Repérage dans le plan 3e

Classe: 
Troisième

I. repérage orthonormal

Soient $\vec{i}\ $ et $\ \vec{j}$ deux vecteurs du plan de direction respective $(x'x)\ $ et $\ (y'y)$ non parallèles et $O$ leur point d'intersection. 
 
On appelle repère cartésien, le triplet $(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$
 
 
Si $(x'x)\perp(y'y)$ alors, le repère cartésien sera le repère orthogonal.
 
 
Si, pour le repère orthogonal, on a $\ell_{\vec{i}}=\ell_{\vec{j}}$ alors, le repère sera dit repère orthonormal.
 
 
Le point $O$ est appelé origine du repère et les axes $(x'x)\ $ et $\ (y'y)$sont respectivement appelés axe des abscisses et axe des ordonnées.

Remarque :

En posant $\vec{i}=\overrightarrow{OI}\ $ et $\ \vec{j}=\overrightarrow{OJ}$, le repère orthonormal sera noté $(O\;;\ I\;,\ J)$

II. Coordonnées d'un point dans un repère orthonormal

Soient $(O\;;\ I\;,\ J)$ un repère orthonormal et $M$ un point du plan.
 
 
 
On a : $OM_{1}MM_{2}$ un parallélogramme alors, $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OM_{1}}+\overrightarrow{OM_{2}}.$

Or, les vecteurs $\overrightarrow{OM_{1}}\ $ et $\ \overrightarrow{OM_{2}}$ sont respectivement colinéaires aux vecteurs $\vec{i}\ $ et $\ \vec{j}.$

Donc, il existe deux réels $x\ $ et $\ y$ tels que $\overrightarrow{OM_{1}}=x.\vec{i}\ $ et $\ \overrightarrow{OM_{2}}=y.\vec{j}.$

Ainsi, $\overrightarrow{OM}=x.\vec{i}+y.\vec{j}.$ D'où le couple $(x\;;\ y)$ est appelé les coordonnées du point $M$ dans le repère orthonormal $(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$

On notera $M\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix}$ ou $M(x\;;\ y)$
 
Si $M$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix}$ dans le repère orthonormal $(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ alors, $\overrightarrow{OM}=x.\vec{i}+y.\vec{j}.$

Exemple :

On considère un repère orthonormal $(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ et on donne :
 
$\overrightarrow{OA}=3\vec{i}+2\vec{j}\;;\ \overrightarrow{OB}=-2\vec{i}+3\vec{j}\;;\ \overrightarrow{OC}=4\vec{i}\ $ et $\ \overrightarrow{OD}=-3\vec{j}.$
 
Trouvons les coordonnées des points $A\;,\ B\;,\ C\ $ et $\ D$ et plaçons les dans le repère orthonormal.
 
On a : $\overrightarrow{OA}=3\vec{i}+2\vec{j}$ alors, $A\begin{pmatrix} 3\\ 2\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{OB}=-2\vec{i}+3\vec{j}$ alors, $B(-2\;;\ 3)$

$\overrightarrow{OC}=4\vec{i}$ alors, $C\begin{pmatrix} 4\\ 0\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{OD}=-3\vec{j}$ alors, $D(0\;;\ -3)$
 
 
Les réels $x\ $ et $\ y$ sont appelés respectivement abscisse et ordonnée du point $M$ dans le repère orthonormal $(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$
 
$\centerdot\ \ $ Le point $O$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} 0\\ 0 \end{pmatrix}$, on notera $O\begin{pmatrix} 0\\ 0 \end{pmatrix}$
 
$\centerdot\ \ $ Si un point a pour abscisse nul, il se trouvera alors dans l'axe des ordonnées.
 
$\centerdot\ \ $ Si un point a pour ordonnée nulle, il se trouvera alors dans l'axe des abscisses.

III. Coordonnées d'un vecteur dans un repère orthonormal

III.1 Coordonnées d'un vecteur représenté par un bipoint.

Soient $(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ un repère orthonormal, $A\ $ et $\ B$ deux points de ce repère.

 

 
On a : $\overrightarrow{OA}=x_{A}\vec{i}+y_{A}\vec{j}\ $ et $\ \overrightarrow{OB}=x_{B}\vec{i}+y_{B}\vec{j}$
 
et comme $\overrightarrow{AB}=(x_{B}\vec{i}+y_{B}\vec{j})-(x_{A}\vec{i}+y_{A}\vec{j})$
 
alors, $\overrightarrow{AB}=x_{B}\vec{i}+y_{B}\vec{j}-x_{A}\vec{i}-y_{A}\vec{j}.$
 
Ainsi, $\overrightarrow{AB}=(x_{B}-x_{A})\vec{i}+(y_{B}-y_{A})\vec{j}.$
 
Si $A\begin{pmatrix} x_{A}\\ y_{A} \end{pmatrix}\ $ et $\ B\begin{pmatrix} x_{B} \\ y_{B}\end{pmatrix}$ dans un repère orthonormal alors, $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_{B}-x_{A}\\ y_{B}-y_{A} \end{pmatrix}$
 
Exemple : on considère un repère orthonormal $(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ et on donne :
 
$\overrightarrow{OA}=2\vec{i}+3\vec{j}\;;\ \overrightarrow{OB}=-3\vec{i}+2\vec{j}\ $ et $\ \overrightarrow{OC}=-\vec{i}-4\vec{j}.$
 
Calculons les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}\;,\ \overrightarrow{AC}\ $ et $\ \overrightarrow{BC}$
 
On a : $A\begin{pmatrix} 2\\ 3 \end{pmatrix}\;,\ B\begin{pmatrix} -3\\ 2 \end{pmatrix}\ $ et $\ C\begin{pmatrix} -1\\ -4 \end{pmatrix}$

alors, $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -3-2\\ 2-3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -5\\ -1 \end{pmatrix}\;,\ \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} -1-2\\ -4-3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3\\ -7\end{pmatrix}$

et $\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} -1-(-3)\\ -4-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2\\ -6\end{pmatrix}$

III.2 Coordonnées d'un vecteur somme

Soient $\vec{u}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\ $ et $\ \vec{v}\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}$ deux vecteurs dans un repère orthonormal $(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$
 
On aura : $\vec{u}=x.\vec{i}+y.\vec{j}\ $ et $\ \vec{v}=x'.\vec{i}+y'.\vec{j}$ 
 
Alors, $\vec{u}+\vec{v}=(x.\vec{i}+y.\vec{j})+(x'.\vec{i}+y'.\vec{j}).$
 
Donc, $\vec{u}+\vec{v}=x.\vec{i}+y.\vec{j}+x'.\vec{i}+y'.\vec{j}.$
 
Ainsi, $\vec{u}+\vec{v}=(x+x').\vec{i}+(y+y').\vec{j}.$
 
Si $\vec{u}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\ $ et $\ \vec{v}\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}$ dans un repère orthonormal alors, $\vec{u}+\vec{v}\begin{pmatrix} x+x'\\ y+y' \end{pmatrix}$

III.3 Coordonnées d'un vecteur égal à un autre

Soient $\vec{u}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\ $ et $\ \vec{v}\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}$ deux vecteurs dans un repère orthonormal $(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$
 
On se propose de trouver la condition nécessaire et suffisante pour que les vecteurs $\vec{u}\ $ et $\ \vec{v}$ soient égaux.
 
On a : $\vec{u}=x.\vec{i}+y.\vec{j}\ $ et $\ \vec{v}=x'.\vec{i}+y'.\vec{j}$
 
or,  $\vec{u}=\vec{v}$
 
alors, $x.\vec{i}+y.\vec{j}=x'.\vec{i}+y'.\vec{j}.$
 
Donc, $x=x'\ $ et $\ y=y'$
 
Si $\vec{u}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\ $ et $\ \vec{v}\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}$ dans un repère orthonormal et  $\vec{u}=\vec{v}$ alors, $x=x'\ $ et $\ y=y'$ et réciproquement.

III.4 Coordonnées d'un vecteur opposé à un autre

Soient $\vec{u}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\ $ et $\ \vec{v}\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}$ deux vecteurs dans un repère orthonormal $(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$
 
On se propose de trouver la condition nécessaire et suffisante pour que les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ soient des vecteurs opposés.
 
On a : $\vec{u}=x.\vec{i}+y.\vec{j}$ et $\vec{v}=x'.\vec{i}+y'.\vec{j}$
 
or,  $\vec{u}+\vec{v}=\vec{0}$
 
alors, $x.\vec{i}+y.\vec{j}+x'.\vec{i}+y'.\vec{j}=\vec{0}.$
 
Donc, $(x+x').\vec{i}+(y+y').\vec{j}=0.\vec{i}+0.\vec{j}$
 
Ainsi, $x+x'=0$ et $y+y'0$

d'où, $x=-x'$ et $y=-y'$
 
Si $\vec{u}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}$ dans un repère orthonormal et  $\vec{u}+\vec{v}=\vec{0}$ alors, $x=-x'$ et $y=-y'$ et réciproquement.

III.5 Coordonnées d'un vecteur multiplié par un réel

Soient $\vec{u}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}$ deux vecteurs dans un repère orthonormal $(O;\ \vec{i},\ \vec{j})$ et $k\in\mathbb{R}$ tel que $\vec{v}=k.\vec{u}.$
 
On a : $\vec{u}=x.\vec{i}+y.\vec{j}\ $ et $\ \vec{v}=x'.\vec{i}+y'.\vec{j}$
 
or, $\vec{v}=k.\vec{u}.$
 
alors, $x'.\vec{i}+y'.\vec{j}=k(x.\vec{i}+y.\vec{j}).$
 
Donc, $x'.\vec{i}+y'.\vec{j}=(kx).\vec{i}+(ky).\vec{j}.$
 
D'où, $x'=kx$ et $y'=ky$
 
Si $\vec{u}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}$ dans un repère orthonormal et  $k\in\mathbb{R}$ alors, $k\vec{u}\begin{pmatrix} kx\\ ky \end{pmatrix}$

III.6 Condition de colinéarité de deux vecteurs

Soient $\vec{u}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\ $ et $\ \vec{v}\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}$ deux vecteurs colinéaires dans un repère orthonormal $(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$ 
 
Alors on a : $\vec{v}=k.\vec{u}$ avec $k\in\mathbb{R}.$
 
Donc, $x'=kx\ $ et $\ y'=ky$, par suite $\dfrac{x'}{y'}=\dfrac{kx}{ky}.$
 
Par conséquent, $\dfrac{x'}{y'}=\dfrac{x}{y}.$
 
Ainsi, $xy'=x'y$ ; d'où, $xy'-x'y=0$
 
Si $\vec{u}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\ $ et $\ \vec{v}\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}$ dans un repère orthonormal et  $\vec{u}\;,\ \vec{v}$ colinéaires alors, $xy'-x'y=0.$
 
Réciproque : Si $\vec{u}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\ $ et $\ \vec{v}\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}$ deux vecteurs dans un repère orthonormal et $xy'-x'y=0$ alors, $\vec{u}\ $ et $\ \vec{u}$ colinéaires. 

III.7 Applications

$\centerdot\ \ $ Coordonnées du milieu d'un segment

Soient $A\begin{pmatrix} x_{A}\\ y_{A} \end{pmatrix}\ $ et $\ B\begin{pmatrix} x_{B}\\ y_{B} \end{pmatrix}$  dans un repère orthonormal $(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j})\ $ et $\ I\begin{pmatrix} x_{I}\\ y_{I} \end{pmatrix}$ milieu de $[AB].$
 
 
On se propose de déterminer les coordonnées du point $I$ en fonction des coordonnées des points $A\ $ et $\ B.$
 
On a : $I$ milieu de $[AB]$ alors, $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}.$
 
Or, $\overrightarrow{AI}\begin{pmatrix} x_{I}-x_{A}\\ y_{I}-y_{A} \end{pmatrix}\ $ et $\ \overrightarrow{IB}\begin{pmatrix} x_{B}-x_{I}\\ y_{B}-y_{I} \end{pmatrix}$
 
Donc, $x_{I}-x_{A}=x_{B}-x_{I}$ et $y_{I}-y_{A}=y_{B}-y_{I}.$
 
Ainsi, $2x_{I}=x_{A}+x_{B}\ $ et $\ 2y_{I}=y_{A}+y_{B}$
 
D'où, $x_{I}=\dfrac{x_{A}+x_{B}}{2}\ $ et $\ y_{I}=\dfrac{y_{A}+y_{B}}{2}.$
 
Si  $A\begin{pmatrix} x_{A}\\ y_{A} \end{pmatrix}\ $ et $\ B\begin{pmatrix} x_{B}\\ y_{B} \end{pmatrix}$  dans un repère orthonormal $(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j})\ $ et $\ I\begin{pmatrix} x_{I}\\ y_{I}\end{pmatrix}$ milieu de $[AB]$ alors, $I\begin{pmatrix} \dfrac{x_{A}+x_{B}}{2}\\ \\ \dfrac{y_{A}+y_{B}}{2} \end{pmatrix}$
 
Exemple : on considère un repère orthonormal $(O;\ \vec{i},\ \vec{j})$ et on donne $A\begin{pmatrix} -1\\ 2 \end{pmatrix}\ $ et $\ B\begin{pmatrix} 5\\ 4 \end{pmatrix}.$
 
On a : $I$ milieu de $[AB]$ alors, $I\begin{pmatrix} \dfrac{(-1)+5}{2}\\ \\ \dfrac{2+4}{2} \end{pmatrix}$ ; donc,  $I\begin{pmatrix} 2\\ 3 \end{pmatrix}.$
 
 
On considère un repère orthonormal $(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ et on donne $A\begin{pmatrix} -1\\ 2 \end{pmatrix}\;,\ B\begin{pmatrix} 3\\ 4 \end{pmatrix}\ $ et $\ C\begin{pmatrix} 5\\ y \end{pmatrix}.$
 
Déterminons la valeur de $y$ pour que les points $A\;,\ B\ $ et $\ C$ soient alignés.
 
 
 

1er méthode :

On a : $A\;,\ B\ $ et $\ C$ alignés alors, $\overrightarrow{AC}=k.\overrightarrow{AB}.$
 
Or, $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 6\\ y-2 \end{pmatrix}\;;\ \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4\\ 2 \end{pmatrix}\ $ et $\ k.\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4k\\ 2k \end{pmatrix}$
 
Donc, $6=2k\ $ et $\ y-2=2k$
 
Ainsi, $k=\dfrac{3}{2}\ $ et $\ y-2=2\left(\dfrac{3}{2}\right)$ ; d'où, $y=5.$

2em méthode :

On a : $A\;,\ B\ $ et $\ C$ alignés alors, $\overrightarrow{AB}\ $ et $\ \overrightarrow{AB}$ colinéaires.
 
Or, $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4\\ 2 \end{pmatrix}\ $ et $\ \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 6\\ y-2 \end{pmatrix}$
 
Donc, $4(y-2)-2(6)=0$

Ainsi, $4y-8-12=0$

D'où, $y=5$

$\centerdot\ \ $ Détermination du quatrième point d'un parallélogramme

On considère un repère orthonormal $(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ et on donne $A\begin{pmatrix} 3\\ 5 \end{pmatrix}\;,\ B\begin{pmatrix} -2\\ 2\end{pmatrix}\ $ et $\ C\begin{pmatrix} -4\\ 3\end{pmatrix}.$
 
Déterminons les coordonnées du point $D$ telles que $ABCD$ soit un parallélogramme.
 
 
On a : $ABCD$ parallélogramme alors, $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}.$
 
Or, $\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix} x_{D}+4\\ y_{D}-3 \end{pmatrix}\ $ et $\ \overrightarrow{BA}\begin{pmatrix} 5\\ 3 \end{pmatrix}$
 
Donc, $x_{D}+4=5\ $ et $\ y_{D}=6$
 
D'où, $D\begin{pmatrix} 1\\ 6 \end{pmatrix}.$

$\centerdot\ \ $ Détermination des coordonnées du centre de gravité d'un triangle

On considère un repère orthonormal $(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ et on donne $A\begin{pmatrix} -3\\ 3 \end{pmatrix}\;,\ B\begin{pmatrix} 6\\ 3 \end{pmatrix}\ $ et $\ C\begin{pmatrix} 3\\ 6 \end{pmatrix}.$
 
Déterminons les coordonnées du point $G$ centre de gravité du triangle $ABC.$
 
 

1er méthode :

On a : $G$ centre de gravité de $ABC$ alors, $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}.$
 
Or, $\overrightarrow{GA}\begin{pmatrix} -3-x_{G}\\ 3-y_{G} \end{pmatrix}\;;\ \overrightarrow{GB}\begin{pmatrix} 6-x_{G}\\ 3-y_{G} \end{pmatrix}\ $ et $\ \overrightarrow{GC}\begin{pmatrix} 3-x_{G}\\ 6-y_{G}\end{pmatrix}$
 
Donc, $(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC})\begin{pmatrix} 6-3x_{G}\\ 12-3y_{G} \end{pmatrix}\ $ et  $\ \vec{0}\begin{pmatrix} 0\\ 0 \end{pmatrix}$
 
Par suite, $6-3x_{G}=0\ $ et $\ 12-3y_{G}=0$

Ainsi, $x_{G}=2\ $ et $\ y_{G}=4$
 
D'où, $G\begin{pmatrix} 2\\ 4 \end{pmatrix}$

2em méthode :

On a : $G$ centre de gravité de $ABC$ et $I$ milieu de $[AB].$
 
Alors, $\overrightarrow{IC}=3\overrightarrow{IG}$
 
Or, $I\begin{pmatrix} \dfrac{3}{2}\\ \\ 3 \end{pmatrix}\;,\ \overrightarrow{IC}\begin{pmatrix} \dfrac{3}{2}\\ \\ 3 \end{pmatrix}\;,\ \overrightarrow{IG}\begin{pmatrix} x_{G}-\dfrac{3}{2}\\ \\ y_{G}-3\end{pmatrix}\ $ et $\ 3\overrightarrow{IG}\begin{pmatrix} 3x_{G}-\dfrac{9}{2}\\ \\ 3y_{G}-9 \end{pmatrix}$
 
Donc, $\dfrac{3}{2}=3x_{G}-\dfrac{9}{2}\ $ et $\ 3=3y_{G}-9$

Ainsi, $x_{G}=2\ $ et $\ y_{G}=4$
 
D'où, $G\begin{pmatrix} 2\\ 4 \end{pmatrix}$

IV. Distance de deux points dans un repère orthonormal

Soient $A\begin{pmatrix} x_{A}\\ y_{A} \end{pmatrix}\ $ et $\ B\begin{pmatrix} x_{B}\\ y_{B} \end{pmatrix}$ deux points dans un repère orthonormal $(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$

 

 
On a : $ABC$ un triangle rectangle en $C$. D'après le théorème de Pythagore, on aura : $AB=\sqrt{AC^{2}+CB^{2}}$

Or, $AC^{2}=(x_{B}-x_{A})^{2}\ $ et $\ CB^{2}=(y_{B}-y_{A})^{2}$
 
Donc, $AB=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}}$
 
Si  $A\begin{pmatrix} x_{A}\\ y_{A} \end{pmatrix}\ $ et $\ B\begin{pmatrix} x_{B}\\ y_{B} \end{pmatrix}$ sont deux points dans un repère orthonormal alors, $AB=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}}.$
 
En posant $\overrightarrow{AB}=\vec{u}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}$ alors, $x_{B}-x_{A}=x\ $ et $\ y_{B}-y_{A}=y$
 
Donc, $L_{\vec{u}}=AB=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$
 
Si $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}$ dans un repère orthonormal alors, $AB=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.$

Applications :

$\centerdot\ \ $ Nature d'un triangle

On considère un repère orthonormal $(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ et on donne $A\begin{pmatrix} 1\\ -2 \end{pmatrix}\;,\ B\begin{pmatrix} 2\\ 1 \end{pmatrix}\ $ et $\ C\begin{pmatrix} 5\\ 0 \end{pmatrix}.$
 
Déterminons la nature exacte du triangle $ABC$
 
 
On a : $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 1\\ 3 \end{pmatrix}$ alors, $AB=\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{10}$

$\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 4\\ 2 \end{pmatrix}$ alors, $AC=\sqrt{4^{2}+2^{2}}=2\sqrt{5}$

et $\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} 3\\ -1 \end{pmatrix}$ alors, $BC=\sqrt{3^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{10}$
 
Donc, $AB=BC.$ Ainsi, $ABC$ est un triangle isocèle en $B.$
 
De plus on a $AC^{2}=(2\sqrt{5})^{2}=20\;,\ AB^{2}=(\sqrt{10})^{2}=10\ $ et $\ BC^{2}=(\sqrt{10})^{2}=10.$
 
Par suite, $AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}.$ D'après la réciproque du théorème de Pythagore $ABC$ est un triangle rectangle en $B.$
 
D'où, $ABC$ est rectangle et isocèle en $B$.

$\centerdot\ \ $ Condition d'orthogonalité de deux vecteurs dans un repère orthonormal

Soient $\vec{u}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\ $ et $\ \vec{v}\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}$ deux vecteurs dans un repère orthonormal $(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ tels que $\vec{u}\perp\vec{v}$
 
 
On a : $ABC$ triangle rectangle en $B$. D'après le théorème de Pythagore on aura : $AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}.$

Or, $\overrightarrow{AC}=\vec{u}+\vec{v}\begin{pmatrix} x+x'\\ y+y' \end{pmatrix}$ alors, $AC^{2}=(x+x')^{2}+(y+y')^{2}$

$\overrightarrow{AB}=\vec{u}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}$ alors, $AB^{2}=x^{2}+y^{2}$

et $\overrightarrow{BC}=\vec{v}\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}$ alors, $BC^{2}=x'^{2}+y'^{2}$

Donc, $x^{2}+2xx'+x'^{2}+y^{2}+2yy'+y'^{2}=x^{2}+y^{2}+x'^{2}+y'^{2}$

Ainsi, $2xx'+2yy'=0$

D'où, $xx'+yy'=0$
 
Si $\vec{u}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\ $ et $\ \vec{v}\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}$ sont deux vecteurs dans un repère orthonormal et $\vec{u}\perp\vec{v}$ alors, $x.x'+y.y'=0$

Réciproque :

Si $\vec{u}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\ $ et $\ \vec{v}\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}$ sont deux vecteurs dans un repère orthonormal tels que $x.x'+y.y'=0$  alors, $\vec{u}\perp\vec{v}$
 
Exemple : on considère un repère orthonormal $(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ et on donne $A\begin{pmatrix} 1\\ 2 \end{pmatrix}\;,\ B\begin{pmatrix} 2\\ 1 \end{pmatrix}\ $ et $\ C\begin{pmatrix} 5\\ 0\end{pmatrix}.$
 
Démontrons que $(AB)\perp(BC)$.

On a  : $(AB)\perp(BC)$ si, et seulement si, $\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{BC}.$
 
Or, $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 1\\ 3 \end{pmatrix}\ $ et $\ \overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} 3\\ -1 \end{pmatrix}$ alors, $(1)(3)+(3)(-1)=3-3=0.$
 
Donc, $\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{BC}.$
 
D'où, $(AB)\perp(BC)$.

V. Équation générale d'une droite

V.1 Droite passant par deux points dans un repère orthonormal

Soient $A\begin{pmatrix} -1\\ 2 \end{pmatrix}\ $ et $\ B\begin{pmatrix} 2\\ 1 \end{pmatrix}$ deux points dans un repère orthonormal $(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$
 
Déterminer l'équation de la droite $(AB).$
 
 
Soit $M\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\in\;(AB)$ alors, $\overrightarrow{AM}\ $ et $\ \overrightarrow{AB}$ sont colinéaires.
 
Or, $\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} x+1\\ y-2 \end{pmatrix}\ $ et $\ \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3\\ -1 \end{pmatrix}$

Donc, $-1(x+1)-3(y-2)=0$

Ainsi, $-x-1-3y+5=0$

D'où, $(AB)\;:\ -x-3y+5=0$ ou encore $(AB)\;:\ x+3y-5=0$

V.2 Droite définie par un vecteur et un point : vecteur directeur

Soient $\vec{u}\begin{pmatrix} 2\\ 3 \end{pmatrix}$ un vecteur et $A\begin{pmatrix} 3\\ -2 \end{pmatrix}$ un point dans un repère orthonormal $(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$
 
Déterminons l'équation de la droite $(\Delta)$ passant par $A$ et de direction $\vec{u}.$
 
 
Soit $N\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\in\;(\Delta)$ alors, $\overrightarrow{AN}\ $ et $\ \vec{u}$ sont colinéaires.
 
Or, $\overrightarrow{AN}\begin{pmatrix} x-3\\ y+2 \end{pmatrix}\ $ et $\ \vec{u}\begin{pmatrix} 2\\ 3 \end{pmatrix}$

Donc, $3(x-3)-2(y+2)=0$

Ainsi, $3x-9-2y-4=0$

D'où, $(\Delta)\;:\ 3x-2y-13=0$
 
Le vecteur $\vec{u}$ de coordonnées $\begin{pmatrix} 2\\ 3 \end{pmatrix}$ est appelé un vecteur directeur de la droite $(\Delta)$ d'équation $3x-2y-13=0.$

Et l'équation $3x-2y-13=0$ est une équation générale de $(\Delta).$

Théorème :

Si $(\Delta)\;:\ ax+by+c=0$ alors, $\vec{u}\begin{pmatrix} -b\\ a \end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de $(\Delta)$
 
Exemple : trouvons un vecteur directeur de chacune des deux droites suivantes : $(D)\;:\ 4x-3y+5=0\ $ et $\ (\Delta)\;:\ 7x+5y-13=0.$
 
On a : $\vec{u}\begin{pmatrix} 3\\ 4 \end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de $(D)\ $ et $\ \vec{v}\begin{pmatrix} -5\\ 7 \end{pmatrix}$ celui de $(\Delta)$

Applications :

$\centerdot\ \ $ Droite passant par un point et parallèle à une droite donnée

Soient $(D)\;:\ 4x-3y+1=0\ $ et $\ A\begin{pmatrix} 1\\ 2 \end{pmatrix}$ un point dans un repère orthonormal $(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$
 
Déterminons l'équation de la droite $(\Delta)$ passant par le point $A$ et parallèle à la droite $(D).$
 
Soit $M\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\in\;(\Delta)$

On a :$(D)\;:\ 4x-3y+1=0$ et alors, $\vec{u}\begin{pmatrix} 3\\ 4 \end{pmatrix}$ un vecteur directeur.
 
Donc,  $\overrightarrow{AM}\ $ et $\ \vec{u}$ sont colinéaires.
 
Or, $\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} x-1\\ y-2 \end{pmatrix}\ $ et $\ \vec{u}\begin{pmatrix} 3\\ 4 \end{pmatrix}$

Par suite, $4(x-1)-3(y-2)=0$

Ainsi, $4x-4-3y+6=0$

D'où, $(\Delta)\;:\ 4x-3y+2=0$

$\centerdot\ \ $ Droite passant par un point et perpendiculaire à une droite donnée

Soit $(D)\;:\ 3x+2y-5=0$ une droite données et $A\begin{pmatrix} -2\\ -3 \end{pmatrix}$ un point dans un repère orthonormal $(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$
 
Déterminons l'équation de la droite $(\Delta)$ passant par le point $A$ et perpendiculaire à la droite $(D).$
 
Soit $M\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\in\;(\Delta)$
 
On a : $(D)\;:\ 3x+2y-5=0$ et alors, $\vec{u}\begin{pmatrix} -2\\ 3 \end{pmatrix}$ un vecteur directeur.
 
Et comme $(\Delta)\perp D$ donc,  $\overrightarrow{AM}\perp\vec{u}.$
 
Or, $\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} x+2\\ y+3 \end{pmatrix}\ $ et $\ \vec{u}\begin{pmatrix} -2\\ 3 \end{pmatrix}$

Par suite, $-2(x+2)+3(y+3)=0$

Ainsi, $-2x-4+3y+9=0$

D'où, $(\Delta)\;:\ -2x+3y+5=0$

$\centerdot\ \ $ Équation d'une droite passant par un point et parallèle à l'axe des abscisses $(xx')\;:\ y=0$

Soit $A\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}$ un point dans un repère orthonormal $(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$
 
Déterminons l'équation de la droite $(\Delta)$ passant par le point $A$ et parallèle à l'axe des abscisses.
 
 
Soit $M\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\in\;(\Delta)$
 
On a : $\vec{i}\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}$ un vecteur directeur de $(xx')$ et comme $(\Delta)\parallel(xx')$ alors, $\overrightarrow{AM}$ et $\vec{i}$ sont colinéaires.
 
Or, $\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} x-a\\ y-b \end{pmatrix}\ $ et $\ \vec{i}\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}$ donc, $0(x-a)-1(y-b)=0.$

Par suite, $-y+b=0.$

D'où, $(\Delta)\;:\ y=b.$

Si $A\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}\in\;(\Delta)$ un point dans un repère orthonormal et $(\Delta)\parallel(xx')$ alors, $(\Delta)\;:\ y=b$

$\centerdot\ \ $ Équation d'une droite passant par un point et parallèle à l'axe des ordonnées $(yy')\;:\ x=0$

Soit $A\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}$ un point dans un repère orthonormal $(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$
 
Déterminons l'équation de la droite $(\Delta)$ passant par le point $A$ et parallèle à l'axe des ordonnés.
 
 
Soit $M\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\in\;(\Delta)$
 
On a : $\vec{j}\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}$ un vecteur directeur de $(yy')$ et comme $(\Delta)\parallel(yy')$ alors, $\overrightarrow{AM}\ $ et $\ \vec{j}$ sont colinéaires.
 
Or, $\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} x-a\\ y-b \end{pmatrix}\ $ et $\ \vec{j}\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}$ donc, $1(x-a)-0(y-b)=0.$

Ainsi, $x-a=0.$

D'où, $(\Delta)\;:\ x=a.$

Si $A\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}\in\;(\Delta)$ un point dans un repère orthonormal et $(\Delta)\parallel(yy')$ alors, $(\Delta)\;:\ x=a.$

VI. Équation réduite d'une droite

VI.1 Exemples et Définitions

Soit $(\Delta)\;:\ 3x-2y+6=0$

On peut écrire alors $(\Delta)\;:\ y=\dfrac{3}{2}x+3.$
 
L'équation écrite sous la forme $y=\dfrac{3}{2}x+3$ est appelée équation réduite de la droite $(\Delta)$ de coefficient directeur $\dfrac{3}{2}$ et d'ordonnée à l'origine $+3.$
 
Ce qui signifie que la droite $(\Delta)$ passe par le point de coordonnées $(0\;;\ 3).$
 
De manière générale, l'équation réduite d'une droite $(\Delta)$ s'écrit sous la forme $y=ax+b$ où $a\in\mathbb{R}\ $ et $\ b\in\mathbb{R}.$
 
Le réel $a$ est appelé le coefficient directeur (pente) de la droite $(\Delta)$ et le réel $b$ son ordonnée à l'origine ; c'est à dire la droite passe par un point de coordonnées $(0\;;\ b).$

VI.2 Relation entre coefficient directeur et les coordonnées du vecteur directeur d'une droite

Soit $(\Delta)\;:\ 3x-2y+6=0$
 
On a : $\vec{u}\begin{pmatrix} 2\\ 3 \end{pmatrix}$ un vecteur directeur de $(\Delta)\ $ et $\ (\Delta)\;:\ y=\dfrac{3}{2}x+3.$
 
Ainsi, le coefficient directeur d'une droite est égal au rapport de l'ordonnée du vecteur directeur par son abscisse.
 
Si $\vec{u}\begin{pmatrix} m\\ n \end{pmatrix}$ un vecteur directeur de $(\Delta)\;:\ y=ax+b$ avec $m\neq 0$ alors, $a=\dfrac{n}{m}$
 
Exemple 1 : trouvons le coefficient directeur d'une droite $(\Delta)$ de vecteur directeur $\vec{u}\begin{pmatrix} -3\\ 6 \end{pmatrix}$
 
Soit $(\Delta)\;:\ y=ax+b\ $ et $\ \vec{u}\begin{pmatrix} -3\\ 6 \end{pmatrix}$ un vecteur directeur de $(\Delta)$ alors, $a=\dfrac{6}{-3}=-2$
 
Exemple 2 : trouvons un vecteur directeur de la droite $(\Delta)$ d'équation $y=\dfrac{4}{5}x-6$
 
On a : $\vec{u}\begin{pmatrix} 5\\ 4 \end{pmatrix}$ un vecteur directeur de $(\Delta)$.

VI.3 Propriétés

$\centerdot\ \ $ Condition de parallélisme de deux droites

Soient $(D)\;:\ y=ax+b\ $ et $\ (\Delta)\;:\ y=a'x+b'$ deux droites dans un repère orthonormal telles que $(D)\parallel(\Delta).$
 
On a  : $\vec{u}\begin{pmatrix} 1\\ a \end{pmatrix}$ un vecteur directeur de $(D)\;,\ \vec{v}\begin{pmatrix} 1\\ a' \end{pmatrix}$ un vecteur directeur de $(\Delta)\ $ et $\ (D)\parallel(\Delta)$

alors, $\vec{u}\ $  et $\ \vec{v}$ sont colinéaires.


Donc, $1(a')-1(a)=0$

Ainsi, $a'-a=0$. D'où $a'=a$

Si $(D)\;:\ y=ax+b\ $ et $\ (\Delta)\;:\ y=a'x+b'$ deux droites dans un repère orthonormal et $(D)\parallel(\Delta)$ alors, $a=a'$

Réciproque :

Si $(D)\;:\ y=ax+b\ $ et $\ (\Delta)\;:\ y=a'x+b'$ deux droites dans un repère orthonormal et $a=a'$ alors, $(D)\parallel(\Delta)$

$\centerdot\ \ $ Condition d'orthogonalité de deux vecteurs

Soient $(D)\;:\ y=ax+b$ et $(\Delta)\;:\ y=a'x+b'$ deux droites dans un repère orthonormal telles que $(D)\perp(\Delta).$
 
On a  : $\vec{u}\begin{pmatrix} 1\\ a \end{pmatrix}$ un vecteur directeur de $(D)\ $ et $\ \vec{v}\begin{pmatrix} 1\\ a' \end{pmatrix}$ un vecteur directeur de $(\Delta).$
 
Et comme $(D)\perp(\Delta)$ alors, $\vec{u}\perp\vec{v}.$

Donc, $(1)(1)+(a)(a')=0$

Ainsi, $1+a.a'=0$. D'où, $aa'=-1$

Si $(D)\;:\ y=ax+b$ et $(\Delta)\;:\ y=a'x+b'$ deux droites dans un repère orthonormal et $(D)\perp(\Delta)$ alors, $aa'=-1$

Réciproque :

Si $(D)\;:\ y=ax+b\ $ et $\ (\Delta)\;:\ y=a'x+b'$ deux droites dans un repère orthonormal et $aa'=-1$ alors, $(D)\perp(\Delta)$

Applications :

$\centerdot\ \ $ Droite passant par deux points dans un repère orthonormal

Soit $A\begin{pmatrix} -1\\ 2 \end{pmatrix}\ $ et $\ B\begin{pmatrix} 2\\ 1 \end{pmatrix}$ deux points dans un repère orthonormal $(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$

Déterminons l'équation de la droite $(AB)$

Soit $(AB)\;:\ y=ax+b$. On a $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3\\ -1 \end{pmatrix}$ un vecteur directeur de $(AB)$ alors, $a=-\dfrac{1}{3}$

Donc, $(AB)\;:\ y=-\dfrac{1}{3}x+b$ et $A\begin{pmatrix} -1\\ 2 \end{pmatrix}\in\;(AB)$

Par suite, $2=-\dfrac{1}{3}(-1)+b$

Ainsi, $b=2-\dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{3}$

D'où, $(AB)\;:\ y=-\dfrac{1}{3}x+\dfrac{5}{3}$
 
Auteur: 
Abdoulaye Ba

Commentaires

Vos cours sont très interressants mais le cours de repérage est très compliqué il y'a trop de x de i de y ce serait plus facile avec des valeur A et B x et y pour faciliter l'apprentissage mais ça donne pas envie d'apprendre

J'aurais voulu savoir comment peut on tracer les droites sur le repère

J'aurais voulu savoir comment peut on tracer les droites sur le repère

le repérage

Vrmt ça m'a beaucoup aide trop important

c'est cool

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