconque de la droite $(OK)$ différent de $O$ et $s$ la similitude plane directe de centre $J$ qui transforme $O$ en $M.$ 
 
On note $m$ l'affixe du point $M$, $I'$ et $M'$ les images respectives de $I$ et de $M$ par $s.$
 
1) Montrer que $|m-1|=|m-\mathrm{i}|$ et que les complexes $(m-1)(m-\mathrm{i})$ et $m(1+\mathrm{i})$ sont imaginaires purs.
 
Indication : $M$ étant un point de la première bissectrice différent de $O$, il existe un réel $x$ non nul tel que $m=x+\mathrm{i}x.$  $3\times0.25$ pt
 
2) a) Vérifier que le rapport de $s$ est $|m-\mathrm{i}|$, calculer alors $M'I'$ en fonction $m.$  $2\times0.25$ pt
 
b) Calculer le rapport de $s\circ s.$ 
 
En déduire que $M'J=|m-\mathrm{i}|^{2}.$  $2\times0.25$ pt
 
c) Démontrer que $M'J=M'I'$  0.5 pt
 
3) a) Démontrer que l'écriture complexe de la similitude $s$ est $z'=(1+\mathrm{i}m)z+m.$
 
En déduire les vecteurs $\overrightarrow{II'}$ et $\overrightarrow{M'I'}$ ont pour affixes respectives $m(1+\mathrm{i})$ et $-\mathrm{i}(m-\mathrm{i})(m-1).$  0.75+0.25+0.25 pt
 
b) Prouver alors que $I'$ est le projeté orthogonal de $M'$ sur la droite $(IK).$  0.5 pt
 
c) Déduire de la relation de la question 2) c) que lorsque le point $M$ parcourt la droite $(OK)$ privée du point $O$, le point $M'$ appartient à une parabole dont on précisera le foyer et la directrice.
 
Placer toutes les données précédentes sur une figure.  $2\times0.5$ pt

Exercice 2 (4 points)

Dans un plan $\mathcal{P}$ de l'espace, on considère un cercle $\mathcal{C}$ de diamètre $[AB].$ 
 
Soit $(\Delta)$ la droite passant par $A$ et orthogonale à $\mathcal{P}$ et $S$ un point de $(\Delta)$ distinct de $A.$ 
 
On note $I$ le projeté orthogonal de $A$ sur $(BS).$
 
Pour tout point $M$ du cercle $\mathcal{C}$ on note $H$ le projeté orthogonal de $A$ sur la droite $(MS).$
 
1) Placer les données précédentes sur une figure, $(\Delta)$ étant tracée verticalement. 0.5 pt
 
2) Prouver que $H$ appartient à la sphère $\sum$ de diamètre $[AS].$  0.5 pt
 
3) Dans cette question, on suppose que $M$ est distinct de $A$ et de $B.$
 
Prouver que la droite $(MB)$ est orthogonale au plan $(AMS).$ 
 
En déduire que la droite $(AH)$ est orthogonale au plan $(BMS).$  $2\times0.75$ pt
 
4) Montrer que $H$ appartient au plan $\prod$ passant par $I$ et orthogonal à la droite $(BS).$  0.75 pt
 
5) Déterminer l'intersection $\Gamma$ de la sphère $\sum$ et du plan $\prod.$  0.75 pt

Problème (11 points)

Le plan est muni d'un repère orthonormé $\mathcal{R}=(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ (unité graphique $2.5\;cm).$
 
Partie A
 
1) a) Soit $m$ un réel strictement positif. 
 
Déterminer en fonction de $m$, des réels $a$, $b$, $c$, $\alpha$, $\beta$
tels que pour tout réel $x$ on ait : 
$$\int_{0}^{x}u\mathrm{e}^{mu}\mathrm{d}u=(\alpha x+\beta)\mathrm{e}^{mx}+\dfrac{1}{m^{2}}\text{ et }\int_{0}^{x}u^{2}\mathrm{e}^{-mu}\mathrm{d}u=(ax^{2}+bx+c)\mathrm{e}^{-mx}+\dfrac{2}{m^{3}}.\quad 2\times0.5\;pt$$
 
b) Calculer alors $$\lim_{x\rightarrow +\infty}\int_{0}^{x}u\mathrm{e}^{-mu}\mathrm{d}u\text{ et }\lim_{x\rightarrow +\infty}\int_{0}^{x}u^{2}\mathrm{e}^{-mu}\mathrm{d}u.\quad 2\times0.25\;pt$$
 
c) Montrer que les deux fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par :
$$f(x)=\int_{0}^{x}\dfrac{u}{\mathrm{e}^{u}+\mathrm{e}^{-u}}\mathrm{d}u\text{ et }g(x)=\int_{0}^{x}\dfrac{u^{2}}{\mathrm{e}^{u}+\mathrm{e}^{-u}}\mathrm{d}u$$ sont positives, dérivables et croissantes sur $I=[0\;,\ +\infty[.$
 
Après avoir vérifié que $\forall\,u\in\mathbb{R}_{+}\;,\ \dfrac{1}{2}\dfrac{1}{\mathrm{e}^{u}}\leq\dfrac{1}{\mathrm{e}^{u}+\mathrm{e}^{-u}}\leq\dfrac{1}{\mathrm{e}^{u}}$, déduire du b) que, quand $x$ tend vers $+\infty$, elles ont des limites respectives $\ell$ et $s$ appartenant à $\left[\dfrac{1}{2}\;,\ 1\right]$ et $[1\;,\ 2].$
 
Indication : On admettra qu'une fonction continue, croissante et majorée sur $[0\;,\ +\infty[$, admet une limite finie à $+\infty.$  1 pt
 
d) Montrer que la fonction $f$ est paire (faire le changement de variable $t=-u).$  0.5 pt
 
2) En vue de l'étude d'éventuels points d'inflexions de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ représentant la fonction $f$ dans le repère $\mathcal{R}$, montrer que la fonction $h$ définie sur $I$ par :
$$h(x)=(1-x)\mathrm{e}^{x}+(1+x)\mathrm{e}^{-x}$$ est dérivable sur $I$ et s'annule en un unique point $x_{0}$ appartenant à $]1\;;\ 1\;,\ 3[.$  0.5 pt
 
3) a) Montrer que pour tout $x\in\mathbb{R}\;,\ \mathrm{e}^{x}>x.$ 
 
En déduire que pour tout $x\in\mathbb{R}\;,\ f'(x)<1.$  0.25+0.25 pt
 
b) Soit $x$ un réel non nul. 
 
En appliquant le théorème des accroissements finis à $f$ dans l'intervalle d'extrémités $0$ et $x$, étudier les positions relatives de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et la première bissectrice.
 
En déduire que l'équation $f(x)=x$ a pour unique solution $0.$  0.5+0.25 pt
 
Partie B
 
1) a) Soit $x$ un réel positif. 
 
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ on a :
$$f(x)-\sum_{p=0}^{n}(-1)^{p}\int_{0}^{x}u\mathrm{e}^{-(2p+1)u}\mathrm{d}u=(-1)^{n+1}\int_{0}^{x}\dfrac{u\mathrm{e}^{-(2n+2)u}}{\mathrm{e}^{u}+\mathrm{e}^{-u}}\mathrm{d}u.$$
 
$\left(\text{On convient que }(-1)^{0}=1.\right)$  0.75 pt
 
En déduire que pour tout entier naturel $n$ :
$$\left|\ell-\sum_{p=0}^{n}\dfrac{(-1)^{p}}{(2p+1)^{2}}\right|\leq\dfrac{1}{(2n+3)^{2}}$$
 
(Utiliser la question 1) b) partie A)
 
Donner alors une valeur approchée de $\ell$ à $10^{-1}.$  0.5+0.25 pt
 
2) En procédant à une intégration par parties, vérifier que pour tout réel positif $\lambda$
$$\int_{0}^{\lambda}\left(f(\lambda)-f(x)\right)\mathrm{d}x=g(\lambda).$$
 
En déduire que $g(\lambda)$ et $s$ peuvent être interprétés comme aires de domaines que l'on déterminera.  $3\times0.25$ pt
 
3) Représenter la courbe $\mathcal{C}_{f}.$
 
On prendra $x_{0}=1.2\;,\ f(x_{0})=0.2.$ 
 
On représentera en particulier l'asymptote horizontale, la tangente horizontale, les points d'inflexions et les tangentes à $\mathcal{C}_{f}$ en ces points et le domaine plan dont une mesure de l'aire est $g(3).$

N.B. 

On rappelle que si une fonction est deux fois dérivable en un point $x_{0}$ et si sa dérivée seconde s'annule en $x_{0}$ en changeant de signe, alors le point de sa courbe d'abscisse $x_{0}$ est un point d'inflexion. 1 pt
 
4) Soit $a$ un réel strictement positif. 
 
On pose $a_{0}=a$ et pour tout entier naturel $n$, $a_{n+1}=f(a_{n})$
 
a) Démontrer que la suite $(a_{n})$ est positive et monotone.  $2\times0.25$ pt
 
b) En déduire que la suite $(a_{n})$ est convergente. 
 
Calculer alors sa limite.  $2\times0.25$ pt
 
Partie C
 
On considère la fonction $F$ définie sur $\mathbb{R}_{+}$ par :
 
$F(0)=\ell$ et pour tout réel $x$ strictement positif $F(x)=f(\ln x)$
 
1) Calculer $\lim_{x\rightarrow +\infty}F(x).$
 
Montrer que $F$ est continue au point $0.$  0.25+0.5 pt
 
2) a) Montrer que $F$ est dérivable sur $\mathbb{R}_{+}^{\ast}$ et calculer $F'(x)$ pour tout $x\in\mathbb{R}_{+}^{\ast}$.  0.25 pt
 
La fonction $F$ est-elle dérivable au point $0$ ?  0.75 pt
 
b) Déduire du a) que :
$$\forall\,x\in\mathbb{R}_{+}^{\ast}\;,\ F(x)=\int_{1}^{x}\dfrac{\ln u}{1+u^{2}}\mathrm{d}u.\quad 0.25\;pt$$
 

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