Polynômes - 2nd

Classe: 
Seconde

I Rappel de quelques égalités remarquables

$\forall\;a,\ b\in\mathbb{R}$, nous avons les expressions suivantes appelées égalités remarquables :

$\centerdot\ \ (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$

$\centerdot\ \ (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$

$\centerdot\ \ (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$

$\centerdot\ \ (a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}$

$\centerdot\ \ a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$

$\centerdot\ \ a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$

Activité :

1) Développer $2\left(x-\dfrac{1}{2}\right)(x+3)(x-2)$

2) Soit $P(x)=2x^{3}-3x^{2}-11x+6$

 a) Calculer $P(-2)$

 b) Déterminer $a\;,\ $ $b\ $ et $c$ pour que $P(x)=(x+2)(ax^{2}+bx+c)$

 c) Résoudre dans $\mathbb{R}\;,\  P(x)=0$

    Factoriser $P(x)$
    
    Résoudre $P(x)\leq 0$

3) $Q(x)=x^{4}+2x^{3}-16x^{2}-2x+15$

 Calculer $Q(1)$

 Résoudre dans $\mathbb{R}\;,\  Q(x)=0$

II Définitions et propriétés

II.1 Définitions

Soit $a$ un réel ; $n$ un entier naturel. 
 
$\centerdot\ \ $ On appelle monôme l'expression $ax^{n}.$
 
$\centerdot\ \ \ a$ est appelé le coefficient, 
 
$\centerdot\ \ \ n$ est le degré, 
 
$\centerdot\ \ \ x$ est la variable.

Exemple 

$f(x)=3x^{2}$ est un monôme de degré 2 et de coefficient 3.

Remarque 

$a\in\mathbb{R}\;;\ a=ax^{0}$
 
Tout réel $a$ est un monôme de degré 0 et de coefficient $a.$

Soient $a_{0}\;,\ a_{1}\;,\ a_{2}\;,\ \ldots\;,\ a_{n}$ des nombres réels.

$\centerdot\ \ $ On appelle fonction polynôme ou polynôme toute expression de la forme $$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots\ldots+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=P(x)$$
$\centerdot\ \ $ Les réels $a_{0}\;,\ a_{1}\;,\ a_{2}\;,\ \ldots\;,\ a_{n}$ sont appelés les coefficients du polynôme.

$\centerdot\ \ $ Le plus grand entier $n$ tel que $a_{n}\neq 0$ est appelé le degré du polynôme $P$ noté $deg\;P=n$

$\centerdot\ \ \ a_{n}$ est le coefficient dominant du polynôme $P(x)$ et $a_{0}$ est le terme constant du polynôme.

Remarque 

Un polynôme est la somme de plusieurs monômes.
 
Son degré est celui du monôme de plus haut degré.

Exemple 

$P(x)=2x^{3}+4x^{2}-3x+1\;;\quad deg\;P=3$
 

Remarque :

Si tous les coefficients sont nuls, on dit que le polynôme est nul; $P(x)=0$. Par convention on note $deg\;P=-\infty$

Un polynôme du $2^{nd}$ degré est appelé trinôme du $2^{nd}$ degré.

Exercice d'application 

Parmi les fonctions suivantes dites celles qui sont des polynômes et dans le cas où la fonction est un polynôme déterminer son degré, son coefficient dominant et son terme constant.
 
$f(x)=-4x^{2}+2x^{3}+6x-2$
 
$g(x)=\dfrac{2}{5}x^{2}-\sqrt{3}x+7$
 
$h(x)=\sqrt{7}x^{6}-4x^{2}+x$
 
$n(x)=x^{6}+4x^{2}-3\sqrt{x}-2$
 
$m(x)=x^{6}-2x^{2}+7x+\dfrac{2}{x}$

Résolution 

$f(x)$ est un polynôme. 
 
$deg\;f=3\;,\ coef\;f=2\ \text{ et } a_{0}=-2$
 
$g(x)$ est un polynôme. 
 
$deg\;g=2\;,\ coef\;g=\dfrac{2}{5}\ \text{ et } a_{0}=7$
 
$h(x)$ est un polynôme. 
 
$deg\;h=6\;,\ coef\;h= a_{6}=\sqrt{7}$ et $ a_{0}=0$
 
On a par ailleurs, $ a_{5}=0\;,\  a_{4}=0\;,\  a_{3}=0\;,\  a_{2}=-4\;,\  a_{1}=1$
 
$n(x)$ n'est pas un polynôme car on ne peut pas écrire $\sqrt{x}$ sous la forme $x^{n}$ avec $n$ entier naturel.
 
$m(x)$ n'est pas un polynôme à cause de la présence de $\dfrac{1}{x}.$

II.2 Égalité de polynômes

Soient $P$ et $Q$ deux polynômes

$P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots\ldots+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\ \ ;\ a_{n}\neq 0\text{ et }deg\;P=n$

$Q(x)=b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\ldots\ldots+b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0}\ \ ;\ b_{m}\neq 0\text{ et }deg\;Q=m$

$P(x)$ et $Q(x)$ sont égaux si, et seulement si,

$\left\lbrace\begin{array}{lcl}
deg\;P(x) &=& deg\;Q(x)\\
\forall i\quad a_{i} &=& b_{i}
\end{array}\right.\ $ donc $\ \left\lbrace\begin{array}{lcl}
n &=& m\\
a_{i} &=& b_{i}
\end{array}\right.\quad\forall i$

II.3 Opérations sur les polynômes

Soient $P$ et $Q$ deux polynômes

$P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots\ldots+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\ \ ;\ a_{n}\neq 0\text{ et }deg\;P=n$

$Q(x)=b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\ldots\ldots+b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0}\ \ ;\ b_{m}\neq 0\text{ et }deg\;Q=m$

$\centerdot\ \ $ La somme des polynômes $P(x)$ et $Q(x)$ est un polynôme $$h(x)=P(x)+Q(x)$$

$deg\;P=n\;,\quad deg\;Q=m$

$$deg\;(P+Q)\leq sup(deg\;P,\ deg\;Q)$$

$\centerdot\ \ $ On appelle le produit des polynômes $P$ et $Q$, le polynôme $$g(x)=P(x).Q(x)$$

$deg\;P=n\;,\quad deg\;Q=m$

$$deg\;(P(x).Q(x))=deg\;P(x)+deg\;Q(x)$$

$\centerdot\ \ \ k\in\mathbb{R}\;,\ kP(x)$ est un polynôme qui a même degré que $P(x)$

Exercice d'application 

On donne trois polynômes $A(x)=3x^{2}+4x-2\;,\ B(x)=x^{3}+x^{2}+1$ et $C(x)=x^{2}+1$
 
Calculer $A(x)+B(x)\;,\ A(x).C(x)$ et $3.C(x)$
 
Que peut-on dire des degrés des polynômes obtenu ?

Résolution 

\begin{eqnarray} A(x)+B(x)&=&3x^{2}+4x-2+x^{3}+x^{2}+1 \nonumber \\ &=&x^{3}+4x^{2}+4x-1 \nonumber \end{eqnarray}
 
\begin{eqnarray} A(x).B(x)&=&(3x^{2}+4x-2)(x^{2}+1) \nonumber \\ &=&3x^{4}+4x^{3}-2x^{2}+3x^{2}+4x-2 \nonumber \\ &=&3x^{4}+4x^{3}+x^{2}+4x-2 \nonumber \end{eqnarray}
 
\begin{eqnarray} 3.C(x)&=&3(x^{2}+1) \nonumber \\ &=&3x^{2}+3 \nonumber \end{eqnarray}
 
On a $deg\;A(x)=2\;,\ deg\;B(x)=3$ et $deg\;C(x)=2$
 
$deg\;(A(x)+B(x))=3=sup(deg\;A(x),\ deg\;B(x))$
 
$deg\;(A(x).C(x))=4=deg\;A(x)+deg\;C(x)$ et $deg\;(3.C(x))=2=deg\;C(x)$

II.4 Racine d'un polynôme

Définition 

Soit $P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots\ldots+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\ \ ;\ a_{n}\neq 0\text{ et }deg\;P=n$

On dit que $\alpha$ est racine de $P(x)=0$ ou $\alpha$ est un zéro de $P(x)$ si, et seulement si, $$P(\alpha)=0$$

Exemple 

Soit le polynôme $P(x)=x^{3}-4x^{2}+4x-1$ ; montrer que 1 est racine $P.$
 
Calculons $P(1)$
 
On a $P(1)=1-4+4-1=0$ donc 1 est racine de $P.$

III Division euclidienne des polynômes 

III.1 Définition

Soient $A$ et $B$ deux polynômes; $deg\;A=n\;,\quad deg\;B=m.$
 
$\centerdot\ \ $ On dit que $A(x)$ est divisible par $B(x)$ s'il existe un polynôme $Q(x)$ tel que pour tout $x\in\mathbb{R}$ 
$$A(x)=B(x)\times Q(x)$$
On a alors $deg\;A=deg\;B+deg\;Q$

Remarque

Si $\alpha$ est racine de $A(x)=0$, alors $A(x)$ est divisible par $(x-\alpha)$. C'est-à-dire qu'il existe un polynôme $g(x)$ tel que $$A(x)=(x-\alpha)g(x)$$
 
$\centerdot\ \ $ Si $A(x)$ n'est pas divisible par $B(x)$, alors il existe deux polynômes $Q(x)$ et $R(x)$ tels que $\forall\;x\in\mathbb{R}$ $$A(x)=B(x)\times Q(x)+R(x)$$
et on a $0<deg\;R<deg\;B$

III.2 Techniques de la division de polynômes

III.2.1 Méthode par l'algorithme de division euclidienne

Exemple 

Soient $A(x)$ et $B(x)$ deux polynômes. Dans chacun des cas suivants effectuer la division de $A$ par $B$ puis déduire $Q$ et éventuellement $R$ tels que $A(x)=B(x)\times Q(x)+R(x)$
 
a) $A(x)=2x^{3}+3x^{2}-4x+5$ et $B(x)=x^{2}+2x-1$
 
b) $A(x)=6x^{3}-x^{2}-11x+6$ et $B(x)=3x-2$

Résolution 

a) On a $$\begin{array}{l} \ \ 2x^{3}+3x^{2}-4x+5 \\ -2x^{3}-4x^{2}+2x \\ \hline \qquad 0-x^{2}-2x+5 \\ \qquad\qquad x^{2}+2x-1 \\ \hline\qquad\qquad\ 0+0+4\\ \end{array}\ \begin{array}{|l} x^{2}+2x-1 \\ \hline 2x-1 \\ \\  \\ \\ \\ \end{array}$$
 
Donc $A(x)=B(x)\times(2x-1)+4\quad\Rightarrow\quad Q(x)=2x-1\ \text{ et } R(x)=4$
 
Ainsi, $A(x)$ n'est pas divisible par $B(x)$
 
b) On a $$\begin{array}{l} \ \ 6x^{3}-x^{2}-11x+6 \\ -6x^{3}+4x^{2} \\ \hline\quad 0+3x^{2}-11x+6 \\ \quad\quad -3x^{2}+2x \\ \hline\qquad\quad 0-9x+6\\ \qquad\ \qquad \ 9x-6\\ \hline\qquad\qquad\qquad\ 0 \end{array}\ \begin{array}{|l} 3x-2 \\ \hline 2x^{2}+x-3 \\ \\ \\ \\ \\ \\ \end{array}$$ 
 
Donc $A(x)=B(x)\times(2x^{2}+x-3)\quad\Rightarrow\quad Q(x)=2x^{2}+x-3\ \text{ et } R(x)=0$
 
Ainsi, $A(x)$ est divisible par $B(x)$

III.2.2 Méthode par identification des coefficients

Exemple 

Soient deux polynômes $A(x)=6x^{3}-x^{2}-11x+6$ et $B(x)=3x-2$ tels que $A(x)$ divisible par $B(x).$
 
Déterminer le polynôme $Q$ tel que $A(x)=B(x)\times Q(x)$

Résolution 

$A(x)$ divisible par $B(x)$ alors il existe un polynôme $Q(x)$ tel que $A(x)=B(x)\times Q(x).$
 
Donc $deg\;A(x)=deg\;B(x)+deg\;Q(x)\quad\Rightarrow\quad deg\;Q(x)=deg\;a(x)-deg\;B(x)=2$
 
Ainsi, $Q(x)=ax^{2}+bx+c$
 
On a \begin{eqnarray} A(x)&=&B(x)\times Q(x) \nonumber \\ &=&(3x-2)(ax^{2}+bx+c) \nonumber \\ &=&3ax^{3}+3bx^{2}+3cx-2ax^{2}-2bx-2c \nonumber \\ &=&3ax^{3}+(3b-2a)x^{2}+(3c-2b)x-2c \nonumber \\ \Rightarrow 6x^{3}-x^{2}-11x+6&=&3ax^{3}+(3b-2a)x^{2}+(3c-2b)x-2c \nonumber \end{eqnarray}
 
d'après la propriété sur l'égalité de deux polynômes on a :
 
$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} 3a&=&6 \\ 3b-2a&=&-1 \\ 3c-2b&=&-11 \\ -2c&=&6 \end{array}\right.\quad\Rightarrow\quad\left\lbrace\begin{array}{rcl} a&=&2 \\ b&=&1 \\ c&=&-3 \end{array}\right.$$
 
Donc $Q(x)=2x^{2}+x-3$

III.2.3 Méthode de Hörner 

Exemple 

Soit un polynôme $P(x)=x^{3}-4x^{2}+5x-2$ avec $x_{0}=2$ racine de $P.$
 
Déterminer le polynôme $Q$ tel que $P(x)=(x-2)\times Q(x)$

Résolution 

On a $deg\;Q(x)=deg\;P(x)-1=2$ donc $Q(x)=ax^{2}+bx+c$
 
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline\text{Coefficients de }P(x)& & & & \\ \text{dans l'ordre décroissant} &1&-4&5&-2 \\ \text{des puissances}& & & & \\ \hline & & & & \\ x_{0}=2& &2&-4&2 \\ & & & & \\ \hline \text{Coefficients de }Q(x)&1&-2&1&0 \\ \text{ dans l'ordre décroissant}&\uparrow&\uparrow&\uparrow&\uparrow \\ \text{des puissances}&a&b&c&P(x_{0}) \\ \hline\end{array}$$
 
Donc $Q(x)=x^{2}-2x+1$
 
On procède comme suit :
 
$\centerdot\ \ $ étape 1 : $a=1\;;\ 2\times a=2\times 1=2$ puis $2+(-4)=-2$, donc $b=-2$
 
$\centerdot\ \ $ étape 2 : $b=-2\;;\ 2\times b=2\times(-2)=-4$ puis $-4+5=1$, donc $c=1$
 
$\centerdot\ \ $ étape 3 : $c=1\;;\ 2\times c=2\times 1=2$ puis $2+(-2)=0=P(x_{0})=P(2)$
 

IV Fractions rationnelles

IV.1 Définition

Soient $f$ et $g$ deux fonctions polynômes, la fonction $h$ définie par $$h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$$ est appelée une fraction rationnelle.

Donc une fraction rationnelle est un quotient de deux polynômes.

IV.2 Ensemble de définition

Soit $h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$ une fonction rationnelle, $S$ l'ensemble des solutions de l'équation $g(x)=0.$
 
L'ensemble de définition ou domaine de définition de $h$ est l'ensemble  $$D_{h}=\{x\in\mathbb{R}\;;\ g(x)\neq 0\}=\mathbb{R}\setminus S$$

Exercice d'application

Soit $f(x)=\dfrac{x^{2}-4x+3}{x+5}$
 
1) Déterminer le domaine de définition de $f$
 
2) Déterminer $a\;,\ b$ et $c$ pour que $f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x+5}$

Résolution 

1) \begin{eqnarray} f(x)=\dfrac{x^{2}-4x+3}{x+5}\ \text{ existe }&\Leftrightarrow&x+5\neq 0 \nonumber \\ &\Leftrightarrow&x\neq -5 \nonumber \end{eqnarray} 

Donc $D_{f}=\mathbb{R}\setminus\{-5\}$
 
2) On a $$\begin{array}{l} \ \ x^{2}-4x+3 \\ -x^{2}-5x \\ \hline\quad 0-9x+3 \\ \quad\quad\ 9x+45 \\ \hline\qquad\quad 0+48\\ \end{array}\ \begin{array}{|l} x+5 \\ \hline x-9 \\ \\ \\ \\ \\ \end{array}$$
 
Donc $a=1\;,\ b=-9$ et $c=48$ 
 
Ainsi, $f(x)=x-9+\dfrac{48}{x+5}$
Auteur: 
Seyni Ndiaye

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