FASTEF - Epreuve de Mathématiques - 2020

 

Pour chacun des items proposés, recopier le ou les résultat(s) justes, s'il(s) existe(nt), et justifier votre choix.

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline&\text{Items}&\text{Résultat A}&\text{Résultat B}&\text{Résultat C}&\text{Résultat D}\\ \hline&&&&&\\ 1.&\lim\limits_{x\to 0}\sin\left[\dfrac{\pi}{2}E(x)\right]&\text{est égale à }1&\text{est égale à }0&\text{est égale à }\dfrac{\pi}{2}&\text{n'existe pas}\\&&&&&\\\hline 2.&(AB//(CD)&arg\left(\dfrac{z_{\overrightarrow{CD}}}{z\overrightarrow{_{AB}}}\right)=2k\pi&arg\left(\dfrac{z_{\overrightarrow{CD}}}{z\overrightarrow{_{AB}}}\right)=\pi+2k\pi&arg\left(\dfrac{z_{\overrightarrow{CD}}}{z\overrightarrow{_{AB}}}\right)=k\pi&\dfrac{z_{\overrightarrow{CD}}}{z\overrightarrow{_{AB}}}\ \text{ est un réel}\\&\text{équivaut à}&k\in\mathbb{Z}&k\in\mathbb{Z}&k\in\mathbb{Z}&\\\hline&\text{L'équation}&&&&\\3.&\tan 2x=\sqrt{3}&\dfrac{\pi}{6}+2k\pi\;,\ k\in\mathbb{Z}&\dfrac{\pi}{2}+k\pi\;,\ k\in\mathbb{Z}&\dfrac{\pi}{6}+k\pi\;,\ k\in\mathbb{Z}&\dfrac{\pi}{6}+k\dfrac{\pi}{2}\;,\ k\in\mathbb{Z}\\&\text{a pour solution}&&&&\\ \hline 4.&\sum_{k=0}^{k=n}C_{n}^{k}&\dfrac{n!}{(n-k)!}&2^{n}&2n&\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\\&\text{est égale à}&&&&\\ \hline 5.&x\rightarrow\ \dfrac{1}{x+\mathrm{e}^{x}}&[0\;,\ +\infty[&\mathbb{R}&\mathbb{R}^{*}&[1\;,\ +\infty[\\&\text{ est définie sur}&&&&\\ \hline 6.&\text{Si }P_{_{B}}(A)=P(A)&P(A)=P(B)&P(A\cap B)=P(A)P(B)&P_{_{A}}(B)=P(B)&P(A\cap B)=\dfrac{P_{_{B}}(A)}{P(B)}\\&\text{alors}&&&&\\ \hline7.&\int_{0}^{\tfrac{\pi}{8}}\mathrm{e}^{-2x}\cos(2x)\mathrm{d}x&\dfrac{1}{2}&\dfrac{\pi}{2}&-1&\dfrac{1}{4}\\&\text{est égale à}&&&&\\ \hline 8.&(\mathrm{i}-1)^{2020}&\sqrt{2}\mathrm{e}^{\mathrm{i}2020\pi}&-1&-2^{1010}&-\mathrm{i}2^{2020}\\&\text{est égale à}&&&&\\ \hline 9.&-\vec{u}\cdot(\vec{u}\wedge\vec{v})&0&-\vec{u}\cdot(\vec{v}\wedge\vec{u})&-\vec{u}\wedge(\vec{u}\cdot\vec{v})&-2\cdot(\vec{u}\wedge\vec{v})\\&\text{est égale à}&&&&\\ \hline 10.&\text{Un déplacement est}&\text{une rotation}&\text{une translation}&\text{une isométrie}&\text{une réflexion}\\ \hline\end{array}$$

Soient $n\in\mathbb{N}^{*}\ $ et $\ q\in\mathbb{R}\setminus\{-1\;,\ 0\;,\ 1\}.$ On considère dans le plan complexe les $n$ points $A_{0}\;,\ A_{1}\;,\ \ldots\;,\ A_{n-1}$ d'affixes respectifs $z_{0}\;,\ z_{1}\;,\ ,\ldots\;,\ z_{n-1}.$

 

Démontrer que le système de points pondérés $\{(A_{k}\;,\ q^{k})\;,\ 0\leq k\leq n-1\}$ admet un barycentre $G_{n}.\quad(0.5\;pt)$

 

On choisit les nombres complexes $z_{k}$ tels que :

$$z_{0}=1\;,\ z_{1}=\cos\left(\dfrac{2\pi}{n}\right)+\mathrm{i}\sin\left(\dfrac{2\pi}{n}\right)\quad\text{et}\quad z_{k}=(z_{1})^{k}\ \text{ pour }\ 2\leq k\leq n-1$$

a) Déterminer l'affixe $z_{n}$ de $G_{n}$ à l'aide de $q$ et de $z_{1}.\quad(1.5\;pts)$

 

b) Déterminer la partie réelle $x_{n}$ et la partie imaginaire $y_{n}$ de $z_{n}.\quad(0.5\;pt)$

 

3) a) Déterminer $n$ pour que $z_{n}$ soit un nombre réel.$\quad(0.5\;pt)$

 

b) Calculer les limites de $x_{n}\ $ et $\ y_{n}$ lorsque $n$ tend vers $+\infty.\quad(1\;pt)$

 

En déduire la position limite du point $G_{n}$ lorsque $n$ tend vers $+\infty.\quad(1\;pt)$

 

On considère la fonction $\varphi$ définie par :

$$\varphi(x)=\dfrac{1}{x\ln|x|}$$

1) Calculer $\varphi(\mathrm{e}^{k})\;,\ k$ étant un réel non nul.$\quad(0.5\;pt)$

 

2) Etudier $\varphi$ et tracer $\mathcal{C}_{\varphi}$ la représentation graphique de $\varphi$ dans un repère orthonormal $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ (unité $2\;cm).\quad(2.5\;pts)$

 

3) Soit $\psi$ une primitive de $\varphi$ sur $]1\;,\ +\infty[.$

 

On pose : $\mathcal{A}(\alpha)=\psi(\mathrm{e})-\psi(\alpha).$

 

a) Exprimer $\mathcal{A}(\alpha)$ en fonction de $\alpha$, avec $\alpha\in\,]1\;,\ +\infty[.\quad(1\;pt)$

 

b) Etudier la limite de $\mathcal{a}(\alpha)$ en $1$ et en $+\infty.\quad(1\;pt)$

 

 

$$\text{Durée 4 heures}$$