Généralités sur les fonctions - 2nd

Classe: 
Seconde

Activité 1

Donner les ensembles de définition des fonctions suivantes :

$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\;;\ f(x)=x^{2}+2x$

$g:[0;\ +\infty[\rightarrow\mathbb{R}\;;\ g(x)=\dfrac{x}{x^{2}-1}$

$h:[0;\ +\infty[\rightarrow\mathbb{R}\;;\ h(x)=\sqrt{1-x}$

$k:[0;\ 5]\rightarrow\mathbb{R}\;;\ k(x)=\dfrac{x}{x-3}$

Activité 2

$ABCD$ est un rectangle de périmètre $18\;m$ et de coté variable; $AB=x$.

1) Exprimer $AB$ en fonction de $x$.

2) Soit $f(x)$ l'aire de $ABCD$. Donner l'ensemble de définition de $f$ et déterminer l'expression de $f(x)$.

I Définition

Soient $I$ et $J$deux ensembles non vides. On appelle fonction de $I$ vers $J$, toute relation qui lie, à tout élément $x$ de $I$, au plus un élément $y$ de $J$

Exemple

$$\begin{array}{ccrcl} f&:&[0;\ +\infty[&\longrightarrow&\mathbb{R} \\ & &x&\longmapsto&x^{2}+1 \end{array}$$

$I=[0;\ +\infty[\;,\ J=\mathbb{R}$


 

 

$\centerdot\ \ $ l'ensemble $I$ est appelé de départ et $J$ l'ensemble d'arrivé.

$\centerdot\ \ $ $f(x)$ est l'image de $x$ par $f$.

$\centerdot\ \ $ Si $y=f(x)$ on dit que $x$ est l'antécédent de $y$ par $f$.

$\centerdot\ \ $ Si $J=\mathbb{R}$ on dit que $f$ est une fonction numérique.

$\centerdot\ \ $ Si $I$ et $J$ sont des parties de $\mathbb{R}$ on dit que $f$ est une fonction numérique de la variable réelle.

$\centerdot\ \ $ $f$ définie sur $I$ par $f(x)=\ldots$ est notée parfois

$$\begin{array}{ccrcl} f&:&I&\longrightarrow&\mathbb{R} \\ & &x&\longmapsto&f(x) \end{array}$$

II Ensemble de définition

$f\ :\ I\rightarrow\mathbb{R}\;,\ $ l'ensemble $x\longmapsto f(x)$ de définition de $f$ noté $D_{f}$ est l'ensemble des $x$ appartenant à $I$ tels que $f(x)$ existe.
$$D_{f}=\{x\in I/f(x) \text{ existe }\}$$

III Représentation graphique

III.1 Définition

Soit $(O;\ \vec{i},\ \vec{j})$, un repère orthonormé. On appelle représentation graphique d'une fonction $f$ ou graphe de $f$ ou la courbe de $f$ qu'on peut noter $\mathcal{C}_{f}\;,\ $ l'ensemble des points $M\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}$ du plan tels que $y=f(x)$

Exercice d'application 

Soit $f(x)=2x^{2}-3x$ et $\mathcal{C}_{f}$ la courbe de $f.$
 
a) Parmi les points suivants quels sont ceux qui appartiennent à $\mathcal{C}_{f}$
 
$A\begin{pmatrix} 1\\ -1 \end{pmatrix}\;,\ B\begin{pmatrix} \dfrac{3}{2}\\ \\ 0 \end{pmatrix}\;,\ C\begin{pmatrix} -2\\ 2\end{pmatrix}\;,\ E\begin{pmatrix} \sqrt{2}\\ -0.2 \end{pmatrix}\;,\ F\begin{pmatrix} -6\\ 90 \end{pmatrix}$
 
b) Quels sont les points de $\mathcal{C}_{f}$ d'ordonnée 5 ?
 
c) Déterminer les coordonnées du point $G$ d'abscisse $-1$
 
d) Déterminer les points d'intersections de $\mathcal{C}_{f}$ avec les axes du repère

Résolution 

a) $A\begin{pmatrix} 1\\ -1 \end{pmatrix}$
\begin{eqnarray} f(x_{A})&=&f(1) \nonumber \\ &=&2(1)^{2}-3 \nonumber \\ &=&-1 \nonumber \\ &=&y_{A} \nonumber \end{eqnarray}
 
donc $A\in\mathcal{C}_{f}$
 
$B\begin{pmatrix}\dfrac{3}{2}\\ \\ 0 \end{pmatrix}$
\begin{eqnarray} f(x_{B})&=&f\left(\dfrac{3}{2}\right) \nonumber \\ &=&2\left(\dfrac{3}{2}\right)^{2}-3\left(\dfrac{3}{2}\right) \nonumber \\ &=&0 \nonumber \\ &=&y_{B} \nonumber \end{eqnarray}
 
donc $B\in\mathcal{C}_{f}$
 
$C\begin{pmatrix} -2\\ 2\end{pmatrix}$
\begin{eqnarray} f(x_{C})&=&f(-2) \nonumber \\ &=&2(-2)^{2}-3(-2) \nonumber \\ &=&14 \nonumber \\ &\neq&y_{C} \nonumber \end{eqnarray}
 
donc $C\notin\mathcal{C}_{f}$
 
$E\begin{pmatrix} \sqrt{2}\\ -0.2 \end{pmatrix}$
\begin{eqnarray} f(x_{E})&=&f(\sqrt{2}) \nonumber \\ &=&2(\sqrt{2})^{2}-3(\sqrt{2}) \nonumber \\ &=&4-3\sqrt{2} \nonumber \\ &\neq&y_{E} \nonumber \end{eqnarray}
 
donc $E\notin\mathcal{C}_{f}$
 
$F\begin{pmatrix} -6\\ 90 \end{pmatrix}$
\begin{eqnarray} f(x_{F})&=&f(-6) \nonumber \\ &=&2(-6)^{2}-3(-6) \nonumber \\ &=&90 \nonumber \\ &=&y_{F} \nonumber \end{eqnarray}
 
donc $F\in\mathcal{C}_{f}$
 
b) Soit $M\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\in\mathcal{C}_{f}\;,\ y$ est l'ordonnée de $M$ et $x$ est l'abscisse.
 
Déterminer les points d'ordonnée 5 revient à résoudre l'équation $f(x)=5.$
 
\begin{eqnarray} f(x)=5&\Leftrightarrow&2x^{2}-3x=5 \nonumber \\ &\Leftrightarrow&2x^{2}-3x=5-0 \nonumber \end{eqnarray}
 
$\Delta=9+40=49\ \Rightarrow\ x_{1}=\dfrac{3-7}{4}=-1\quad\text{et}\quad x_{1}=\dfrac{3+7}{4}=\dfrac{5}{2}$
 
On a donc deux points d'ordonnée 5 : $K\begin{pmatrix}\dfrac{5}{2}\\ \\ 5\end{pmatrix}\ \text{et}\ L\begin{pmatrix} -1\\ 5\end{pmatrix}$
 
c) L'ordonnée du point d'abscisse $-1$ est donnée par 
 
$f(-1)=2(-1)^{2}-3(-1)=5$ ; donc $G\begin{pmatrix} -1\\ 5\end{pmatrix}$
 
d) Pour l'intersection avec l'axe des abscisses, on résout l'équation $f(x)=0$ 
 
\begin{eqnarray} f(x)=0&\Leftrightarrow&2x^{2}-3x=0 \nonumber \\ &\Leftrightarrow&x(2x-3)=0 \nonumber \\ &\Leftrightarrow&x=0\ \text{ou}\ x=\dfrac{3}{2} \nonumber \end{eqnarray}
donc on a deux points d'intersection avec l'axe des abscisses : $O\begin{pmatrix} 0\\ 0\end{pmatrix}\ \text{et}\ N\begin{pmatrix} \dfrac{3}{2}\\ \\ 0\end{pmatrix}$
 
Pour l'intersection avec l'axe des ordonnées, on calcule $f(0)$
 
$f(0)=0$ alors l'origine du repère $O\begin{pmatrix} 0\\ 0\end{pmatrix}$ reste l'unique point d'intersection avec l'axe des ordonnées.

III.2 Sens de variation d'une fonction

III.2.1 Définitions

$\centerdot\ \ $ On dit qu'une fonction $f$ est croissante sur un intervalle $I$ si, et seulement si, $\forall x,\ y\ \in I$ \\
si $x\leq y\ \Longrightarrow\ f(x)\leq f(y)\quad\text{ (ou si }x\geq y\ \Longrightarrow\ f(x)\geq f(y))$
 
 
$\centerdot\ \ $ On dit qu'une fonction $f$ est décroissante sur un intervalle $I$ si, et seulement si, $\forall x,\ y\ \in I$ \\
si $x\leq y\ \Longrightarrow\ f(x)\geq f(y)\quad\text{ (ou si }x\geq y\ \Longrightarrow\ f(x)\leq f(y))$
 
 
$\centerdot\ \ $ On dit qu'une fonction $f$ est constante sur un intervalle $I$ si, et seulement si, $\forall x,\ y\ \in I$ 
si $f(x)=f(y)$
 
 
 

III.2.2 Taux de variation

Le taux de variation d'une fonction $f$ entre $x_{1}$ et $x_{2}$ noté $$T^{x_{2}}_{x_{1}}=\dfrac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}$$

Exemple 

Déterminer le taux de variation de $f(x)=x^{2}$
 
On a \begin{eqnarray} T^{x_{1}}_{x_{2}}&=&\dfrac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}} \nonumber \\&=& \dfrac{x_{2}^{2}-x_{1}^{2}}{x_{2}-x_{1}} \nonumber \\ &=&\dfrac{(x_{2}-x_{1})(x_{2}+x_{1})}{x_{2}-x_{1}} \nonumber \\ &=&x_{2}+x_{1} \nonumber \end{eqnarray}


III.2.3 Monotonie et tableau de variation


Soit $T^{x_{2}}_{x_{1}}=\dfrac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}$ le taux de variation de $x_{1}$ à $x_{2}$, d'une fonction $f$.

$\centerdot\ \ $ Si $f\text{ est }\nearrow$ alors on a $x\leq y\ \Longrightarrow\ f(x)\leq f(y)$

Ainsi, $x_{2}-x_{1}\geq 0\text{ et }f(x_{2})-f(x_{1})\geq 0\ \Longrightarrow\ T^{x_{2}}_{x_{1}}\geq 0$

$\centerdot\ \ $ Si $f\text{ est }\searrow$ alors on a $x\leq y\ \Longrightarrow\ f(x)\geq f(y)$

Donc $ x_{2}-x_{1}\geq 0\text{ et }f(x_{2})-f(x_{1})\leq 0\ \Longrightarrow\ T^{x_{2}}_{x_{1}}\leq 0$

En conclusion on a :

$\centerdot\ \ $ Si $T^{x_{2}}_{x_{1}}\geq 0$ sur un intervalle $I$ alors $f\text{ est }\nearrow$ sur $I$.

$\centerdot\ \ $ Si $T^{x_{2}}_{x_{1}}\leq 0$ sur un intervalle $I$ alors $f\text{ est }\searrow$ sur $I$.

Exemple :

$f(x)=x^{2}$

On a $f\nearrow$ sur $[0;\ +\infty[$ et $f\searrow$ sur $]-\infty;\ 0]$

En effet,  $T^{x_{1}}_{x_{2}}=x_{2}+x_{1}$

$\centerdot\ \ $ sur $[0;\ +\infty[\quad x_{1}\geq 0\:\text{ et }\:x_{2}\geq 0\;,\ $ donc $x_{2}+x_{1}\geq 0\ \Longrightarrow\ T^{x_{2}}_{x_{1}}\geq 0$

$\Longrightarrow\ f \text{ est croissante sur }[0;\ +\infty[$

$\centerdot\ \ $ sur $]-\infty;\ 0]\quad x_{1}\leq 0\:\text{ et }\:x_{2}\leq 0\;,\ $ donc $x_{2}+x_{1}\leq 0\ \Longrightarrow\ T^{x_{2}}_{x_{1}}\leq 0$

$\Longrightarrow\ f \text{ est décroissante sur }]-\infty;\ 0]$

Enfin, les variations de $f$ sont représentées dans le tableau ci-après, appelé souvent tableau de variation de $f$

$$\begin{array}{|c|lcccr|}
\hline
x & -\infty & & 0 & & +\infty\\
\hline
&  & & & & \\
\mathrm{variations\ de\ }f
& & \searrow & & \nearrow & \\
& & & 0 & & \\
\hline
\end{array}$$

IV Fonctions usuelles

IV.1 Parité d'une fonction

$\centerdot\ \ $ On dit qu'une fonction $f$ est paire si, et seulement si, les deux conditions suivantes sont vérifiées

$C_{1}\quad$ si $x\in D_{f}$ alors $-x\in D_{f}$

$C_{2}\quad$ $\forall\;x\in D_{f};\quad f(-x)=f(x)$

$\centerdot\ \ $ On dit qu'une fonction $f$ est impaire si, et seulement si, les deux conditions suivantes sont vérifiées

$C_{1}\quad$ si $x\in D_{f}$ alors $-x\in D_{f}$

$C_{2}\quad$ $\forall\;x\in D_{f};\quad f(-x)=-f(x)$

Exemple

Étudier la parité des fonctions suivantes :
 
$f(x)=x^{2}-4$
 
$g(x)=x^{3}-3x$
 
$h(x)=\sqrt{x^{2}-1}$
 
$k(x)=\dfrac{x^{2}-4}{x}$
 
$f_{1}=x^{2}-4x+1$
 
$f_{2}=\dfrac{2x}{x^{2}-x}$

Résolution

$f(x)=x^{2}-4\;,\quad D_{f}=\mathbb{R}$
 
Si $x\in D_{f}$ alors $-x\in D_{f}$
\begin{eqnarray} f(-x)&=&(-x)^{2}-4 \nonumber \\ &=&x^{2}-4 \nonumber \\ &=&f(x) \nonumber \end{eqnarray}
donc $f$ est paire
 
$g(x)=x^{3}-3x\;,\quad D_{f}=\mathbb{R}$
 
Si $x\in D_{g}$ alors $-x\in D_{g}$
\begin{eqnarray} g(-x)&=&(-x)^{3}-3(-x) \nonumber \\ &=&-x^{3}+3x \nonumber \\ &=&-g(x) \nonumber \end{eqnarray}
donc $g$ est impaire
 
$h(x)=\sqrt{x^{2}-1}$
\begin{eqnarray} h(x)\ \text{ existe }\ &\Leftrightarrow&x^{2}-1\geq 0 \nonumber \\ &\Leftrightarrow&(x-1)(x+1)\geq 0 \nonumber \\ &\Leftrightarrow&x\leq -1\ \text{ ou }\ x\geq 1 \nonumber \end{eqnarray}
donc $D_{h}=]-\infty\;;\ -1]\cup[1\;;\ +\infty[$
 
Si $x\in D_{h}$ alors $x\leq -1\ \text{ ou }\ x\geq 1\ \Rightarrow\ -x\geq 1\ \text{ ou }\ -x\leq -1$
 
donc $-x\in D_{h}$
\begin{eqnarray} h(-x)&=&\sqrt{(-x)^{2}-} \nonumber \\ &=&\sqrt{x^{2}-1} \nonumber \\ &=&h(x) \nonumber \end{eqnarray}
donc la fonction $h$ est paire
 
$f_{1}=x^{2}-4x+1\;,\quad D_{f_{1}}=\mathbb{R}$
 
Si $x\in D_{f_{1}}$ alors $-x\in D_{f_{1}}$
\begin{eqnarray} f_{1}(-x)&=&(-x)^{2}-4(-x)+1 \nonumber \\ &=&x^{2}+4x+1 \nonumber \\ &\neq&f_{1}(x)\ \text{ et }\ \neq -f_{1}(x) \nonumber \end{eqnarray}
donc $f_{1}$ n'est ni paire ni impaire
 
$f_{2}=\dfrac{2x}{x^{2}-x}$
\begin{eqnarray} f_{2}(x)\ \text{ existe }\ &\Leftrightarrow&x^{2}-x\neq 0 \nonumber \\ &\Leftrightarrow&x(x-1)\neq 0 \nonumber \\ &\Leftrightarrow&x\neq 0\ \text{ ou }\ x\neq 1 \nonumber \end{eqnarray}
donc $D_{f_{2}}=\mathbb{R}\setminus\{0\;;\ 1\}$
 
On a $1\in D_{f_{2}}$ et $-1\notin D_{f_{2}}$ donc la condition $C_{1}$ n'est pas vérifiée.
 
Ainsi, la fonction $f_{2}$ n'est ni paire ni impaire

IV.2 Périodicité d'une fonction

$\centerdot\ \ $ On dit qu'une fonction $f$ est périodique de période $T$ si, et seulement si, les deux conditions suivantes sont vérifiées

$C_{1}\quad$ si $x\in D_{f}$ alors $x+T\in D_{f}$

$C_{2}\quad$ $\forall\;x\in D_{f};\quad f(x+T)=f(x)$

IV.3 Axe de symétrie et centre de symétrie d'une fonction

$\centerdot\ \ $ Soit $\Delta$ la droite d'équation $x=a$. On dit que $\Delta$ est axe de symétrie de $\mathcal{C}_{f}$ si, et seulement si, les deux conditions suivantes sont vérifiées

$C_{1}\quad$ si $x\in D_{f}$ alors $x+a\text{ et }x-a\in D_{f}$

$C_{2}\quad$ $\forall\;x\in D_{f};\quad f(2a-x)=f(x)$

Exemple 

Soit $f$ la fonction définie sur $D_{f}=\mathbb{R}$ par $f(x)=2x^{2}-5x+1.$
 
Montrer que sa représentation graphique admet comme axe de symétrie la droite $\Delta$ d'équation : $x=\dfrac{5}{4}.$
 
En effet, \begin{eqnarray} f\left(2\left(\dfrac{5}{4}\right)-x\right)&=&2\left(\dfrac{10}{4}-x\right)^{2}-5\left(\dfrac{10}{4}-x\right)+1 \nonumber \\ &=&2\left(\dfrac{100}{16}+x^{2}-5x\right)-\dfrac{50}{4}+5x+1 \nonumber \\ &=&\dfrac{25}{2}+2x^{2}-10x-\dfrac{25}{2}+5x+1 \nonumber \\ &=&2x^{2}-5x+1\ =\ f(x) \nonumber \end{eqnarray}

Ainsi, la droite $\Delta$ d'équation : $x=\dfrac{5}{4}$ est bien axe de symétrie pour $\mathcal{C}_{f}$

$\centerdot\ \ $ Soit $I\begin{pmatrix}
a\\
b
\end{pmatrix}\in\mathcal{C}_{f}$. On dit que $I$ est centre de symétrie de $\mathcal{C}_{f}$ si, et seulement si, les deux conditions suivantes sont vérifiées

$C_{1}\quad$ si $x\in D_{f}$ alors $x+a\text{ et }x-a\in D_{f}$

$C_{2}\quad$ $\forall\;x\in D_{f};\quad f(2a-x)+f(x)=2b$

Exemple 

Soit $f$ la fonction définie sur $D_{f}=\mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac{5}{3}\right\}$ par $f(x)=\dfrac{2x+1}{3x-5}.$
 
Montrer que sa représentation graphique admet $I\begin{pmatrix}\dfrac{5}{3}\\ \\ \dfrac{2}{3}\end{pmatrix}$ comme centre de symétrie.
 
En effet, \begin{eqnarray} f\left(2\left(\dfrac{5}{3}\right)-x\right)+f(x)&=&\dfrac{2\left(\dfrac{10}{3}-x\right)+1}{3\left(\dfrac{10}{3}-x\right)-5}+\dfrac{2x+1}{3x-5} \nonumber \\ &=&\dfrac{\dfrac{20}{3}-2x+1}{10-3x-5}+\dfrac{2x+1}{3x-5} \nonumber \\ &=&\dfrac{\dfrac{23}{3}-2x}{5-3x}+\dfrac{2x+1}{3x-5} \nonumber \\ &=&\dfrac{-\dfrac{20}{3}+4x}{3x-5} \nonumber \\ &=&\dfrac{12x-20}{3(3x-5)} \nonumber \\ &=&\dfrac{4}{3}\ =\ 2\left(\dfrac{2}{3}\right) \nonumber \end{eqnarray}

donc $I\begin{pmatrix}\dfrac{5}{3}\\ \\ \dfrac{2}{3}\end{pmatrix}$ est centre de symétrie pour $\mathcal{C}_{f}$

Remarque 

Soit $M\begin{pmatrix} x\\ f(x)\end{pmatrix}$ et $N\begin{pmatrix} -x\\ f(-x)\end{pmatrix}$ deux points de $\mathcal{C}_{f}.$
 
$\centerdot\ \ $ Si $f$ est paire alors $f(-x)=f(x)$, donc  $M\begin{pmatrix} x\\ f(x)\end{pmatrix}$ et $N\begin{pmatrix} -x\\ f(-x)\end{pmatrix}$ sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées $(y'Oy).$
 
D'où, si $f$ est paire alors l'axe des ordonnées est un axe de symétrie pour la courbe $\mathcal{C}_{f}.$
 
$\centerdot\ \ $ Si $f$ est impaire alors $f(-x)=-f(x)$, donc  $M\begin{pmatrix} x\\ f(x)\end{pmatrix}$ et $N\begin{pmatrix} -x\\ f(-x)\end{pmatrix}$ sont symétriques par rapport à $O$ origine du repère.
 
Ainsi, pour les fonctions impaires, l'origine du repère est un centre de symétrie pour $\mathcal{C}_{f}.$
Auteur: 
Seyni Ndiaye

Commentaires

1

Très bon cours

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